《線性代數(shù)課件：4-1 方陣的特征值與特征向量》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《線性代數(shù)課件：4-1 方陣的特征值與特征向量（23頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、上頁下頁鈴結束返回首頁第四章第四章 特征值與二次型特征值與二次型 4.1 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量 4.2 對稱矩陣的相似對角化對稱矩陣的相似對角化4.3 二次型及其標準形二次型及其標準形4.4 正定性正定性 上頁下頁鈴結束返回首頁三、方陣相似對角化的條件三、方陣相似對角化的條件 一、相似矩陣一、相似矩陣 二、方陣的特征值與特征向量二、方陣的特征值與特征向量 4.1 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量 上頁下頁鈴結束返回首頁稱稱 f (A) 為為方陣方陣 A 的多項式的多項式.一、相似矩陣一、相似矩陣 設多項式設多項式 10( ),nnf xa xa xa記記10
2、( )nnf Aa Aa Aa E1,kkBPA P 1( )( )f BPf A P 對于方陣對于方陣 B P 1AP, 有有v 相似矩陣相似矩陣 設設 A, B 為為 n 階方陣階方陣, 若存在可逆矩陣若存在可逆矩陣 P, 使使1PAPB 則稱則稱 B 是是 A 的相似矩陣的相似矩陣. 稱稱 P 為為相似變換矩陣相似變換矩陣. 矩陣的相似具有矩陣的相似具有反身性、對稱性和傳遞性反身性、對稱性和傳遞性.上頁下頁鈴結束返回首頁 當當 P 可逆時可逆時, P 1AP L L 也也即即 AP PL L. 若存在可逆矩陣若存在可逆矩陣 P, 使使 P11AP 為對角陣為對角陣 L L, 則稱方陣則稱
3、方陣 A可相似對角化可相似對角化. 1,APPL L 1,kkAPPL L 1( )()f APfPL L 而對于對角陣而對于對角陣 L L diag(l l1, ,l ln),1diag(,),kkkn LllLll1()diag (),()nfff LllLll此時有此時有 v 可相似對角化方陣的多項式計算可相似對角化方陣的多項式計算由此可方便地計算由此可方便地計算 A 的多項式的多項式.有有1(,),nAPApAp 11(,)nnPppllll 記記 P (p1, , pn), 則則v 定理定理1 n 階方陣階方陣 A 與對角矩陣與對角矩陣 L L diag (l l1, ,l ln)
4、相似的相似的充分必要條件是存在充分必要條件是存在線性無關線性無關向量組向量組 p1, , pn 滿足滿足(1, )iiiAppinl l上頁下頁鈴結束返回首頁v 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量二、方陣的特征值與特征向量二、方陣的特征值與特征向量 設設 A 為方陣為方陣, 如果存在數(shù)如果存在數(shù) l l 和和非零向量非零向量 p, 使使那么稱數(shù)那么稱數(shù) l l 為方陣為方陣 A 的特征值的特征值,Appl l 應于特征值應于特征值 l l 的特征的特征向量向量. 稱稱非零向量非零向量 p 為方陣為方陣 A 對對v 定理定理1 n 階方陣階方陣 A 與對角矩陣與對角矩陣 L L dia
5、g (l l1, ,l ln) 相似的相似的充分必要條件是存在充分必要條件是存在線性無關線性無關向量組向量組 p1, , pn 滿足滿足(1, )iiiAppinl l 非零向量非零向量 p 為方陣為方陣 A 對應于特征值對應于特征值 l l 的特征向量的特征向量, 也即也即 p為齊次線性方程組為齊次線性方程組 (l lE A) x 0 的一個的一個非零解非零解. 上頁下頁鈴結束返回首頁v 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量二、方陣的特征值與特征向量二、方陣的特征值與特征向量 設設 A 為方陣為方陣, 如果存在數(shù)如果存在數(shù) l l 和和非零向量非零向量 p, 使使那么稱數(shù)那么稱數(shù) l
