2019版高考數(shù)學一輪復習 第六章 不等式、推理與證明 第35講 基本不等式學案

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1、 第35講　基本不等式 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.了解基本不等式的證明過程． 2．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題. 2016·江蘇卷，14 2015·全國卷Ⅰ，12 2015·福建卷，6 對基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合在一起進行考查. 分值：5分 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：__a>0，b>0__. (2)等號成立的條件：當且僅當__a＝b__時取等號． 2．幾個重要的不等式： (1)a2＋b2≥__2ab__(a，b∈R)． (2)＋≥__2__(a，b同號)．

2、 (3)ab≤2(a，b∈R)． (4)≥2(a，b∈R)． 3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設a＞0，b＞0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為____，幾何平均數(shù)為____，基本不等式可敘述為__兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)__. 4．利用基本不等式求最值問題 已知x＞0，y＞0，則： (1)如果積xy是定值p，那么當且僅當__x＝y(tǒng)__時，x＋y有最__小__值是__2__(簡記：積定和最小)； (2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當__x＝y(tǒng)__時，xy有最__大__值是____(簡記：和定積最大)． 1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)． (1)函數(shù)y＝x

3、＋的最小值是2.(　×　) (2)函數(shù)f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　×　) (3)x＞0，y＞0是＋≥2的充要條件．(　×　) (4)若a＞0，則a3＋的最小值為2.(　×　) 解析 (1)錯誤．因為x沒有確定符號，所以不能說最小值為2. (2)錯誤．利用基本不等式時，等號不成立． (3)錯誤．不是充要條件，當x<0，y<0時也成立． (4)錯誤．最小值不是定值，故不正確． 2．已知m＞0，n＞0，且mn＝81，則m＋n的最小值為(　A　) A．18　　 B．36　　 C．81　　 D．243 解析 ∵m>0，n>0，∴m＋n≥2＝18.當且僅當m＝n＝

4、9時，等號成立． 3．若M＝(a∈R，a≠0)，則M的取值范圍為(　A　) A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)　　　　 B．(－∞，－4] C．[4，＋∞)　　　　 D．[－4,4] 解析 M＝＝a＋，當a>0時，M≥4；當a<0時，M≤－4. 4．若x＞1，則x＋的最小值為__5__. 解析 x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.當且僅當x－1＝，即x＝3時等號成立． 5．若x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，則z＝＋的最小值為__2__. 解析 由已知條件lg x＋lg y＝1，可知xy＝10. 則＋≥2＝2，故min＝2，當且僅當2y＝5x時取等號．又xy＝10.即x＝

5、2，y＝5時等號成立． 一　利用基本不等式證明不等式 利用基本不等式證明不等式的方法 (1)利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運用基本不等式．對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項，并項，也可乘上一個數(shù)或加上一個數(shù)，“1”的代換法等． (2)利用基本不等式對所證明的不等式中的某些部分放大或者縮小，在含有三個字母的不等式證明中要注意利用對稱性． 【例1】 (1)已知x＞0，y＞0，z＞0， 求證：≥8. (2)已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求證：＋＋≥9. 證明 (1)∵x＞0，y＞0

6、，z＞0，∴＋≥＞0， ＋≥＞0，＋≥＞0， ∴≥＝8， 當且僅當x＝y(tǒng)＝z時等號成立． (2)∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9， 當且僅當a＝b＝c＝時，取等號． 二　利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值應注意的問題 (1)利用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件． (2)在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后

7、再利用基本不等式求解． 【例2】 (1)已知0＜x＜1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為(　B　) A．　　 B．　　 C．　　 D． (2)若函數(shù)f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a處取最小值，則a＝(　C　) A．1＋　　 B．1＋　　 C．3　　 D．4 解析 (1)∵02，∴x－2>0， ∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2·＋2＝2＋2＝4，當且僅當x－2＝， 即(x－2)2＝1時，等號成立， ∴x＝1或3.又∵x>2，∴x＝3，即a＝3. 【例3】

8、(1)(2018·山東煙臺期末)已知正實數(shù)x，y滿足＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　B　) A．(－2,4)　　 B．(－4,2) C．(－∞，2]∪[4，＋∞)　　 D．(－∞，－4]∪[2，＋∞) (2)(2018·福建南平一模)已知x，y都是非負實數(shù)，且x＋y＝2，則的最小值為(　B　) A．　　 B．　　 C．1　　 D．2 (3)(2018·河南許昌二模)已知x，y均為正實數(shù)，且＋＝，則x＋y的最小值為(　C　) A．24　　 B．32　　 C．20　　 D．28 解析 (1)因為x>0，y>0，＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)·＝4

9、＋＋≥4＋2＝8，當且僅當x＝4，y＝2時取等號，所以x＋2y的最小值是8. 所以m2＋2m<8，解得－4

10、求解． (2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應函數(shù)的單調(diào)性求解． 【例4】 某廠家擬在2018年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m(m≥0)萬元滿足x＝3－(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2018年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)． (1)將2018年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；

11、(2)該廠家2018年的促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？ 解析 (1)由題意知，當m＝0時，x＝1(萬件)，∴1＝3－k?k＝2，∴x＝3－，每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×(元)， ∴2018年的利潤y＝1.5x×－8－16x－m ＝－＋29(m≥0)． (2)∵m≥0時，＋(m＋1)≥2＝8， ∴y≤－8＋29＝21， 當且僅當＝m＋1?m＝3(萬元)時，ymax＝21(萬元)．故該廠家2018年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元． 1．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，當x∈R時，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是(　B　) A．(－∞，－1)

