2022年高中數(shù)學(xué) 課時作業(yè)31 基本不等式1 新人教版必修5

2022年高中數(shù)學(xué) 課時作業(yè)31 基本不等式1 新人教版必修5 1．下列函數(shù)中，最小值為4的函數(shù)是(　　) A．y＝x＋　　　　　　　 B．y＝sinx＋ C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81 答案　C 解析　A、D不能保證是正數(shù)之和，sinx取不到2，只有C項滿足兩項均為正，當且僅當x＝ln2時等號成立． 2．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是(　　) A．0 B．1 C．4 D．4 答案　D 解析?。健荩?，當且僅當x＝y(tǒng)時符號成立． 3．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是(　　) A. B．4 C. D．5 答案　C 解析　∵a＋b＝2，∴y＝(＋)() ＝＋＝＋＋＋2 ≥＋2＝＋2＝，當且僅當a＝，b＝時等號成立． 4．設(shè)a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么(　　) A．a(chǎn)＋b有最小值2(＋1) B．a(chǎn)＋b有最大值(＋1)2 C．a(chǎn)b有最大值＋1 D．a(chǎn)b有最小值2(＋1) 答案　A 5．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2則＋的最小值為(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 答案　C 6．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且滿足x－2y＋3z＝0，則的最小值為(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 答案　A 7．下列不等式①a2＋1＞2a；②a2＋4≥4a；③|＋|≥2；④≤ab.其中恒成立的是(　　) A．①④ B．③④ C．②③ D．①② 答案　C 解析　與同號，|＋|＝||＋||≥2. 8．已知x>0，y>0，且滿足＋＝1，則xy的最大值為________． 答案　3 解析　∵＋＝1，∴1＝＋≥2＝. ∴≤，當且僅當＝＝即x＝，y＝2時等號成立．∴xy≤3. 9．若實數(shù)x、y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________． 答案　 解析　x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1， ∴(x＋y)2＝xy＋1≤()2＋1.∴(x＋y)2≤1. ∴x＋y≤.當且僅當x＝y(tǒng)＝時等號成立． 10．當0<x<2時，不等式x(2－x)≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　[1，＋∞) 解析　∵0<x<2，∴2－x>0，∴x(2－x)≤()2＝1.∴a≥1. 11．建造一個容積為8 m3，深為2 m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低總造價為________元． 答案　1 760 解析　設(shè)水池的造價為y元，長方體底的一邊長為x m，由于底面積為4 m2，所以另一邊長為m.那么 y＝120·4＋2·80·(2x＋2·)＝480＋320(x＋)≥480＋320·2＝1 760(元)． 當x＝2，即底為邊長為2 m的正方形時，水池的造價最低，為1 760元． 12．已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求＋的最小值． 解析　∵lgx＋lgy＝1， ∴xy＝10，∴＋≥2＝2. 當且僅當＝，即x＝2，y＝5時，等號成立． 故＋的最小值為2. 13．(1)已知x<－2，求函數(shù)y＝2x＋的最大值． (2)求y＝的最小值． 解析　(1)∵x<－2，∴x＋2<0，－(x＋2)>0. ∴y＝2(x＋2)＋－4＝－[－2(x＋2)＋]－4≤－2－4＝－2－4. 當且僅當－2(x＋2)＝(x<－2)，即x＝－2－時，y取最大值－2－4. (2)令t＝，則y＝f(t)＝t＋，由f(t)＝t＋(t≥2)的單調(diào)性，知y＝t＋在[2，＋∞)上是增函數(shù)． ∴t＝2時，f(t)min＝2＋＝， 即當＝2，也就是x＝0時，ymin＝. 14．求證：()2≤. 證明　()2＝ ≤＝ (當且僅當a＝b時，“＝”成立)． 15．已知a，b都是正數(shù)，求證：ab＋4a＋b＋4≥8. 證明　∵ab＋4a＋b＋4＝(a＋1)(b＋4)， 又∵a>0，b>0，∴a＋1≥2>0，b＋4≥4>0， 當且僅當a＝1，b＝4時取等號． ∴(a＋1)(b＋4)≥8， 當且僅當a＝1，b＝4時取等號． 16．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式； (2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時) 解析　(1)由題意，當0≤x≤20時，v(x)＝60；當20≤x≤200時，設(shè)v(x)＝ax＋b， 再由已知得解得 故函數(shù)v(x)的表達式為 v(x)＝ (2)依題意并由(1)可得 f(x)＝ 當0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當x＝20時，其最大值為60×20＝1 200； 當20<x≤20時，f(x)＝x(200－x)≤[]2＝， 當且僅當x＝200－x, 即x＝100時，等號成立． 所以，當x＝100時，f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值. 綜上，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333，即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/小時．