(江蘇專版)2019版高考數(shù)學一輪復習 第六章 數(shù)列學案 文
第六章 數(shù) 列
第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示
本節(jié)主要包括2個知識點:
1.數(shù)列的通項公式;
2.數(shù)列的單調(diào)性.
突破點(一) 數(shù)列的通項公式
基礎聯(lián)通
抓主干知識的“源”與“流”
1.數(shù)列的定義
按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項,數(shù)列中的每一項都和它的序號有關,排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第一項(通常也叫做首項).
2.數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.
3.數(shù)列的遞推公式
如果已知數(shù)列{an}的第一項(或前幾項),且任何一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關系可以用一個式子來表示,即an=f(an-1)(或an=f(an-1,an-2)等),那么這個式子叫做數(shù)列{an}的遞推公式.
4.Sn與an的關系
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則an=這個關系式對任意數(shù)列均成立.
考點貫通
抓高考命題的“形”與“神”
利用數(shù)列的前幾項求通項
[例1] 寫出下面各數(shù)列的一個通項公式:
(1)3,5,7,9,…;
(2),,,,,…;
(3)-1,,-,,-,,…;
(4)3,33,333,3 333,…;
(5)1,0,-1,0,1,0,-1,0,….
[解] (1)各項減去1后為正偶數(shù),所以an=2n+1.
(2)每一項的分子比分母少1,而分母組成數(shù)列21,22,23,24,…,所以an=.
(3)奇數(shù)項為負,偶數(shù)項為正,故通項公式中含因式(-1)n;各項絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4,…;而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中,奇數(shù)項為1,偶數(shù)項為3,即奇數(shù)項為2-1,偶數(shù)項為2+1,所以an=(-1)n·.
也可寫為an=
(4)將數(shù)列各項改寫為,,,,…,分母都是3,而分子分別是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以an=(10n-1).
(5)觀察數(shù)列中各項呈現(xiàn)周期性1,0,-1,0聯(lián)想三角函數(shù)y=cos x的特殊值,前4項對應著cos θ,cos ,cos π,cos π,所以an=cos.還可以為an=
[方法技巧]
由數(shù)列的前幾項求通項公式的思路方法
給出數(shù)列的前幾項求通項時,需要注意觀察數(shù)列中各項與其序號之間的關系,在所給數(shù)列的前幾項中,先看看哪些部分是變化的,哪些是不變的,再探索各項中變化部分與序號間的關系,主要從以下幾個方面來考慮:
(1)分式形式的數(shù)列,分子、分母分別求通項,較復雜的還要考慮分子、分母的關系.
(2)若第n項和第n+1項正負交錯,那么符號用(-1)n或(-1)n+1或(-1)n-1來調(diào)控.
(3)熟悉一些常見數(shù)列的通項公式.
(4)對于較復雜數(shù)列的通項公式,其項與序號之間的關系不容易發(fā)現(xiàn),這就需要將數(shù)列各項的結構形式加以變形,可使用添項、通分、分割等方法,將數(shù)列的各項分解成若干個常見數(shù)列對應項的“和”“差”“積”“商”后再進行歸納.
利用an與Sn的關系求通項
[例2] 已知下面數(shù)列{an}的前n項和Sn,求{an}的通項公式:
(1)Sn=2n2-3n;
(2)Sn=3n+b;
(3)Sn=an+.
[解] (1)a1=S1=2-3=-1,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,
由于a1也適合此等式,
所以{an}的通項公式為an=4n-5.
(2)a1=S1=3+b,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2×3n-1.
當b=-1時,a1適合此等式.
當b≠-1時,a1不適合此等式.
所以當b=-1時,an=2×3n-1;
當b≠-1時,an=
(3)由Sn=an+得,當n≥2時,Sn-1=an-1+,∴當n≥2時,an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得
an=-2an-1,又a=1時,S1=a1=a1+,a1=1,∴an=(-2)n-1.
[方法技巧]
已知Sn求an的三個步驟
(1)先利用a1=S1求出a1.
(2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式.
(3)對n=1時的結果進行檢驗,看是否符合n≥2時an的表達式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項公式合寫;如果不符合,則應該分n=1與n≥2兩段來寫.
利用遞推關系求通項
[例3] (1)已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=an+,則an=________;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=an,則通項an=________;
(3)若數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+3,則an=________;
(4)若數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=,則an=________.
[解析] (1)由條件知an+1-an===-,
則(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)
=+++…+-,
即an-a1=1-,又∵a1=,
∴an=1-+=-.
(2)由an+1=an(an≠0),得=,
故an=··…··a1
=··…··
=.
(3)設遞推公式an+1=2an+3可以轉(zhuǎn)化為an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t,則t=-3.
