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2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 12.7 條件概率與事件的獨(dú)立性教案 理 新人教A版

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2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 12.7 條件概率與事件的獨(dú)立性教案 理 新人教A版

2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 12.7 條件概率與事件的獨(dú)立性教案 理 新人教A版 典例精析 題型一 條件概率的求法 【例1】一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共6位數(shù)字,每位數(shù)字都可從0~9中任選一個(gè).某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí),忘記了密碼的最后一位數(shù)字,求: (1)任意按最后一位數(shù)字,不超過(guò)2次就按對(duì)的概率; (2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù),不超過(guò)2次就按對(duì)的概率. 【解析】設(shè)第i次按對(duì)密碼為事件Ai(i=1,2),則A=A1∪(A2)表示不超過(guò)2次就按對(duì)密碼. (1)因?yàn)槭录嗀1與事件A2互斥,由概率的加法公式得P(A)=P(A1)+P(A2)=+=. (2)用B表示最后一位是偶數(shù)的事件,則 P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B)=+=. 【點(diǎn)撥】此類問(wèn)題解題時(shí)應(yīng)注意著重分析事件間的關(guān)系,辨析所求概率是哪一事件的概率,再運(yùn)用相應(yīng)的公式求解. 【變式訓(xùn)練1】設(shè)某種動(dòng)物從出生算起活到20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4.現(xiàn)有一只20歲的這種動(dòng)物,問(wèn)它能活到25歲以上的概率是   . 【解析】設(shè)此種動(dòng)物活到20歲為事件A,活到25歲為事件B,所求概率為P(B|A), 由于B?A,則P(AB)=P(B),所以P(B|A)====. 題型二 相互獨(dú)立事件的概率 【例2】三人獨(dú)立破譯同一份密碼,已知三人各自破譯出密碼的概率分別為,,,且他們是否破譯出密碼互不影響. (1)求恰有二人破譯出密碼的概率; (2)“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個(gè)大?說(shuō)明理由. 【解析】(1)記三人各自破譯出密碼分別為事件A,B,C,依題意知A,B,C相互獨(dú)立,記事件D:恰有二人破譯密碼, 則P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC) =××(1-)+×(1-)×+(1-)××==. (2)記事件E:密碼被破譯,:密碼未被破譯, 則P()=P()=(1-)×(1-)×(1-)==, 所以P(E)=1-P()=,所以P(E)>P(). 故密碼被破譯的概率大. 【點(diǎn)撥】解決事件的概率問(wèn)題的一般步驟:①記取事件;②揭示事件的關(guān)系;③計(jì)算事件的概率. 【變式訓(xùn)練2】甲、乙、丙三個(gè)口袋內(nèi)都分別裝有6個(gè)只有顏色不相同的球,并且每個(gè)口袋內(nèi)的6個(gè)球均有1個(gè)紅球,2個(gè)黑球,3個(gè)無(wú)色透明的球,現(xiàn)從甲、乙、丙三個(gè)口袋中依次隨機(jī)各摸出1個(gè)球,求恰好摸出紅球、黑球和無(wú)色球各1個(gè)的概率. 【解析】由于各個(gè)袋中球的情況一樣,而且從每一個(gè)袋中摸出紅球、黑球、無(wú)色球的概率均分別為,,,可得P=A×××=. 題型三 綜合問(wèn)題 【例3】某公司招聘員工,指定三門考試課程,有兩種考試方案. 方案一:三門課程中至少有兩門及格為考試通過(guò); 方案二:在三門課程中隨機(jī)選取兩門,這兩門都及格為考試通過(guò). 假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是a,b,c,且三門課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響. (1)分別求該應(yīng)聘者在方案一和方案二下考試通過(guò)的概率; (2)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小,并說(shuō)明理由. 【解析】記該應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的事件分別為A,B,C,則P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c. (1)應(yīng)聘者在方案一下考試通過(guò)的概率 P1=P(AB)+P(BC)+P(AC)+P(ABC) =ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)+abc =ab+bc+ca-2abc. 應(yīng)聘者在方案二下考試通過(guò)的概率 P2=P(AB)+P(BC)+P(AC)=(ab+bc+ca). (2)由a,b,c∈[0,1],則 P1-P2=(ab+bc+ca)-2abc=[ab(1-c)+bc(1-a)+ca(1-b)]≥0, 故P1≥P2,即采用第一種方案,該應(yīng)聘者考試通過(guò)的概率較大. 【點(diǎn)撥】本題首先以相互獨(dú)立事件為背景,考查兩種方案的概率,然后比較概率的大小,要求運(yùn)用a,b,c∈[0,1]這一隱含條件. 【變式訓(xùn)練3】甲,乙,丙三人分別獨(dú)立地進(jìn)行某項(xiàng)體能測(cè)試,已知甲能通過(guò)測(cè)試的概率是,甲,乙,丙三人都能通過(guò)測(cè)試的概率是,甲,乙,丙三人都不能通過(guò)測(cè)試的概率是,且乙通過(guò)的概率比丙大. (1)求乙,丙兩人各自通過(guò)測(cè)試的概率分別是多少? (2)測(cè)試結(jié)束后,最容易出現(xiàn)幾人通過(guò)的情況? 【解析】(1)設(shè)乙、丙兩人各自通過(guò)的概率分別為x,y,依題意得 即或 (舍去), 所以乙、丙兩人各自通過(guò)的概率分別為,. (2)因?yàn)槿硕疾荒芡ㄟ^(guò)測(cè)試的概率為P0=, 三人都能通過(guò)測(cè)試的概率為P3==, 三人中恰有一人通過(guò)測(cè)試的概率: P1=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×(1-)×==, 三人恰有兩人通過(guò)測(cè)試的概率: P2=1-(P0+P1+P3)=, 所以測(cè)試結(jié)束后,最容易出現(xiàn)兩人通過(guò)的情況. 總結(jié)提高 1.互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的區(qū)別: 對(duì)于事件A、B,在一次試驗(yàn)中,A、B如果不能同時(shí)發(fā)生,則稱A、B互斥.一次試驗(yàn)中,如果A、B互斥且A、B中必有一個(gè)發(fā)生,則稱A、B對(duì)立.顯然,A+為必然事件,A、B互斥則不能同時(shí)發(fā)生,但可能同時(shí)不發(fā)生.兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件的發(fā)生的概率沒(méi)有影響.事實(shí)上: A、B互斥,則P(AB)=0; A、B對(duì)立,則P(AB)=0且P(A)+P(B)=1; A、B相互獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P(B). 它們是不相同的. 2.由于當(dāng)事件A、B相互獨(dú)立時(shí),P(AB)=P(A)P(B),因此式子1-P(A)P(B)表示相互獨(dú)立事件A、B中至少有一個(gè)不發(fā)生的概率.對(duì)于n個(gè)隨機(jī)事件A1,A2,…,An,有 P(A1+A2+…+An)=1-P(∩∩…∩),此稱為概率的和與積的互補(bǔ)公式.

注意事項(xiàng)

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