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1、2022年高考數(shù)學一輪總復(fù)習 12.7 條件概率與事件的獨立性教案 理 新人教A版
典例精析
題型一 條件概率的求法
【例1】一張儲蓄卡的密碼共6位數(shù)字,每位數(shù)字都可從0~9中任選一個.某人在銀行自動提款機上取錢時,忘記了密碼的最后一位數(shù)字,求:
(1)任意按最后一位數(shù)字,不超過2次就按對的概率;
(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù),不超過2次就按對的概率.
【解析】設(shè)第i次按對密碼為事件Ai(i=1,2),則A=A1∪(A2)表示不超過2次就按對密碼.
(1)因為事件A1與事件A2互斥,由概率的加法公式得P(A)=P(A1)+P(A2)=+=.
(2)用B表示最后一位
2、是偶數(shù)的事件,則
P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B)=+=.
【點撥】此類問題解題時應(yīng)注意著重分析事件間的關(guān)系,辨析所求概率是哪一事件的概率,再運用相應(yīng)的公式求解.
【變式訓練1】設(shè)某種動物從出生算起活到20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4.現(xiàn)有一只20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是 .
【解析】設(shè)此種動物活到20歲為事件A,活到25歲為事件B,所求概率為P(B|A), 由于B?A,則P(AB)=P(B),所以P(B|A)====.
題型二 相互獨立事件的概率
【例2】三人獨立破譯同一份密碼,已知三人各自破譯出密碼的概率分別為,,,且他們
3、是否破譯出密碼互不影響.
(1)求恰有二人破譯出密碼的概率;
(2)“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個大?說明理由.
【解析】(1)記三人各自破譯出密碼分別為事件A,B,C,依題意知A,B,C相互獨立,記事件D:恰有二人破譯密碼,
則P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=××(1-)+×(1-)×+(1-)××==.
(2)記事件E:密碼被破譯,:密碼未被破譯,
則P()=P()=(1-)×(1-)×(1-)==,
所以P(E)=1-P()=,所以P(E)>P().
故密碼被破譯的概率大.
【點撥】解決事件的概率問題的一般步驟:①記取事件;②揭示事件的關(guān)系
4、;③計算事件的概率.
【變式訓練2】甲、乙、丙三個口袋內(nèi)都分別裝有6個只有顏色不相同的球,并且每個口袋內(nèi)的6個球均有1個紅球,2個黑球,3個無色透明的球,現(xiàn)從甲、乙、丙三個口袋中依次隨機各摸出1個球,求恰好摸出紅球、黑球和無色球各1個的概率.
【解析】由于各個袋中球的情況一樣,而且從每一個袋中摸出紅球、黑球、無色球的概率均分別為,,,可得P=A×××=.
題型三 綜合問題
【例3】某公司招聘員工,指定三門考試課程,有兩種考試方案.
方案一:三門課程中至少有兩門及格為考試通過;
方案二:在三門課程中隨機選取兩門,這兩門都及格為考試通過.
假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別
5、是a,b,c,且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.
(1)分別求該應(yīng)聘者在方案一和方案二下考試通過的概率;
(2)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小,并說明理由.
【解析】記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為A,B,C,則P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c.
(1)應(yīng)聘者在方案一下考試通過的概率
P1=P(AB)+P(BC)+P(AC)+P(ABC)
=ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)+abc
=ab+bc+ca-2abc.
應(yīng)聘者在方案二下考試通過的概率
P2=P(AB)+P(BC)+P(AC)=(ab+bc+ca).
(2
6、)由a,b,c∈[0,1],則
P1-P2=(ab+bc+ca)-2abc=[ab(1-c)+bc(1-a)+ca(1-b)]≥0,
故P1≥P2,即采用第一種方案,該應(yīng)聘者考試通過的概率較大.
【點撥】本題首先以相互獨立事件為背景,考查兩種方案的概率,然后比較概率的大小,要求運用a,b,c∈[0,1]這一隱含條件.
【變式訓練3】甲,乙,丙三人分別獨立地進行某項體能測試,已知甲能通過測試的概率是,甲,乙,丙三人都能通過測試的概率是,甲,乙,丙三人都不能通過測試的概率是,且乙通過的概率比丙大.
(1)求乙,丙兩人各自通過測試的概率分別是多少?
(2)測試結(jié)束后,最容易出現(xiàn)幾人通過的
7、情況?
【解析】(1)設(shè)乙、丙兩人各自通過的概率分別為x,y,依題意得
即或 (舍去),
所以乙、丙兩人各自通過的概率分別為,.
(2)因為三人都不能通過測試的概率為P0=,
三人都能通過測試的概率為P3==,
三人中恰有一人通過測試的概率:
P1=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×(1-)×==,
三人恰有兩人通過測試的概率:
P2=1-(P0+P1+P3)=,
所以測試結(jié)束后,最容易出現(xiàn)兩人通過的情況.
總結(jié)提高
1.互斥事件、對立事件、相互獨立事件的區(qū)別:
對于事件A、B,在一次試驗中,A、B如果不能同時發(fā)生,則稱A、B互斥.一次試驗中,如果
8、A、B互斥且A、B中必有一個發(fā)生,則稱A、B對立.顯然,A+為必然事件,A、B互斥則不能同時發(fā)生,但可能同時不發(fā)生.兩事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件的發(fā)生的概率沒有影響.事實上:
A、B互斥,則P(AB)=0;
A、B對立,則P(AB)=0且P(A)+P(B)=1;
A、B相互獨立,則P(AB)=P(A)P(B).
它們是不相同的.
2.由于當事件A、B相互獨立時,P(AB)=P(A)P(B),因此式子1-P(A)P(B)表示相互獨立事件A、B中至少有一個不發(fā)生的概率.對于n個隨機事件A1,A2,…,An,有
P(A1+A2+…+An)=1-P(∩∩…∩),此稱為概率的和與積的互補公式.