故an+1+3=2(an+3).
令bn=an+3,則b1=a1+3=4,bn≠0,且==2.
所以{bn}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列.
所以bn=4×2n-1=2n+1,
即an=2n+1-3.
(4)∵an+1=,a1=1,
∴an≠0,
∴=+,
即-=,
又a1=1,則=1,
∴是以1為首項,為公差的等差數(shù)列.
∴=+(n-1)×=+,
∴an=.
[答案] (1)- (2) (3)2n+1-3 (4)
[方法技巧] 典型的遞推數(shù)列及處理方法
遞推式
方法
示例
an+1=an+f(n)
疊加法
a1=1,an+1=an+2n
an+1=anf(n)
疊乘法
a1=1,=2n
an+1=Aan+B
(A≠0,1,B≠0)
化為等比數(shù)列
a1=1,an+1=2an+1
an+1=
(A,B,C為常數(shù))
化為等差數(shù)列
a1=1,an+1=
能力練通
抓應用體驗的“得”與“失”
1.已知n∈N*,給出4個表達式:①an=②an=,③an=,④an=.其中能作為數(shù)列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通項公式的可能是________(填寫所有正確表達式的序號).
解析:具體逐一檢驗可以判斷,①②③均成立.雖然數(shù)列的通項公式的表達形式不唯一,但是有通項公式的數(shù)列的通項公式是唯一的;有些無規(guī)則的數(shù)列未必有通項公式.
答案:①②③
2.已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1,a-(2an+1-1)an-2an+1=0.則{an}的通項公式是________.
解析:由a-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因此{an}的各項都為正數(shù),所以=.故{an}是首項為1,公比為的等比數(shù)列,因此an=.
答案:an=
3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2-2n+2,則數(shù)列{an}的通項公式為________.
解析:當n=1時,a1=S1=1,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-3,由于n=1時a1的值不適合n≥2的解析式,故{an}的通項公式為an=
答案:an=
4.設數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-an=n+1,求數(shù)列{an}的通項公式.
解:由題意有a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2).
以上各式相加,得an-a1=2+3+…+n==.
又∵a1=1,∴an=(n≥2).
∵當n=1時也滿足此式,∴an=(n∈N*).
5.若數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=an+2n,求數(shù)列{an}的通項公式.
解:由題意知an+1-an=2n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1.又因為當n=1時滿足此式,所以an=2n-1.
突破點(二) 數(shù)列的單調(diào)性
基礎聯(lián)通
抓主干知識的“源”與“流”
數(shù)列的分類
分類標準
類型
滿足條件
按項數(shù)分類
有窮數(shù)列
項數(shù)有限
無窮數(shù)列
項數(shù)無限
按項與項間的大小關系分類
遞增數(shù)列
an+1>an
其中n∈N*
遞減數(shù)列
an+1<an
常數(shù)列
an+1=an
按其他標準分類
有界數(shù)列
存在正數(shù)M,使|an|≤M
擺動數(shù)列
從第二項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項
考點貫通
抓高考命題的“形”與“神”
利用數(shù)列的單調(diào)性研究最值問題
[例1] 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,常數(shù)λ>0,且λa1an=S1+Sn對一切正整數(shù)n都成立.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設a1>0,λ=100.當n為何值時,數(shù)列的前n項和最大?
[解] (1)取n=1,得λa=2S1=2a1,即a1(λa1-2)=0.
若a1=0,則Sn=0,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=0-0=0,
所以an=0.
若a1≠0,則a1=,當n≥2時,2an=+Sn,2an-1=+Sn-1,兩式相減得2an-2an-1=an,
所以an=2an-1(n≥2),從而數(shù)列{an}是等比數(shù)列,
所以an=a1·2n-1=·2n-1=.
綜上,當a1=0時,an=0;
當a1≠0時,an=.
(2)當a1>0且λ=100時,令bn=lg,
由(1)知bn=lg=2-nlg 2.
所以數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列(公差為-lg 2).
則b1>b2>…>b6=lg=lg>lg 1=0,
當n≥7時,bn≤b7=lg=lg<lg 1=0,
故當n=6時,數(shù)列的前n項的和最大.
[方法技巧]
1.判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法
(1)作差比較法
an+1-an>0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列;an+1-an<0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列;an+1-an=0?數(shù)列{an}是常數(shù)列.
(2)作商比較法
an>0時
①>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列;
②<1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列;
③=1?數(shù)列{an}是常數(shù)列
an<0時
①>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列;
②<1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列;
③=1?數(shù)列{an}是常數(shù)列
2.求數(shù)列最大項或最小項的方法
(1)利用不等式組(n≥2)找到數(shù)列的最大項;
(2)利用不等式組(n≥2)找到數(shù)列的最小項.