12、　　 B．(－∞，2－1) C．(－1,2－1)　　 D．(－2－1,2－1) 解析 由32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，得k＋1<3x＋. ∵3x＋≥2，∴k＋1<2，即k<2－1. 2．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品(　B　) A．60件　　 B．80件 C．100件　　 D．120件 解析 若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是元，倉儲費用是元，總的費用是＋≥2＝20，當且僅當＝，即x＝80時取等號．

13、 3．若2x＋4y＝4，則x＋2y的最大值是__2__. 解析 因為4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，當且僅當2x＝22y＝2，即x＝2y＝1時，x＋2y取得最大值2. 4．(2018·山東濟寧二模)已知圓C1：x2＋y2＝4和圓C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4，若P(a，b)(a>0，b>0)在兩圓的公共弦上，則＋的最小值為__8__. 解析 由題意知，圓C1：x2＋y2＝4和圓C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4兩個方程相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程，即x＋y＝2，又點P(a，b)(a>0，b>0)在兩圓的公共弦上，所以a＋b＝

14、2，則＋＝(a＋b)＝＝5＋·≥5＋×2＝8，所以＋的最小值為8. 易錯點　不會湊出常數(shù) 錯因分析：式子的最大、最小值應為常數(shù)，為湊出常數(shù)，需要“拆”“拼”“湊”等技巧． 【例1】 已知正數(shù)x，y滿足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，則λ的最小值為________. 解析 由已知得λ≥恒成立． ∵＝≤＝2，(當且僅當x＝2y時取等號)∴λ≥2，λ的最小值為2. 答案 2 【跟蹤訓練1】 已知x為正實數(shù)，且x2＋＝1，求x的最大值． 解析 因為x>0， 所以x·＝≤. 又x2＋＝＋＝. 所以x≤＝，當且僅當x2＝＋， 即x＝時，等號成立．故(x)max＝. 課時達標　

15、第35講 [解密考綱]考查基本不等式，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．在解答題中也滲透基本不等式的應用． 一、選擇題 1．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，則f(x)有(　C　) A．最大值為0　　 B．最小值為0 C．最大值為－4　　 D．最小值為－4 解析 ∵x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，當且僅當－x＝，即x＝－1時，取等號． 2．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是(　C　) A．a(chǎn)＋b≥2 B．＋> C．＋≥2 D．a(chǎn)2＋b2>2ab 解析 ∵ab＞0，∴＞0，＞0，∴＋≥2＝2，當且僅當a＝b時取等號． 3．若a≥0，b≥0，且a(a

16、＋2b)＝4，則a＋b的最小值為(　C　) A．　　 B．4 C．2　　 D．2 解析 ∵a≥0，b≥0，∴a＋2b≥0，又∵a(a＋2b)＝4， ∴4＝a(a＋2b)≤，當且僅當a＝a＋2b＝2時等號成立． ∴(a＋b)2≥4，∴a＋b≥2. 4．函數(shù)y＝^(x>1)的最小值是(　A　) A．2＋2　　 B．2－2 C．2　　 D．2 解析 ∵x＞1，∴x－1＞0. ∴y＝＝＝ ＝＝x－1＋＋2 ≥2＋2＝2＋2. 當且僅當x－1＝，即x＝1＋時，取等號． 5．若正數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則＋的最小值是(　B　) A．1　　 B． C．9　　 D．16 解析

17、 ＋＝·＝×≥(5＋2)＝，當且僅當＝，b＋1＝2(a＋1)時取等號，故選B． 6．小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a0)圖象上的點，則x＋y的最小值為__2__. 解析 因為x＞0，所以y＞0，且xy＝2.由基本不等式得x＋y≥2＝2，當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立． 8．已知正數(shù)x，y滿足x＋2y＝2，則的最小值為__9_

18、_. 解析 由已知得＝1，則＝＋＝·＝≥(10＋2)＝9，當且僅當x＝，y＝時取等號． 9．已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，＋的最大值為__2__. 解析 由≤得＋≤＝＝2， 當且僅當x＝，y＝時取等號． 三、解答題 10．(1)當x<時，求函數(shù)y＝x＋的最大值； (2)設00， ∴y＝(2x－3)＋＋ ＝－＋ ≤－·2＋＝－4＋＝－， 當且僅當3－2x＝，即x＝－時，ymax＝－. ∴函數(shù)y的最大值為－. (2)∵00， ∴y＝＝≤＝，當且僅當2x＝4－2x

19、，即x＝1時，ymax＝. 11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解析 (1)∵x>0，y>0,2x＋8y－xy＝0， ∴xy＝2x＋8y≥2＝8， ∴(－8)≥0，又≥0，∴≥8即xy≥64. 當且僅當x＝4y即8y＋8y－4y2＝0時，即y＝4，x＝16時取等號， ∴xy的最小值為64. (2)∵2x＋8y＝xy>0，∴＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝18. 當且僅當＝，即x＝2y即4y＋8y－2y2＝0時，即y＝6，x＝12時取等號，∴x＋y的最小值為18. 12．某地需要修建

20、一條大型輸油管道通過240 km寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經(jīng)預算，修建一個增壓站的費用為400萬元，鋪設距離為x km的相鄰兩增壓站之間的輸油管道的費用為(x2＋x)萬元．設余下工程的總費用為y萬元． (1)試將y表示成x的函數(shù)； (2)需要修建多少個增壓站才能使y最小，其最小值為多少？ 解析 (1)設需要修建k個增壓站， 則(k＋1)x＝240，即k＝－1， 所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x) ＝400·＋(x2＋x) ＝＋240x－160. 因為x表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0＜x＜240. 故y與x的函數(shù)關系是y＝＋240x－160(0＜x＜240)． (2)y＝＋240x－160≥2－160＝2×4 800－160＝9 440，當且僅當＝240x，即x＝20時等號成立， 此時k＝－1＝－1＝11. 故需要修建11個增壓站才能使y最小，其最小值為9 440萬元． 12