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(通用版)2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五講 解題的必備積淀—把根留住講義 理

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(通用版)2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五講 解題的必備積淀—把根留住講義 理

(通用版)2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五講 解題的必備積淀—把根留住講義 理 許多考生雖然做了大量的習(xí)題,但遇到類似的題目仍不知所措,“這道題我好像做過,但還是做不出來”是學(xué)生普遍反映的現(xiàn)象;“這道題,我上課講過的,學(xué)生怎么還是不會(huì)”,這是一線教師的口頭禪;學(xué)生平時(shí)解題也知道要進(jìn)行化歸,但總找不到歸根何處.這就是平時(shí)只顧埋頭做題,不注重歸納領(lǐng)悟而造成的高耗低能現(xiàn)象. 為什么會(huì)有這樣的偏差? 什么是數(shù)學(xué)的“根”? 如何把“根”留???   高考數(shù)學(xué)題既考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握程度,又考查對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平.如果學(xué)習(xí)中僅就題論題,對問題的理解只停留在知識、方法表象層次上,而沒有體會(huì)到問題背后的“根”,那么做再多的習(xí)題,也只是事倍功半. 它應(yīng)該是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西,是數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程、數(shù)學(xué)思想方法的提煉、數(shù)學(xué)核心價(jià)值的理解、數(shù)學(xué)理性精神(依靠思維能力對感性材料進(jìn)行一系列的抽象和概括、分析和綜合,以形成概念、判斷或推理)的體驗(yàn)等. 可通過研究問題的變式,留住知識之“根”;通過優(yōu)化問題的解法,留住方法之“根”.只有這樣,高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)才能強(qiáng)“根”固本,枝繁葉茂. 一、研究問題的變式,留住知識之“根” 一題多變,總結(jié)規(guī)律.可培養(yǎng)思維的探索性和深刻性,通過對變式問題的研究,可以解決一類問題,遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”,開拓解題思路.在分析解決問題的過程中,既構(gòu)建知識橫向聯(lián)系,又養(yǎng)成多角度思考問題的習(xí)慣. [例1] 在△ABC中,AB=3,AC=5,若點(diǎn)P為線段BC的中點(diǎn),則·=________. [解析] 因?yàn)辄c(diǎn)P為線段BC的中點(diǎn), 所以=(+),又因?yàn)椋剑? 所以·=(+)·(-) =(2-2)=(52-32)=8. [答案] 8 [變式1] 在△ABC中,AB=3,AC=5,若點(diǎn)P為△ABC的外心,則·=________. [解析] 取BC的中點(diǎn)D,連接AD,PD, 則=+, 所以·=(+)·=·+·. 因?yàn)辄c(diǎn)P為△ABC的外心,點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn), 所以⊥,則·=0. 于是·=·=(+)·(-)=(2-2)=8. [答案] 8 [變式2] 在△ABC中,AB=m,AC=n,D為BC的中點(diǎn).若點(diǎn)P為線段BC垂直平分線上的任意一點(diǎn),求證:·=(n2-m2). [證明] 由題意,可得⊥,所以·=0,從而·=(+)·=·+·=·. 又因?yàn)椋?+),=-, 所以·=(+)·(-) =(2-2)=(n2-m2). [反思領(lǐng)悟] 以平面幾何圖形作為命題背景的向量數(shù)量積問題是高考命題的常見題型.平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,有兩種體系,一是數(shù)量積的幾何運(yùn)算,二是向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.對于三角形中相關(guān)線段構(gòu)成的向量數(shù)量積計(jì)算問題,其中三角形中線的向量表示、向量加減法的三角形法則是求解這類問題的突破口. 二、優(yōu)化問題的解法,留住方法之“根” 一題多解,觸類旁通.培養(yǎng)發(fā)散思維能力,培養(yǎng)思維的靈活性.一題多解的實(shí)質(zhì)是以不同的論證方式,反映條件和結(jié)論的必然本質(zhì)聯(lián)系.從各種途徑,用多種方法思考問題,可開拓解題思路,掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系,并從多種解法的對比中選出最佳解法,總結(jié)解題規(guī)律,使分析問題、解決問題的能力提高. [例2] 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,則(  ) A.c≤3         B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9 [解析] 法一:由f(-1)=f(-2)=f(-3)得 ?? 則f(x)=x3+6x2+11x+c, 而0<f(-1)≤3, 故0<-6+c≤3, 所以6<c≤9,故選C. 法二:設(shè)f(-1)=f(-2)=f(-3)=k,則0<k≤3. 設(shè)f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)+k,則c=k+6, 所以6<c≤9,故選C. 法三:由題意,f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)+c-6,得0<c-6≤3,所以6<c≤9,故選C. 法四:取f(-1)=f(-2)=f(-3)=3,則c=9,故選C. [答案] C [反思領(lǐng)悟] 法一直接利用已知條件求出系數(shù)a,b,代入后求解不等式,為常規(guī)解法,運(yùn)算量較大;法四為特殊值法,有一定的偶然性,較之法一簡潔,是一種行之有效的解決選擇題的方法,此處也可取f(-1)=1等值;法二、三則蘊(yùn)含了函數(shù)的零點(diǎn)與解析式之間的關(guān)系結(jié)構(gòu),是問題解決的基本方法,并可將問題結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為類似的更高次數(shù)的函數(shù)問題. 數(shù)學(xué)是一門工具性學(xué)科,它研究的是空間形式與數(shù)量的關(guān)系,數(shù)學(xué)的本性是“智慧”,是“人的思維”.?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是思維過程的引導(dǎo)、啟發(fā).因此,做數(shù)學(xué)題要從根本處抓起,通過研究問題的變式,優(yōu)化解題的方法等方式,跳出無邊無際的“書山題海”,通過對解題過程的“反芻”,留住知識之“根”、方法之“根”.只有從“根”處澆灌知識之營養(yǎng),數(shù)學(xué)之“花”才能燦爛綻放.

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