利用數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
[例2] 已知函數(shù)f(x)=(a>0,且a≠1),若數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*),且{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍是________.
[解析] 因為{an}是遞增數(shù)列,所以解得2<a<3,所以實數(shù)a的取值范圍是(2,3).
[答案] (2,3)
[方法技巧]
已知數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的兩種方法
(1)利用數(shù)列的單調(diào)性構建不等式,然后將其轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題進行解決,也可通過分離參數(shù)將其轉(zhuǎn)化為最值問題處理.
(2)利用數(shù)列與函數(shù)之間的特殊關系,將數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)的取值范圍,但要注意數(shù)列通項中n的取值范圍.
能力練通
抓應用體驗的“得”與“失”
1.設an=-3n2+15n-18,則數(shù)列{an}中的最大項的值是________.
解析:an=-32+,由二次函數(shù)性質(zhì),得當n=2或n=3時,an取最大值,最大值為a2=a3=0.
答案:0
2.若數(shù)列{an}滿足:a1=19,an+1=an-3,則數(shù)列{an}的前n項和數(shù)值最大時,n的值為________.
解析:∵a1=19,an+1-an=-3,
∴數(shù)列{an}是以19為首項,-3為公差的等差數(shù)列,
∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n,則an是遞減數(shù)列.
設{an}的前k項和數(shù)值最大,則有
即∴≤k≤,
∵k∈N*,∴k=7.
∴滿足條件的n的值為7.
答案:7
3.已知{an}是遞增數(shù)列,且對于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,則實數(shù)λ的取值范圍是________.
解析:∵對于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,
∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ.
又∵{an}是遞增數(shù)列,
∴an+1-an>0,且當n=1時,an+1-an最小,
∴an+1-an≥a2-a1=3+λ>0,
∴λ>-3.
答案:(-3,+∞)
4.已知數(shù)列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0).
(1)若a=-7,求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值;
(2)若對任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范圍.
解:(1)∵an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0),
又∵a=-7,∴an=1+.
結合函數(shù)f(x)=1+的單調(diào)性,
可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).
∴數(shù)列{an}中的最大項為a5=2,最小項為a4=0.
(2)an=1+=1+.
∵對任意的n∈N*,都有an≤a6成立,結合函數(shù)f(x)=1+的單調(diào)性,知5<<6,
∴-10<a<-8.
故a的取值范圍為(-10,-8).
[課時達標檢測]
重點保分課時——一練小題夯雙基,二練題點過高考
[練基礎小題——強化運算能力]
1.設數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+n,則a4的值為________.
解析:a4=S4-S3=20-12=8.
答案:8
2.(2018·鎮(zhèn)江模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1an=2n(n∈N*),則a10=________.
解析:∵an+1an=2n,∴an+2an+1=2n+1,兩式相除得=2.又a1a2=2,a1=1,∴a2=2.則···=24,即a10=25=32.
答案:32
3.在數(shù)列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),則的值是________.
解析:由已知得a2=1+(-1)2=2,∴2a3=2+(-1)3,a3=,∴a4=+(-1)4,a4=3,∴3a5=3+(-1)5,∴a5=,∴=×=.
答案:
4.(2018·山東棗莊第八中學階段性檢測)已知數(shù)列,欲使它的前n項的乘積大于36,則n的最小值為________.
解析:由數(shù)列的前n項的乘積···…·=>36,得n2+3n-70>0,解得n<-10或n>7.又因為n∈N*,所以n的最小值為8.
答案:8
5.(2018·蘭州模擬)在數(shù)列1,2,,,,…中2是這個數(shù)列的第________項.
解析:數(shù)列1,2,,,,…,即數(shù)列,,,,,…,∴該數(shù)列的通項公式為an==,∴=2=,∴n=26,故2是這個數(shù)列的第26項.
答案:26
[練??碱}點——檢驗高考能力]
一、填空題
1.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-2n,則a2+a18=________.
解析:當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-3;當n=1時,a1=S1=-1,所以an=2n-3(n∈N*),所以a2+a18=34.
答案:34
2.數(shù)列{an}中,a1=1,對于所有的n≥2,n∈N*都有a1·a2·a3·…·an=n2,則a3+a5=________.
解析:令n=2,3,4,5,分別求出a3=,a5=,∴a3+a5=.
答案:
3.如圖,互不相同的點A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分別在角O的兩條邊上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面積均相等.設OAn=an.若a1=1,a2=2,則數(shù)列{an}的通項公式是________.
