2022屆高考數(shù)學一輪復習 第8章 立體幾何 38 直線、平面垂直的判定與性質課時訓練 文（含解析）

2022屆高考數(shù)學一輪復習 第8章 立體幾何 38 直線、平面垂直的判定與性質課時訓練 文（含解析） 一、選擇題 1．(2018天津河西模擬)設l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是(　　) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，則l∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 【答案】B 【解析】A中，α∥β或α與β相交，不正確． B中，過直線l作平面γ，設α∩γ＝l′，則l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，從而α⊥β，B正確． C中，l∥β或l?β，C不正確． 對于D中，l與β的位置關系不確定． 2．(2018河南師大附中期末)如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 【答案】D 【解析】因為BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF， 所以BC∥平面PDF，故選項A正確． 在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC， 所以BC⊥平面PAE，則DF⊥平面PAE，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項B，C均正確． 3．(2018哈爾濱聯(lián)考)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下面結論正確的是(　　) A．若m⊥n，n∥α，則m⊥α B．若m∥β，β⊥α，則m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α 【答案】C 【解析】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m⊥α，錯誤； B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤； C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確； D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤． 4．(2018長沙一模)如圖，在三棱錐D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE 【答案】C 【解析】因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE. 5．(2018福建泉州模擬)如圖，在下列四個正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G均為所在棱的中點，過E，F(xiàn)，G作正方體的截面，則在各個正方體中，直線BD1與平面EFG不垂直的是(　　) 【答案】D 【解析】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，M，N，Q均為所在棱的中點，圖形EFMNQG是一個平面圖形，直線BD1與平面EFMNQG垂直，并且選項A，B，C中的平面EFG與這個平面重合，滿足題意，只有選項D中的直線BD1與平面EFG不垂直．故選D. 6．(2018貴州貴陽二模)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內的射影為O，則下列說法正確的是(　　) A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的內心 C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心 【答案】A 【解析】如圖，由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直， 所以PA⊥平面PEF.從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO. 所以EF⊥AO.同理可知AE⊥FO，AF⊥EO， 所以O為△AEF的垂心． 二、填空題 7．(2018吉林九校聯(lián)考)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可) 【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等) 【解析】由定理可知BD⊥PC， ∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有PC⊥平面MBD. 又PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 8．(2018云南檢測)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面B1DF. 【答案】A或2a 【解析】∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D. 為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)． 設AF＝x，則CD2＝DF2＋FC2， ∴x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a. 三、解答題 9．(2018廣東七校聯(lián)考)如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中點． 求證：(1)AN∥平面A1MK； (2)平面A1B1C⊥平面A1MK. 【證明】(1)如圖所示，連接NK. 在正方體ABCD－A1B1C1D1中， ∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形， ∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD. ∵N，K分別為CD，C1D1的中點， ∴DN∥D1K，DN＝D1K. ∴四邊形DD1KN為平行四邊形． ∴KN∥DD1，KN＝DD1.∴AA1∥KN，AA1＝KN. ∴四邊形AA1KN為平行四邊形．∴AN∥A1K. ∵A1K?平面A1MK，AN?平面A1MK， ∴AN∥平面A1MK. (2)如圖所示，連接BC1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1. ∵M，K分別為AB，C1D1的中點， ∴BM∥C1K，BM＝C1K. ∴四邊形BC1KM為平行四邊形．∴MK∥BC1. 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C， BC1?平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1. ∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK. ∵四邊形BB1C1C為正方形，∴BC1⊥B1C. ∴MK⊥B1C. ∵A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1， ∴MK⊥平面A1B1C. 又∵MK?平面A1MK， ∴平面A1B1C⊥平面A1MK. 10．(2018濟南模擬)圓O的直徑AB＝4，點C，D為圓O上兩點，且∠CAB＝45°，F(xiàn)為的中點．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖②)． 圖①　　　　　　　　　　圖② (1)求證：OF∥平面ACD； (2)在AD上是否存在點E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，試指出點E的位置；若不存在，請說明理由． 【證明】(1)由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，又因為F為的中點， 所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC. 又AC?平面ACD，OF?平面ACD， 所以OF∥平面ACD. (2)存在，E為AD的中點． 因為OA＝OD，所以OE⊥AD. 又OC⊥AB且兩半圓所在平面互相垂直， 所以OC⊥平面OAD. 又AD?平面OAD，所以AD⊥OC. 由于OE，OC是平面OCE內的兩條相交直線，所以AD⊥平面OCE. 又AD?平面ACD， 所以平面OCE⊥平面ACD. 11．(2018北京東城區(qū)模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，M為棱AC的中點．AB＝BC，AC＝2，AA1＝. (1)求證：B1C∥平面A1BM； (2)求證：AC1⊥平面A1BM； (3)在棱BB1上是否存在點N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由． (1)【證明】如圖1，連接AB1與A1B，兩線交于點O，連接OM， 在△B1AC中，∵M，O分別為AC，AB1中點， 圖1 ∴OM∥B1C. 又∵OM?平面A1BM，B1C?平面A1BM， ∴B1C∥平面A1BM. (2)【證明】∵側棱AA1⊥底面ABC，BM?平面ABC，∴AA1⊥BM. 又∵M為棱AC的中點，AB＝BC， ∴BM⊥AC. ∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1. ∴BM⊥AC1. ∵AC＝2，∴AM＝1. 又∵AA1＝，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中， tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝. ∴∠AC1C＝∠A1MA， 即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°. ∴A1M⊥AC1. ∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM. (3)【解】當點N為BB1的中點，即＝時，平面AC1N⊥平面AA1C1C. 證明如下：設AC1的中點為D，連接DM，DN，如圖2. 圖2 ∵D，M分別為AC1，AC的中點， ∴DM∥CC1，且DM＝CC1. 又∵N為BB1的中點， ∴DM∥BN，且DM＝BN. ∴四邊形BNDM為平行四邊形． ∴BM∥DN. ∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面ACC1A1. 又∵DN?平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.