2022年高三數(shù)學大一輪復習 9.6雙曲線教案 理 新人教A版
2022年高三數(shù)學大一輪復習 9.6雙曲線教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 1.考查雙曲線的定義、標準方程和幾何性質;2.考查直線與雙曲線的位置關系,考查數(shù)形結合思想的應用.
復習備考要這樣做 1.熟練掌握雙曲線的定義和標準方程,理解雙曲線的基本量對圖形、性質的影響;2.理解數(shù)形結合思想,掌握解決直線與雙曲線問題的通法.
1. 雙曲線的概念
平面內動點P與兩個定點F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距離之差的絕對值為常數(shù)2a (2a<2c),則點P的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫焦距.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a、c為常數(shù)且a>0,c>0:
(1)當a<c時,P點的軌跡是雙曲線;
(2)當a=c時,P點的軌跡是兩條射線;
(3)當a>c時,P點不存在.
2. 雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程
-=1 (a>0,b>0)
-=1(a>0,b>0)
圖形
性
質
范圍
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
對稱性
對稱軸:坐標軸 對稱中心:原點
頂點
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
漸近線
y=±x
y=±x
離心率
e=,e∈(1,+∞),其中c=
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸,它的長|A1A2|=2a;線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=2b;a叫做雙曲線的半實軸長,b叫做雙曲線的半虛軸長
a、b、c
的關系
c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)
[難點正本 疑點清源]
1. 雙曲線的定義用代數(shù)式表示為||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|,這里要注意兩點:
(1)距離之差的絕對值.
(2)2a<|F1F2|.
這兩點與橢圓的定義有本質的不同.
2. 漸近線與離心率
-=1 (a>0,b>0)的一條漸近線的斜率為===.可以看出,雙曲線的漸近線和離心率的實質都表示雙曲線張口的大?。?
1. (xx·天津)已知雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)與雙曲線C2:-=1有相同的漸近線,且C1的右焦點為F(,0),則a=________,b=________.
答案 1 2
解析 與雙曲線-=1有共同漸近線的雙曲線的方程可設為-=λ,
即-=1.
由題意知c=,則4λ+16λ=5?λ=,則a2=1,b2=4.又a>0,b>0,故a=1,b=2.
2. (xx·江蘇)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線-=1的離心率為,則m的值為________.
答案 2
解析 ∵c2=m+m2+4,∴e2===5,
∴m2-4m+4=0,∴m=2.
3. (xx·遼寧)已知雙曲線x2-y2=1,點F1,F(xiàn)2為其兩個焦點,點P為雙曲線上一點,若PF1⊥PF2,則|PF1|+|PF2|的值為________.
答案 2
解析 設P在雙曲線的右支上,|PF1|=2+x,|PF2|=x(x>0),因為PF1⊥PF2,所以(x+2)2+x2=(2c)2=8,
所以x=-1,x+2=+1,
所以|PF2|+|PF1|=2.
4. 若雙曲線-=1 (a>0,b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長,則該雙曲線的離心率為 ( )
A. B.5 C. D.2
答案 A
解析 焦點(c,0)到漸近線y=x的距離為=b,則由題意知b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2,
∴離心率e==.
5. (xx·課標全國)等軸雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上,C與拋物線y2=16x的準線交于A,B兩點,|AB|=4,則C的實軸長為 ( )
A. B.2 C.4 D.8
答案 C
解析 設C:-=1.
∵拋物線y2=16x的準線為x=-4,聯(lián)立-=1和x=-4得A(-4,),B(-4,-),
∴|AB|=2=4,∴a=2,∴2a=4.
∴C的實軸長為4.
題型一 求雙曲線的標準方程
例1 (1)(xx·山東)已知雙曲線-=1 (a>0,b>0)和橢圓+=1有相同的焦點,且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為________.
(2)與雙曲線x2-2y2=2有公共漸近線,且過點M(2,-2)的雙曲線方程為__________.