解析:記△OA1B1的面積為S,則△OA2B2的面積為4S.從而四邊形AnBnBn+1An+1的面積均為3S.
可得△OAnBn的面積為S+3(n-1)S=(3n-2)S.
∴a=3n-2,即an=.
答案:an=
4.已知數(shù)列{an}滿足a1=15,且3an+1=3an-2.若ak·ak+1<0,則正整數(shù)k=________.
解析:由3an+1=3an-2得an+1=an-,則{an}是等差數(shù)列,又a1=15,∴an=-n.∵ak·ak+1<0,∴·<0,∴<k<,∴k=23.
答案:23
5.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=,則a2 018=________.
解析:因為a1=3,an+1=,所以a2==1,a3==2,a4==3,所以數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列.所以a2 018=a672×3+2=a2=1.
答案:1
6.數(shù)列 {an}滿足 an+1= , a8=2,則a1 =________.
解析:將a8=2代入an+1=,可求得a7=;再將a7=代入an+1=,可求得a6=-1;再將a6=-1代入an+1=,可求得a5=2;由此可以推出數(shù)列{an}是一個周期數(shù)列,且周期為3,所以a1=a7=.
答案:
7.已知數(shù)列{an}中,a1=1,若an=2an-1+1(n≥2),則a5的值是________.
解析:∵an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1),∴=2,又a1=1,∴{an+1}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,即an+1=2×2n-1=2n,∴a5+1=25,即a5=31.
答案:31
8.數(shù)列{an}定義如下:a1=1,當n≥2時,an=若an=,則n的值為________.
解析:因為a1=1,所以a2=1+a1=2,a3==,a4=1+a2=3,a5==,a6=1+a3=,a7==,a8=1+a4=4,a9==,所以n=9.
答案:9
9.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1(an+2)=an(n∈N*),若bn+1=(n-p),b1=-p,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,則實數(shù)p的取值范圍為________.
解析:由題中條件,可得=+1,則+1=2+1,易知+1=2≠0,則是等比數(shù)列,所以+1=2n,可得bn+1=2n(n-p),則bn=2n-1(n-1-p)(n∈N*),由數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,得2n(n-p)>2n-1(n-1-p),則p<n+1恒成立,又n+1的最小值為2,則p的取值范圍是(-∞,2).
答案:(-∞,2)
10.(2018·南通模擬)設{an}是首項為1的正項數(shù)列,且(n+1)a-na+an+1·an=0(n=1,2,3,…),則它的通項公式an=________.
解析:∵(n+1)a+an+1·an-na=0,
∴(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0,
又an+1+an>0,∴(n+1)an+1-nan=0,
即=,∴····…·=××××…×,∵a1=1,∴an=.
答案:
二、解答題
11.已知Sn為正項數(shù)列{an}的前n項和,且滿足Sn=a+an(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3,a4的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
解:(1)由Sn=a+an(n∈N*),可得
a1=a+a1,解得a1=1;
S2=a1+a2=a+a2,解得a2=2;
同理,a3=3,a4=4.
(2)Sn=a+an,①
當n≥2時,Sn-1=a+an-1,②
①-②,整理得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.
由于an+an-1≠0,
所以an-an-1=1,
又由(1)知a1=1,
故數(shù)列{an}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,故an=n.
12.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=n2+kn+4.
(1)若k=-5,則數(shù)列中有多少項是負數(shù)?n為何值時,an有最小值?并求出最小值;
(2)對于n∈N*,都有an+1>an,求實數(shù)k的取值范圍.
解:(1)由n2-5n+4<0,
解得1<n<4.
因為n∈N*,所以n=2,3,
所以數(shù)列中有兩項是負數(shù),即為a2,a3.
因為an=n2-5n+4=2-,
由二次函數(shù)性質(zhì),得當n=2或n=3時,an有最小值,其最小值為a2=a3=-2.
(2)由對于n∈N*,都有an+1>an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)
列,又因為通項公式an=n2+kn+4,可以看作是關于n的二次函數(shù),考慮到n∈N*,所以-<,即得k>-3.
所以實數(shù)k的取值范圍為(-3,+∞).
第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和
本節(jié)主要包括3個知識點:
1.等差數(shù)列基本量的計算;
2.等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應用;
3.等差數(shù)列的判定與證明.
突破點(一) 等差數(shù)列基本量的計算
基礎聯(lián)通
抓主干知識的“源”與“流”
1.等差數(shù)列的有關概念
(1)定義:如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.符號表示為an+1-an=d(n∈N*,d為常數(shù)).
(2)等差中項:數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是A=,其中A叫做a,b的等差中項.
2.等差數(shù)列的有關公式
(1)通項公式:an=a1+(n-1)d.