6、 l 為方陣為方陣 A 的特征值的特征值,Appl l 應于特征值應于特征值 l l 的特征的特征向量向量. 稱稱非零向量非零向量 p 為方陣為方陣 A 對對 非零向量非零向量 p 為方陣為方陣 A 對應于特征值對應于特征值 l l 的特征向量的特征向量, 也即也即 p為齊次線性方程組為齊次線性方程組 (l lE A) x 0 的一個的一個非零解非零解. 數(shù)數(shù) l l 為方陣為方陣 A 的特征值的充分必要條件是的特征值的充分必要條件是 | l lE A | 0. 對應于對應于 n 階方陣階方陣 A 的特征值的特征值 l l 有有 n R(l lE A) 個線性無關個線性無關的特征向量的特征向量
7、, 稱稱屬于屬于 l l 的線性無關特征向量組的線性無關特征向量組.上頁下頁鈴結束返回首頁112()()nnnn kkkaab l lllll111212122212|nnnnnnaaaaaaEAaaal ll ll ll l 設設 A (aij) 為為 n 階方陣階方陣, l l 為變元為變元, 則有則有11|nnnEAccllllll 其中其中 11122().nncaaa 112()nnnnn kiikikacllllll211()nn kkknnniiiba l ll ll l 數(shù)數(shù) l l 為方陣為方陣 A 的特征值的充分必要條件是的特征值的充分必要條件是 | l lE A | 0.
8、 上頁下頁鈴結束返回首頁 稱稱 n 次多項式次多項式 | l lE A | 為為 A 的的特征多項式特征多項式. 方陣方陣 A 的特征值也即的特征值也即 A 的特征多項式的特征多項式的根的根. 設設 A (aij) 為為 n 階方陣階方陣, l l 為變元為變元, 則有則有11|nnnEAccllllll 其中其中 11122().nncaaa 在復數(shù)范圍內(nèi)在復數(shù)范圍內(nèi), n 階方陣有階方陣有 n 個特征值個特征值(重根按重數(shù)算重根按重數(shù)算). 設設 l l1, , l ln 為為 n 階方陣階方陣 A 的所有特征值的所有特征值, 則有則有1|()()nEAllllllllllv 特征值的性質(zhì)
9、特征值的性質(zhì)(2) (1) 1|;nAllll 11122.nnnaaallllA 的的跡跡, 記為記為 tr(A). 數(shù)數(shù) l l 為方陣為方陣 A 的特征值的充分必要條件是的特征值的充分必要條件是 | l lE A | 0. 上頁下頁鈴結束返回首頁解解 方陣方陣 A 的特征多項式為的特征多項式為460|350361EA l llllll l2(2)(1)llll方陣方陣 A 的特征值為的特征值為46(1)35 l ll ll l1232,1. llllll460350361A 例例1 求方陣求方陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量.(1)(4)(5)18llllll2(1)(2)llll
10、ll上頁下頁鈴結束返回首頁解解由由 得基礎解系得基礎解系6602330363EA 1111p 方陣方陣 A 對應于對應于 l l1 2 的全部特征向量為的全部特征向量為111(0).k pk 例例1 求方陣求方陣當當 l l1 2 時時, 解方程組解方程組 ( 2E A)x 0. 方陣方陣 A 的特征值為的特征值為1232,1. llllll的特征值和特征向量的特征值和特征向量.460350361A 110000033r 101011000r上頁下頁鈴結束返回首頁例例1 求方陣求方陣解解 當當 l l2 l l3 1 時時, 解方程組解方程組 (E A)x 0. 由由 120000000r 得