思維啟迪:設雙曲線方程為-=1,求雙曲線方程,即求a、b,為此需要關于a、b的兩個方程,由題意易得關于a、b的兩個方程;也可根據(jù)雙曲線的定義直接確定a、b、c.
答案 (1)-=1 (2)-=1
解析 (1)橢圓+=1的焦點坐標為F1(-,0),F(xiàn)2(,0),離心率為e=.由于雙曲線-=1與橢圓+=1有相同的焦點,因此a2+b2=7.
又雙曲線的離心率e==,所以=,
所以a=2,b2=c2-a2=3,故雙曲線的方程為-=1.
(2)設與雙曲線-y2=1有公共漸近線的雙曲線方程為-y2=k,將點(2,-2)代入得k=-(-2)2=-2.
∴雙曲線的標準方程為-=1.
探究提高 求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過程是先定形,再定量,即先確定雙曲線標準方程的形式,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關系,求出a,b的值.如果已知雙曲線的漸近線方程,求雙曲線的標準方程,可利用有公共漸近線的雙曲線方程為-=λ (λ≠0),再由條件求出λ的值即可.
求適合下列條件的雙曲線的標準方程:
(1)虛軸長為12,離心率為;
(2)焦距為26,且經(jīng)過點M(0,12).
解 (1)設雙曲線的標準方程為
-=1或-=1 (a>0,b>0).
由題意知,2b=12,e==.
∴b=6,c=10,a=8.
∴雙曲線的標準方程為-=1或-=1.
(2)∵雙曲線經(jīng)過點M(0,12),∴M(0,12)為雙曲線的一個頂點,故焦點在y軸上,且a=12.
又2c=26,∴c=13.∴b2=c2-a2=25.
∴雙曲線的標準方程為-=1.
題型二 雙曲線的幾何性質
例2 中心在原點,焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,橢圓的長半軸長與雙曲線半實軸長之差為4,離心率之比為3∶7.
(1)求這兩曲線方程;
(2)若P為這兩曲線的一個交點,求cos∠F1PF2的值.
思維啟迪: (1)分別設出橢圓方程為+=1 (a>b>0),雙曲線方程為-=1 (m>0,n>0).
(2)由已知條件分別求出a、b、m、n的值.
(3)利用橢圓與雙曲線定義及余弦定理求出cos∠F1PF2.
解 (1)由已知:c=,設橢圓長、短半軸長分別為a、b,雙曲線半實、虛軸長分別為m、n,
則,
解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.
∴橢圓方程為+=1,雙曲線方程為-=1.
(2)不妨設F1、F2分別為左、右焦點,P是第一象限的一個交點,則|PF1|+|PF2|=14,
|PF1|-|PF2|=6,
所以|PF1|=10,|PF2|=4.
又|F1F2|=2,
∴cos∠F1PF2=
==.
探究提高 在研究雙曲線的性質時,半實軸、半虛軸所構成的直角三角形是值得關注的一個重要內容;雙曲線的離心率涉及的也比較多.由于e=是一個比值,故只需根據(jù)條件得到關于a、b、c的一個關系式,利用b2=c2-a2消去b,然后變形求e,并且需注意e>1.
(1)(xx·大綱全國)已知F1、F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點,點P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2= ( )
A. B. C. D.
(2)(xx·浙江)已知橢圓C1:+=1 (a>b>0)與雙曲線C2:x2-=1有公共的焦點,C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A,B兩點,若C1恰好將線段AB三等分,則 ( )
A.a(chǎn)2= B.a(chǎn)2=13
C.b2= D.b2=2
答案 (1)C (2)C
解析 (1)由x2-y2=2知,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4,
∴a=,c=2.
又∵|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|,
∴|PF1|=4,|PF2|=2.
又∵|F1F2|=2c=4,
∴由余弦定理得cos∠F1PF2=
=.
(2)由題意知,a2=b2+5,因此橢圓方程為(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,雙曲線的一條漸近線方程為y=2x,聯(lián)立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,∴直線截橢圓的弦長d=×2=a,解得a2=,b2=.