(2)前n項和公式:Sn=na1+d=.
考點貫通
抓高考命題的“形”與“神”
等差數(shù)列的基本運算
[典例] (1)(2017·宿遷高三期中)設Sn是等差數(shù)列{an}的前 n項和,且a2=3,S4=16,則S9的值為________.
(2)(2018·蘇州調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=6,a1=4,則公差d等于________.
[解析] (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,由a2=3,S4=16,得
解得所以S9=9×1+×2=81.
(2)由S3==6,且a1=4,
得a3=0,則d==-2.
[答案] (1)81 (2)-2
[方法技巧]
1.等差數(shù)列運算問題的通性通法
(1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d,然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.
(2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了方程的思想.
2.等差數(shù)列設項技巧,若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時,可設中間三項為a-d,a,a+d;若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時,可設中間兩項為a-d,a+d,其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進行對稱設元.
能力練通
抓應用體驗的“得”與“失”
1.已知{an}是等差數(shù)列,a4=15,S5=55,則過點P(3,a3),Q(4,a4)的直線斜率為________.
解析:∵S5=5a3=55,∴a3=11,∴k===4.
答案:4
2.設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,則n=________.
解析:由題意知Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.
答案:8
3.(2017·全國卷Ⅰ改編)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為________.
解析:設等差數(shù)列{an}的公差為d,
則由得
即解得d=4.
答案:4
4.(2018·南昌模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,S3+S4=S5.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=(-1)n-1an,求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n.
解:(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,
由S3+S4=S5,可得a1+a2+a3=a5,即3a2=a5,
所以3(1+d)=1+4d,解得d=2.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)由(1),可得bn=(-1)n-1·(2n-1).
∴T2n=1-3+5-7+…+(4n-3)-(4n-1)
=(-2)×n
=-2n.
突破點(二) 等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應用
基礎聯(lián)通
抓主干知識的“源”與“流”
等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}為等差數(shù)列,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
(3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(4)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差數(shù)列,公差為m2d.
(5)S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1),遇見S奇,S偶時可分別運用性質(zhì)及有關公式求解.
(6){an},{bn}均為等差數(shù)列且其前n項和為Sn,Tn,則=.
(7)若{an}是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列,其首項與{an}的首項相同,公差是{an}的公差的.
考點貫通
抓高考命題的“形”與“神”
等差數(shù)列的性質(zhì)
[例1] (1)(2017·南京一模)設{an}是等差數(shù)列,若a4+a5+a6=21,則S9=________.
(2)已知{an},{bn}都是等差數(shù)列,若a1+b10=9,a3+b8=15,則a5+b6=________.
[解析] (1)因為{an}是等差數(shù)列,所以a1+a9=a4+a6=2a5.又a4+a5+a6=21,所以a1+a9=14,所以S9===63.
(2)因為{an},{bn}都是等差數(shù)列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即2×15=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.
[答案] (1)63 (2)21
[方法技巧]
利用等差數(shù)列性質(zhì)求解問題的注意點
(1)如果{an}為等差數(shù)列,m+n=p+q,則am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).因此,若出現(xiàn)am-n,am,am+n等項時,可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項)有關的條件;若求am項,可由am=(am-n+am+n)轉(zhuǎn)化為求am-n,am+n或am+n+am-n的值.
(2)要注意等差數(shù)列通項公式及前n項和公式的靈活應用,如an=am+(n-m)d,d=,S2n-1=(2n-1)an,Sn==(n,m∈N*)等.
[提醒] 一般地,am+an≠am+n,等號左、右兩邊必須是兩項相加,當然也可以是am-n+am+n=2am.
等差數(shù)列前n項和的最值
[例2] 等差數(shù)列{an}的首項a1>0,設其前n項和為Sn,且S5=S12,則當n為何值時,Sn有最大值?
[解] 設等差數(shù)列{an}的公差為d,由S5=S12得5a1+10d=12a1+66d,d=-a1<0.
法一:Sn=na1+d
=na1+·
=-a1(n2-17n)=-a12+a1,
因為a1>0,n∈N*,
所以當n=8或n=9時,Sn有最大值.
法二:設此數(shù)列的前n項和最大,則
即解得即8≤n≤9,
又n∈N*,所以當n=8或n=9時,Sn有最大值.
法三:由于Sn=na1+d=n2+n,
設f(x)=x2+x,則函數(shù)y=f(x)的圖象為開口向下的拋物線,
由S5=S12知,拋物線的對稱軸為x==(如圖所示),
由圖可知,當1≤n≤8時,Sn單調(diào)遞增;當n≥9時,Sn單調(diào)遞減.
又n∈N*,所以當n=8或n=9時,Sn最大.