11、基礎解系得基礎解系221,0p 3001p 方陣方陣 A 對應于對應于 l l2 l l3 1 的全部特征向量為的全部特征向量為2233k pk p 方陣方陣 A 的特征值為的特征值為1232,1. llllll的特征值和特征向量的特征值和特征向量.460350361A 360360360EA( k2, k3 不同時為不同時為0 )上頁下頁鈴結束返回首頁解解方陣方陣 A 的特征值為的特征值為 l l1 2, l l2 l l3 1. 方陣方陣 A 的特征多項式為的特征多項式為 當當 l l1 2 時時, 解方程組解方程組 (2E A)x 0, 得基礎解得基礎解方陣方陣 A 對應于對應于 l l
12、1 2 的全部特征向量為的全部特征向量為111(0).k pk 2110|430(2)(1)102EAl llllllllll l110430102A 例例2 求方陣求方陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量.T1(0,0,1)p 當當 l l2 l l3 1 時時, 解方程組解方程組 (E A)x 0, 得基礎解得基礎解T2( 1, 2,1)p 222(0).k pk 方陣方陣 A 對應于對應于 l l2 l l3 1 的全部特征向量為的全部特征向量為 上頁下頁鈴結束返回首頁例例3 設設 l l 為方陣為方陣 A 的一個特征值的一個特征值, 試證試證 l l2 為方陣為方陣 A2 的的一個特
13、征值一個特征值.證明證明 存在非零向量存在非零向量 p, 使使 Ap l l p, 于是于是22()()()A pA ApApAppllllll因此因此 l l2 為方陣為方陣 A2 的一個特征值的一個特征值. 若若 l l 為方陣為方陣 A 的特征值的特征值, 則則 f (l l) 為為 f (A) 的特征值的特征值. 設設 l l 為可逆矩陣為可逆矩陣 A 的特征值的特征值, 則則 l l 1 為為 A11 的特征值的特征值.例例4 設設3階階方陣方陣 A 的特征值為的特征值為1, 1, 2, 求求 | A 3A 2E |.解解11|2AA AA 則則 f (A) 的特征值為的特征值為A
14、可逆可逆, 123|2,Al l ll l l 132232AAEAAE 記記1( )232,f xxx (1)1,f ( 1)3,f (2)3f 于是于是|32|( )|(1)( 1)(2)9AAEf Afff 上頁下頁鈴結束返回首頁v 定理定理2 相似矩陣有相同的特征多項式相似矩陣有相同的特征多項式(特征值特征值).證明證明 設矩陣設矩陣A與與B相似相似, 則有可逆陣則有可逆陣P, 使使 P 1AP B. 于是于是1|EBEPAPllll 1| | |PEAPl l 1|()|PEA Pl l 若對角陣若對角陣 L L 是方陣是方陣 A 的相似矩陣的相似矩陣, 則則 L L 以以 A 的特
15、征值的特征值為對角元素為對角元素.v 定理定理1 n 階方陣階方陣 A 與對角矩陣與對角矩陣 L L diag (l l1, ,l ln) 相似的相似的充分必要條件是存在充分必要條件是存在線性無關線性無關向量組向量組 p1, , pn 滿足滿足(1, )iiiAppinl l|EAl l上頁下頁鈴結束返回首頁 對應于對應于 n 階方陣階方陣 A的特征值的特征值 l l 有有 n R(l lE A) 個線性無關個線性無關的特征向量的特征向量, 稱稱屬于屬于 l l 的線性無關特征向量組的線性無關特征向量組.v 定理定理4 設設 l l1, , l lm 是方陣是方陣 A 的的 m 個互不相等的特
16、征值個互不相等的特征值, Ai (i 1, , m) 為屬于為屬于 l li 的線性無關特征向量組的線性無關特征向量組, 則由則由 A1 , , Am 的并集構成的向量組線性無關的并集構成的向量組線性無關.v 定理定理3 設設 l l1, , l lm 是方陣是方陣 A 的的 m 個互不相等的特征值個互不相等的特征值, p1, , pm 為對應的特征向量為對應的特征向量, 則則 p1, , pm 線性無關線性無關. 稱稱 k 為為 l l 的的代數(shù)重數(shù)代數(shù)重數(shù); 稱稱 n R(l lE A) 為為 l l 的的幾何重數(shù)幾何重數(shù). 設設 l l 是是 n 階方陣階方陣 A 的特征多項式的的特征多