題型三 直線與雙曲線的位置關系
例3 過雙曲線-=1的右焦點F2,傾斜角為30°的直線交雙曲線于A,B兩點,O為坐標原點,F(xiàn)1為左焦點.
(1)求|AB|;
(2)求△AOB的面積.
思維啟迪:寫出直線方程,然后與雙曲線方程聯(lián)立組成方程組,消去y得關于x的一元二次方程,利用弦長公式求|AB|;求O到直線的距離,代入面積公式得△AOB的面積.
(1)解 由雙曲線的方程得a=,b=,
∴c==3,F(xiàn)1(-3,0),F(xiàn)2(3,0).
直線AB的方程為y=(x-3).
設A(x1,y1),B(x2,y2),由
得5x2+6x-27=0.
∴x1+x2=-,x1x2=-.
∴|AB|=|x1-x2|
=·
=·=.
(2)解 直線AB的方程變形為x-3y-3=0.
∴原點O到直線AB的距離為
d==.
∴S△AOB=|AB|·d=××=.
探究提高 雙曲線的綜合問題主要是直線與雙曲線的位置關系問題.解決這類問題的常用方法是設出直線方程或雙曲線方程,然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組,消元后轉化成關于x(或y)的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關系及整體代入的思想解題.設直線與雙曲線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,直線的斜率為k,則|AB|=|x1-x2|.
已知橢圓C1的方程為+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B,且·>2(其中O為原點),求k的取值范圍.
解 (1)設雙曲線C2的方程為-=1 (a>0,b>0),
則a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,
故C2的方程為-y2=1.
(2)將y=kx+代入-y2=1,
得(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點,得
,
∴k2≠且k2<1.①
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=.
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.
又∵·>2,得x1x2+y1y2>2,
∴>2,即>0,解得<k2<3.②
由①②得<k2<1,
故k的取值范圍為∪.
忽視“判別式”致誤
典例:(12分)已知雙曲線x2-=1,過點P(1,1)能否作一條直線l,與雙曲線交于A、B兩點,且點P是線段AB的中點?
易錯分析 由于“判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點的重要方法,在解決直線與圓錐曲線相交的問題時,有時不需要考慮判別式,致使有的考生思維定勢的原因,任何情況下都沒有考慮判別式,導致解題錯誤.
規(guī)范解答
解 設點A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,且線段AB的中點為(x0,y0),
若直線l的斜率不存在,顯然不符合題意.[2分]
設經(jīng)過點P的直線l的方程為y-1=k(x-1),
即y=kx+1-k.[3分]
由得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0 (2-k2≠0).① [6分]
∴x0==.
由題意,得=1,解得k=2.[8分]
當k=2時,方程①成為2x2-4x+3=0.
Δ=16-24=-8<0,方程①沒有實數(shù)解.[11分]
∴不能作一條直線l與雙曲線交于A,B兩點,且點P(1,1)是線段AB的中點.[12分]
溫馨提醒 (1)本題是以雙曲線為背景,探究是否存在符合條件的直線,題目難度不大,思路也很清晰,但結論卻不一定正確.錯誤原因是忽視對直線與雙曲線是否相交的判斷,從而導致錯誤,因為所求的直線是基于假設存在的情況下所得的.
(2)本題屬探索性問題.若存在,可用點差法求出AB的斜率,進而求方程;也可以設斜率k,利用待定系數(shù)法求方程.
(3)求得的方程是否符合要求,一定要注意檢驗.
方法與技巧
1. 與雙曲線-=1 (a>0,b>0)有公共漸近線的雙曲線的方程可設為-=t (t≠0).
2. 已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程時,只要令雙曲線的標準方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程,即方程-=0就是雙曲線-=1 (a>0,b>0)的兩條漸近線方程.
失誤與防范
1. 區(qū)分雙曲線中的a,b,c大小關系與橢圓中的a,b,c大小關系,在橢圓中a2=b2+c2,而在雙曲線中c2=a2+b2.