[方法技巧]
求等差數(shù)列前n項和Sn最值的三種方法
(1)函數(shù)法
利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn=an2+bn,通過配方結合圖象借助求二次函數(shù)最值的方法求解.
(2)鄰項變號法
①a1>0,d<0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm;
②當a1<0,d>0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.
(3)通項公式法
求使an≥0(an≤0)成立時最大的n值即可.一般地,等差數(shù)列{an}中,若a1>0,且Sp=Sq(p≠q),則:
①若p+q為偶數(shù),則當n=時,Sn最大;
②若p+q為奇數(shù),則當n=或n=時,Sn最大.
能力練通
抓應用體驗的“得”與“失”
1.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且a1+a7+a13=π,則cos(a2+a12)的值為________.
解析:在等差數(shù)列{an}中,因為a1+a7+a13=π,所以a7=,所以a2+a12=,所以cos(a2+a12)=-.
答案:-
2.設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,(n+1)Sn<nSn+1(n∈N*).若<-1,則當Sn取最小值時n=________.
解析:由(n+1)Sn<nSn+1得(n+1)<n,整理得an<an+1,所以等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,又<-1,所以a8>0,a7<0,所以數(shù)列{an}的前7項為負值,即當n=7時,Sn的值最小.
答案:7
3.已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn,且=,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是________.
解析:由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)知,====7+,故當n=1,2,3,5,11時,為整數(shù),故使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是5.
答案:5
4.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知前6項和為36,最后6項的和為180,Sn=324(n>6),求數(shù)列{an}的項數(shù)及a9+a10.
解:由題意知a1+a2+…+a6=36,①
an+an-1+an-2+…+an-5=180,②
①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,∴a1+an=36,
又Sn==324,∴18n=324,∴n=18.
∵a1+an=36,n=18,∴a1+a18=36,
從而a9+a10=a1+a18=36.
5.(2018·重慶高三期中)已知公比為q的等比數(shù)列{an}的前6項和S6=21,且4a1,a2,a2成等差數(shù)列.
(1)求an;
(2)設{bn}是首項為2,公差為-a1的等差數(shù)列,記{bn}前n項和為Tn,求Tn的最大值.
解:(1)4a1,a2,a2成等差數(shù)列,∴4a1+a2=3a2,即2a1=a2,∴q=2,∴S6==21,解得a1=,∴an=.
(2)由(1)可知{bn}是首項為2,公差為-的等差數(shù)列,∴bn=-n+,
法一:Tn=-n2+n=-2+,則Tn的最大值為7,此時n=6或7.
法二:∵公差為-為負數(shù),∴數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列.
∵b7=0,∴n=6或7時,數(shù)列{bn}的前n項和Tn取得最大值7.
突破點(三) 等差數(shù)列的判定與證明
基礎聯(lián)通
抓主干知識的“源”與“流”
等差數(shù)列的判定與證明方法
方法
解讀
適合題型
定義法
對于數(shù)列{an},an-an-1(n≥2,n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列
解答題中的證明問題
等差中項法
2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列
通項公式法
an=pn+q(p,q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列
填空題中的判定問題
前n項和公式法
驗證Sn=An2+Bn(A,B是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列
考點貫通
抓高考命題的“形”與“神”
等差數(shù)列的判定與證明
[典例] 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足:an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N*),a1=,判斷{an}是否為等差數(shù)列,并說明你的理由.
[解] 因為an=Sn-Sn-1(n≥2),an+2SnSn-1=0,
所以Sn-Sn-1+2SnSn-1=0(n≥2).
所以-=2(n≥2).又S1=a1=,
所以是以2為首項,2為公差的等差數(shù)列.
所以=2+(n-1)×2=2n,故Sn=.
所以當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-=,
所以an+1=,而an+1-an=-==.
所以當n≥2時,an+1-an的值不是一個與n無關的常數(shù),故數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.
能力練通
抓應用體驗的“得”與“失”
1.已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,判斷{a2n-1+2a2n}是否為等差數(shù)列,并說明理由.
解:令bn=a2n-1+2a2n,則bn+1=a2n+1+2a2n+2,故bn+1-bn=a2n+1+2a2n+2-(a2n-1+2a2n)=(a2n+1-a2n-1)+2(a2n+2-a2n)=2d+4d=6d=6×1=6.即{a2n-1+2a2n}是公差為6的等差數(shù)列.
2.已知數(shù)列{an}中,a1=2,an=2-(n≥2,n∈N*),設bn=(n∈N*).求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
證明:∵an=2-,
∴an+1=2-.
∴bn+1-bn=-=-==1,
∴{bn}是首項為b1==1,公差為1的等差數(shù)列.