17、項式的 k 重根重根( k 重特征值重特征值),v 定理定理1 n 階方陣階方陣 A 與對角矩陣與對角矩陣 L L diag (l l1, ,l ln) 相似的相似的充分必要條件是存在充分必要條件是存在線性無關線性無關向量組向量組 p1, , pn 滿足滿足(1, )iiiAppinl l上頁下頁鈴結束返回首頁三、方陣相似對角化的條件三、方陣相似對角化的條件 v 定理定理5 n 階方陣階方陣 A與對角陣相似的充分必要條件是與對角陣相似的充分必要條件是 A 有有n 個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量. 例例1中的中的3階方陣階方陣 A 有三個線性無關的特征向量有三個線性無關的特征向量, 因
18、此可相似對角化因此可相似對角化. 例例2中的中的3階方陣階方陣 A 只有兩個線性無關的特征向量只有兩個線性無關的特征向量, 因此不可相似對角化因此不可相似對角化. 對應于對應于 n 階方陣階方陣 A的特征值的特征值 l l 有有 n R(l lE A) 個線性無關個線性無關的特征向量的特征向量, 稱稱屬于屬于 l l 的線性無關特征向量組的線性無關特征向量組.v 定理定理1 n 階方陣階方陣 A 與對角矩陣與對角矩陣 L L diag (l l1, ,l ln) 相似的相似的充分必要條件是存在充分必要條件是存在線性無關線性無關向量組向量組 p1, , pn 滿足滿足(1, )iiiAppinl
19、 l上頁下頁鈴結束返回首頁三、方陣相似對角化的條件三、方陣相似對角化的條件 對應于對應于 n 階方陣階方陣 A的特征值的特征值 l l 有有 n R(l lE A) 個線性無關個線性無關的特征向量的特征向量, 稱稱屬于屬于 l l 的線性無關特征向量組的線性無關特征向量組. 當矩陣當矩陣 A 的每一特征值的幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù)時的每一特征值的幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù)時, 由定理由定理4可推知可推知, 此時矩陣此時矩陣 A 有有 n 個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量, 因此因此 A 可相似對角化可相似對角化.v 定理定理6 方陣方陣 A可相似對角化的充分必要條件是可相似對角化的充分必要條件是
20、 A的每一的每一特征值的特征值的幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù)幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù).推論推論 若若n階方陣階方陣A有有n個不同的特征值個不同的特征值, 則則A可相似對角化可相似對角化. 單特征值的幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù)單特征值的幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù), 重數(shù)為重數(shù)為1. 這樣就得到如下定理的充分性這樣就得到如下定理的充分性.(必要性就是必要性就是P98, Th1.4)證明證明: 由定理由定理3和定理和定理5即得即得.v 定理定理5 n 階方陣階方陣 A與對角陣相似的充分必要條件是與對角陣相似的充分必要條件是 A 有有n 個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量.或由定理或由定理6和以下結果即得和以下結果即得
21、.上頁下頁鈴結束返回首頁00111100Ax 01|1110EAxl llllll l 解解例例5 當當 x 為何值時為何值時, 矩陣矩陣能相似對角化能相似對角化?矩陣矩陣 A 的特征多項式為的特征多項式為2(1) (1)llll10110101EAx 101 001000 x l l 1 是單特征值是單特征值, l l 1 是重特征值是重特征值, 代數(shù)重數(shù)為代數(shù)重數(shù)為2. 當當 x 1 時時, R(E A) 1, 特征值特征值 l l 1 的幾何重數(shù)為的幾何重數(shù)為2,等于代數(shù)重數(shù)等于代數(shù)重數(shù), 從而矩陣從而矩陣 A 能相似對角化能相似對角化. 對應于對應于 n 階方陣階方陣 A的特征值的特征