2. 雙曲線的離心率e∈(1,+∞),而橢圓的離心率e∈(0,1).
3. 雙曲線-=1 (a>0,b>0)的漸近線方程是y=±x,-=1 (a>0,b>0)的漸近線方程是y=±x.
4. 若利用弦長公式計算,在設直線斜率時要注意說明斜率不存在的情況.
5. 直線與雙曲線交于一點時,不一定相切,例如:當直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交于一點,但不是相切;反之,當直線與雙曲線相切時,直線與雙曲線僅有一個交點.
A組 專項基礎訓練
(時間:35分鐘,滿分:57分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1. (xx·湖南)已知雙曲線C:-=1的焦距為10,點P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 A
解析 ∵-=1的焦距為10,∴c=5=.①
又雙曲線漸近線方程為y=±x,且P(2,1)在漸近線上,
∴=1,即a=2b.②
由①②解得a=2,b=,故應選A.
2. (xx·福建)已知雙曲線-=1的右焦點為(3,0),則該雙曲線的離心率等于 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由雙曲線中a,b,c的關系c2=a2+b2,得32=a2+5,
∴a2=4.∴e==.
3. 設橢圓C1的離心率為,焦點在x軸上且長軸長為26,若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線C2的標準方程為 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 A
解析 由題意知橢圓C1的焦點坐標為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),設曲線C2上的一點P,則||PF1|-|PF2||=8.
由雙曲線的定義知:a=4,b=3.
故曲線C2的標準方程為-=1.
4. (xx·課標全國)設直線l過雙曲線C的一個焦點,且與C的一條對稱軸垂直,l與C交于A,B兩點,|AB|為C的實軸長的2倍,則C的離心率為 ( )
A. B.
C.2 D.3
答案 B
解析 設雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0),由于直線l過雙曲線的焦點且與對稱軸垂直,因此直線l的方程為l:x=c或x=-c,代入-=1得y2=b2(-1)=,∴y=±,故|AB|=,依題意=4a,∴=2,∴=e2-1=2,∴e=.
二、填空題(每小題5分,共15分)
5. 已知中心在原點的雙曲線C,過點P(2,)且離心率為2,則雙曲線C的標準方程為______________________.
答案?。?或-=1
解析 ∵雙曲線C的離心率為2,∴2=,∴=,
∴可設雙曲線C的標準方程為-=1或-=1,把P(2,)代入得,a2=3或a2=,∴所求雙曲線C的標準方程為-=1或-=1.
6. 雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實軸長的2倍,則m=___________.
答案 -
解析 由題意知a2=1,b2=-,則a=1,b=.
∴ =2,解得m=-.
7. 已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中,有一個內角為60°,則雙曲線C的離心率為________.
答案
解析 如圖,∠B1F1B2=60°,
則c=b,即c2=3b2,
由c2=3(c2-a2),
得=,則e=.
三、解答題(共22分)
8. (10分)已知橢圓D:+=1與圓M:x2+(y-5)2=9,雙曲線G與橢圓D有相同焦點,它的兩條漸近線恰好與圓M相切,求雙曲線G的方程.
解 橢圓D的兩個焦點為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),
因而雙曲線中心在原點,焦點在x軸上,且c=5.
設雙曲線G的方程為-=1 (a>0,b>0),
∴漸近線方程為bx±ay=0且a2+b2=25,
又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r=3.
∴=3,得a=3,b=4,
∴雙曲線G的方程為-=1.
9. (12分)已知雙曲線的中心在原點,焦點F1、F2在坐標軸上,離心率為,且過點P(4,-).
(1)求雙曲線方程;
(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0;
(3)求△F1MF2的面積.
(1)解 ∵e=,∴可設雙曲線方程為x2-y2=λ.
∵過點P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.
∴雙曲線方程為x2-y2=6.