3.(2018·蘇州月考)已知數(shù)列{an}中,a2=1,前n項和為Sn,且Sn=.
(1)求a1;
(2)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并寫出其通項公式.
解:(1)令n=1,則a1=S1==0.
(2)由Sn=,即Sn=,①
得Sn+1=.②
②-①,得(n-1)an+1=nan.③
于是,nan+2=(n+1)an+1.④
③+④,得nan+2+nan=2nan+1,即an+2+an=2an+1.
又a1=0,a2=1,a2-a1=1,
所以,數(shù)列{an}是以0為首項,1為公差的等差數(shù)列.
所以,an=n-1.
[課時達標檢測]
重點保分課時——一練小題夯雙基,二練題點過高考
[練基礎小題——強化運算能力]
1.若等差數(shù)列{an}的前5項之和S5=25,且a2=3,則a7=________.
解析:由S5=,得25=,解得a4=7,所以7=3+2d,即d=2,所以a7=a4+3d=7+3×2=13.
答案:13
2.在等差數(shù)列{an}中,a1=0,公差d≠0,若am=a1+a2+…+a9,則m的值為________.
解析:am=a1+a2+…+a9=9a1+d=36d=a37,即m=37.
答案:37
3.(2018·啟東中學月考)在單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}中,若a3=1,a2a4=,則a1=________.
解析:由題知,a2+a4=2a3=2,又∵a2a4=,數(shù)列{an}單調(diào)遞增,∴a2=,a4=.∴公差d==.∴a1=a2-d=0.
答案:0
4.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=-11,a3+a7=-6,則當Sn取最小值時,n等于________.
解析:設等差數(shù)列{an}的公差為d.因為a3+a7=-6,所以a5=-3,d=2,則Sn=n2-12n,故當n等于6時Sn取得最小值.
答案:6
5.(2018·蘇南四校聯(lián)考)設各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=,則=________.
解析:法一:各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中,由=得=,∴a1=d,
即an=d+(n-1)d=nd,所以Sn=nd+=d,所以==3.
法二:等差數(shù)列{an}中,a1+a9=2a5,a1+a5=2a3,所以===×=3.
答案:3
[練??碱}點——檢驗高考能力]
一、填空題
1.(2017·黃岡質(zhì)檢)在等差數(shù)列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=________.
解析:由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8構成新的等差數(shù)列,于是a7+a8=(a1+a2)+(4-1)[(a3+a4)-(a1+a2)]=40+3×20=100.
答案:100
2.(2017·江陰三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項為3,{bn}為等差數(shù)列,且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b2=12,則a8=________.
解析:設等差數(shù)列{bn}的公差為d,則d=b3-b2=-14,因為an+1-an=bn,所以a8-a1=b1+b2+…+b7==[(b2-d)+(b2+5d)]=-112,又a1=3,則a8=-109.
答案:-109
3.在等差數(shù)列{an}中,a3+a5+a11+a17=4,且其前n項和為Sn,則S17=________.
解析:由a3+a5+a11+a17=4,得2(a4+a14)=4,即a4+a14=2,則a1+a17=2,故S17==17.
答案:17
4.(2017·全國卷Ⅲ改編)等差數(shù)列{an}的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項的和為________.
解析:設等差數(shù)列{an}的公差為d,
因為a2,a3,a6成等比數(shù)列,所以a2a6=a,
即(a1+d)(a1+5d)=(a1+2d)2.
又a1=1,所以d2+2d=0.
又d≠0,則d=-2,
所以{an}前6項的和S6=6×1+×(-2)=-24.
答案:-24
5.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若為常數(shù),則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”.已知等差數(shù)列{bn}的首項為1,公差不為0,若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”,則數(shù)列{bn}的通項公式為________.
解析:設等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0),=k,因為b1=1,則n+n(n-1)d=k,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因為對任意的正整數(shù)n上式均成立,所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k=.所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n-1.
答案:bn=2n-1
6.(2018·南通模擬)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2a4a6a8=120,且+++=,則S9的值為________.
解析:由題意得+++=+++=,則2(a2+a8)=14,即a2+a8=7,所以S9==(a2+a8)=.
答案:
7.(2018·徐州質(zhì)檢)在等差數(shù)列{an}中,已知首項a1>0,公差d>0.若a1+a2≤60,a2+a3≤100,則5a1+a5的最大值為________.
解析:由題意得所以設x(2a1+d)+y(2a1+3d)=6a1+4d,所以解得于是兩式相加得5a1+a5≤200.
答案:200
8.記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1=2,且數(shù)列{}也為等差數(shù)列,則a13=________.