22、值 l l 有有 n R(l lE A) 個線性無關個線性無關的特征向量的特征向量, 稱稱屬于屬于 l l 的線性無關特征向量組的線性無關特征向量組.上頁下頁鈴結束返回首頁(1) 求出求出 n 階方陣階方陣 A 的所有特征值的所有特征值 l li .(2) 求求 (l li E A) x 0 的一個基礎解系的一個基礎解系(l li 的特征向量組的特征向量組).(3) 將求出的將求出的 n 個特征向量排成矩陣個特征向量排成矩陣 P ( p1, , pn), 則則11diag(,),nPAPllll ()iiiAppl l v 方陣相似對角化的算法方陣相似對角化的算法例例6 方陣方陣1232,1
23、llllll的特征值為的特征值為 460350361A 對應的特征向量分別為對應的特征向量分別為 T1( 1,1,1) ,p T2( 2,1,0) ,p T3(0,0,1)p 取取123(,)Pppp 120110 ,101 則則1200010001PAP 上頁下頁鈴結束返回首頁P95-96 習題習題4.1: 1. 5. 第第13次作業(yè)次作業(yè)上頁下頁鈴結束返回首頁證明證明 當當 m 1 時時, 由于特征向量不為零向量由于特征向量不為零向量, 故定理成立故定理成立.假設假設 m s 1 時時, 定理成立定理成立. 設存在一組數(shù)設存在一組數(shù) k1, , ks , 使使11110ssssk pkpk
24、 p(1)用方陣用方陣 A 左乘左乘(1)式兩邊式兩邊, 由由 Api l li pi (i 1, , s), 整理得整理得1 111110sssssskpkpkpllllll(2)由由(1), (2)二式消去二式消去 ps , 得得1111110()()ssssskpkpllllllll由歸納假設由歸納假設, p1, , ps 1 線性無關線性無關, 于是于是()0,iiskllll0,(1,1)ikis從而從而(1)式化為式化為 ks ps 0, 得得 ks 0. 因此因此 p1, , ps 線性無關線性無關,即即 m s 時時, 定理也成立定理也成立. 由歸納原理由歸納原理, 定理得證定
25、理得證. v 定理定理3 設設 l l1, , l lm 是方陣是方陣 A 的的 m 個互不相等的特征值個互不相等的特征值, p1, , pm 為對應的特征向量為對應的特征向量, 則則 p1, , pm 線性無關線性無關.上頁下頁鈴結束返回首頁,012( 1)nnnax xxa 112,nnnaxxxa 1110( )nnnnP xa xaxa xa 提示提示: 例如例如3次多項式次多項式 韋達定理韋達定理 設設 n 次多項式次多項式的的 n 個根為個根為 x1, x2, , xn , 則有下列關系式則有下列關系式:323210( )P xa xa xa xa1233()()()xxxxaxx
26、 321231213133232()()xxxxxx xax xx xxx x x 21233,axxxa 11213233ax xx xx xa01233ax x xa 上頁下頁鈴結束返回首頁證明證明記記 R(l l0 0E A) r,則存在可逆矩陣則存在可逆矩陣 P, Q, 使使0()diag(,)rPEA QE Ol l于是于是1110()diag(,)rPEA PE O QPl l 1234rBBBBEOOO 12BBOO A 的特征多項式的特征多項式|EA l l100|()()|EPEA P llllll001()|()|n rrEB llllllll由此知由此知0()knrnREAl l00|()()|EEAllllllv 定理定理 特征值的幾何重數(shù)不大于代數(shù)重數(shù)特征值的幾何重數(shù)不大于代數(shù)重數(shù).設設 l l0 是是 n 階方陣階方陣 A 的的 k 重特征值重特征值,
線性代數(shù)課件：4-1 方陣的特征值與特征向量