(2)證明 方法一 由(1)可知,雙曲線中a=b=,
∴c=2,∴F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),
∴kMF1=,kMF2=,
kMF1·kMF2==-.
∵點(3,m)在雙曲線上,∴9-m2=6,m2=3,
故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2,∴·=0.
方法二 ∵=(-3-2,-m),
=(2-3,-m),
∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.
∵M點在雙曲線上,∴9-m2=6,即m2-3=0,
∴·=0.
(3)解 △F1MF2的底|F1F2|=4,
由(2)知m=±.
∴△F1MF2的高h=|m|=,
∴S△F1MF2=×4×=6.
B組 專項能力提升
(時間:25分鐘,滿分:43分)
一、選擇題(每小題5分,共15分)
1. 設雙曲線的一個焦點為F,虛軸的一個端點為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 設雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),如圖所示,雙曲線的一條漸近線方程為y=x,而kBF=-,
∴·(-)=-1,整理得b2=ac.
∴c2-a2-ac=0,兩邊同除以a2,得e2-e-1=0,
解得e=或e=(舍去),故選D.
2. 已知點F是雙曲線-=1 (a>0,b>0)的左焦點,點E是該雙曲線的右頂點,過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點,若△ABE是鈍角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是 ( )
A.(1,+∞) B.(1,2)
C.(1,1+) D.(2,+∞)
答案 D
解析 根據(jù)雙曲線的對稱性,若△ABE是鈍角三角形,則只要0<∠BAE<即可.直線AB:x=-c,代入雙曲線方程得y2=,取點A,則|AF|=,|EF|=a+c,只要|AF|>|EF|就能使∠BAE<,故>a+c,即b2>a2+ac,即c2-ac-2a2>0,即e2-e-2>0,得e>2或e<-1,又e>1,故e>2.故選D.
3. 若點O和點F(-2,0)分別為雙曲線-y2=1 (a>0)的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則·的取值范圍為 ( )
A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞)
C. D.
答案 B
解析 由a2+1=4,得a=,則雙曲線方程為-y2=1.
設點P(x0,y0),則-y=1,即y=-1.
·=x0(x0+2)+y=x+2x0+-1
=2-,∵x0≥,
故·的取值范圍是[3+2,+∞),故選B.
二、填空題(每小題5分,共15分)
4. (xx·重慶)設P為直線y=x與雙曲線-=1 (a>0,b>0)左支的交點,F(xiàn)1是左焦點,PF1垂直于x軸,則雙曲線的離心率e=________.
答案
解析 ∵直線y=x與雙曲線-=1相交,
由消去y得x=,
又PF1垂直于x軸,∴=c,即e==.
5. 設點F1,F(xiàn)2是雙曲線x2-=1的兩個焦點,點P是雙曲線上一點,若3|PF1|=4|PF2|,則△PF1F2的面積為________.
答案 3
解析 據(jù)題意,|PF1|=|PF2|,且|PF1|-|PF2|=2,
解得|PF1|=8,|PF2|=6.
又|F1F2|=4,在△PF1F2中,由余弦定理得,
cos∠F1PF2==.
所以sin∠F1PF2==,
所以S△PF1F2=×6×8×=3.
6. 已知雙曲線-=1 (a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,點P在雙曲線的右支上,且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為________.
答案
解析 由定義,知|PF1|-|PF2|=2a.
又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a.
在△PF1F2中,由余弦定理,
得cos∠F1PF2==-e2.
要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,
∴當cos∠F1PF2=-1時,得e=,
即e的最大值為.
三、解答題
7. (13分)直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點A、B.
(1)求實數(shù)k的取值范圍;
(2)是否存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.
解 (1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程
2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.①
依題意,直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點,
故
解得k的取值范圍是-2<k<-.
(2)設A、B兩點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),
則由①式得②
假設存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F(c,0).
則由FA⊥FB得:(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.
即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.
整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.③
把②式及c=代入③式化簡得5k2+2k-6=0.
解得k=-或k=?(-2,-)(舍去),
可知存在k=-使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點.