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1、（通用版）2022高考數學一輪復習 第五講 解題的必備積淀—把根留住講義 理
許多考生雖然做了大量的習題，但遇到類似的題目仍不知所措，“這道題我好像做過，但還是做不出來”是學生普遍反映的現(xiàn)象；“這道題，我上課講過的，學生怎么還是不會”，這是一線教師的口頭禪；學生平時解題也知道要進行化歸，但總找不到歸根何處．這就是平時只顧埋頭做題，不注重歸納領悟而造成的高耗低能現(xiàn)象．
為什么會有這樣的偏差？
什么是數學的“根”？
如何把“根”留住？
高考數學題既考查學生對基礎知識、基本技能的掌握程度，又考查對數學思想方法、數學本質的理解水平．如果學習中僅就題論題，對問題的理解只停留在知識、方法表象
2、層次上，而沒有體會到問題背后的“根”，那么做再多的習題，也只是事倍功半.
它應該是數學最本質的東西，是數學知識的內在聯(lián)系、數學規(guī)律的形成過程、數學思想方法的提煉、數學核心價值的理解、數學理性精神(依靠思維能力對感性材料進行一系列的抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理)的體驗等.
可通過研究問題的變式，留住知識之“根”；通過優(yōu)化問題的解法，留住方法之“根”．只有這樣，高考數學的復習才能強“根”固本，枝繁葉茂.
一、研究問題的變式，留住知識之“根”
一題多變，總結規(guī)律．可培養(yǎng)思維的探索性和深刻性，通過對變式問題的研究，可以解決一類問題，遏制“題海戰(zhàn)術”，開拓解題思路．在分析解決問
3、題的過程中，既構建知識橫向聯(lián)系，又養(yǎng)成多角度思考問題的習慣．
[例1] 在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若點P為線段BC的中點，則·＝________.
[解析] 因為點P為線段BC的中點，
所以＝(＋)，又因為＝－，
所以·＝(＋)·(－)
＝(2－2)＝(52－32)＝8.
[答案] 8
[變式1] 在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若點P為△ABC的外心，則·＝________.
[解析] 取BC的中點D，連接AD，PD，
則＝＋，
所以·＝(＋)·＝·＋·.
因為點P為△ABC的外心，點D為線段BC的中點，
所以⊥，則·＝0.
于是·＝·＝(＋)·(－)＝(
4、2－2)＝8.
[答案] 8
[變式2] 在△ABC中，AB＝m，AC＝n，D為BC的中點．若點P為線段BC垂直平分線上的任意一點，求證：·＝(n2－m2)．
[證明] 由題意，可得⊥，所以·＝0，從而·＝(＋)·＝·＋·＝·.
又因為＝(＋)，＝－，
所以·＝(＋)·(－)
＝(2－2)＝(n2－m2)．
[反思領悟] 以平面幾何圖形作為命題背景的向量數量積問題是高考命題的常見題型．平面向量的數量積運算，有兩種體系，一是數量積的幾何運算，二是向量數量積的坐標運算．對于三角形中相關線段構成的向量數量積計算問題，其中三角形中線的向量表示、向量加減法的三角形法則是求解這類問題的突破口
5、．
二、優(yōu)化問題的解法，留住方法之“根”
一題多解，觸類旁通．培養(yǎng)發(fā)散思維能力，培養(yǎng)思維的靈活性．一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯(lián)系．從各種途徑，用多種方法思考問題，可開拓解題思路，掌握知識的內在聯(lián)系，并從多種解法的對比中選出最佳解法，總結解題規(guī)律，使分析問題、解決問題的能力提高．
[例2] 已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，則( )
A．c≤3 B．3＜c≤6
C．6＜c≤9 D．c>9
[解析] 法一：由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得
??
則f(x)＝x3＋6x
6、2＋11x＋c，
而0＜f(－1)≤3，
故0＜－6＋c≤3，
所以6＜c≤9，故選C.
法二：設f(－1)＝f(－2)＝f(－3)＝k，則0＜k≤3.
設f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋k，則c＝k＋6，
所以6＜c≤9，故選C.
法三：由題意，f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋c－6，得0＜c－6≤3，所以6＜c≤9，故選C.
法四：取f(－1)＝f(－2)＝f(－3)＝3，則c＝9，故選C.
[答案] C
[反思領悟] 法一直接利用已知條件求出系數a，b，代入后求解不等式，為常規(guī)解法，運算量較大；法四為特殊值法，有一定的偶然性，較之法一簡潔，是一種行之有效的解決選擇題的方法，此處也可取f(－1)＝1等值；法二、三則蘊含了函數的零點與解析式之間的關系結構，是問題解決的基本方法，并可將問題結構轉化為類似的更高次數的函數問題．
數學是一門工具性學科，它研究的是空間形式與數量的關系，數學的本性是“智慧”，是“人的思維”．數學教學的本質是思維過程的引導、啟發(fā)．因此，做數學題要從根本處抓起，通過研究問題的變式，優(yōu)化解題的方法等方式，跳出無邊無際的“書山題?！保ㄟ^對解題過程的“反芻”，留住知識之“根”、方法之“根”．只有從“根”處澆灌知識之營養(yǎng)，數學之“花”才能燦爛綻放．
（通用版）2022高考數學一輪復習 第五講 解題的必備積淀—把根留住講義 理