解析:設數(shù)列{an}的公差為d.因為{}為等差數(shù)列,所以,,成等差數(shù)列,從而2=+,解得d=4,所以a13=2+12d=50.
答案:50
9.(2018·金陵中學月考)在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a7+a10=15,i=77,若ak=13,則正整數(shù)k的值為________.
解析:等差數(shù)列{an}中2a7=a4+a10,a4+a14=a5+a13=a6+a12=a7+a11=a8+a10=2a9,因為a4+a7+a10=15,i=77,所以3a7=15,11a9=77,即a7=5,a9=7,即2d=2,d=1,因為ak=13,所以ak-a9=13-7=6=6d=(k-9)d,即k=15.
答案:15
10.(2018·無錫期初)若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個不同的零點,且a,b,-2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列,也可適當排序后成等比數(shù)列,則p+q的值為________.
解析:由根與系數(shù)的關系得a+b=p,a·b=q,則a>0,b>0,當a,b,-2適當排序后成等比數(shù)列時,-2必為等比中項,故a·b=q=4,b=.當適當排序后成等差數(shù)列時,-2必不是等差中項,當a是等差中項時,2a=-2,解得a=1,b=4;當是等差中項時,=a-2,解得a=4,b=1.綜上所述,a+b=p=5,所以p+q=9.
答案:9
二、解答題
11.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=(n∈N*,n≥2),數(shù)列{bn}滿足關系式bn=(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
解:(1)證明:∵bn=,且an=,∴bn+1===,∴bn+1-bn=-=2.
又∵b1==1,∴數(shù)列{bn}是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列.
(2)由(1)知數(shù)列{bn}的通項公式為bn=1+(n-1)×2=2n-1,又bn=,∴an==.
∴數(shù)列{an}的通項公式為an=.
12.已知數(shù)列{an}滿足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n項和為Sn,且a3=10,S6=72,若bn=an-30,設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求Tn的最小值.
解:∵2an+1=an+an+2,∴an+1-an=an+2-an+1,
故數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
設數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,由a3=10,S6=72得,
解得a1=2,d=4.
故an=4n-2,則bn=an-30=2n-31,
令即
解得≤n≤,
∵n∈N*,∴n=15,
即數(shù)列{bn}的前15項均為負值,∴T15最?。?
∵數(shù)列{bn}的首項是-29,公差為2,
∴T15==-225,
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最小值為-225.
第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和
本節(jié)主要包括3個知識點:
1.等比數(shù)列基本量的計算;
2.等比數(shù)列的性質(zhì);
3.等比數(shù)列的判定與證明.
突破點(一) 等比數(shù)列基本量的計算
基礎聯(lián)通
抓主干知識的“源”與“流”
1.等比數(shù)列的有關概念
(1)定義:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示,定義的表達式為=q.
(2)等比中項:如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項.即:G是a與b的等比中項?a,G,b成等比數(shù)列?G2=ab.
2.等比數(shù)列的有關公式
(1)通項公式:an=a1qn-1.
(2)前n項和公式:Sn=
3.運用方程的思想求解等比數(shù)列的基本量
(1)若已知n,an,Sn,先驗證q=1是否成立,若q≠1,可以通過列方程(組)求出關鍵量a1和q,問題可迎刃而解.
(2)若已知數(shù)列{an}中的兩項an和am,可以利用等比數(shù)列的通項公式,得到方程組計算時兩式相除可先求出q,然后代入其中一式求得a1,進一步求得Sn.另外,還可以利用公式an=am·qn-m直接求得q,可減少運算量.
考點貫通
抓高考命題的“形”與“神”
求首項a1,公比q
[例1] (1)(2017·無錫模擬)已知等比數(shù)列{an}單調(diào)遞減,若a3=1,a2+a4=,則a1=________.
(2)在等比數(shù)列{an}中,a3=7,前3項之和S3=21,則公比q的值為________.
[解析] (1)設等比數(shù)列{an}的公比為q,q>0,則a=a2a4=1,又a2+a4=,且{an}單調(diào)遞減,所以a2=2,a4=,則q2=,q=,所以a1==4.
(2)根據(jù)已知條件得消去a1得=3,整理得2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.
[答案] (1)4 (2)1或-
求通項或特定項
[例2] (1)(2017·全國卷Ⅲ)設等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=________.
(2)在等比數(shù)列{an}中,若公比q=4,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式an=________.
[解析] (1)設等比數(shù)列{an}的公比為q,
則a1+a2=a1(1+q)=-1,
a1-a3=a1(1-q2)=-3,
兩式相除,得=,解得q=-2,a1=1,
所以a4=a1q3=-8.
(2)由題意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以等比數(shù)列{an}的通項公式為an=a1qn-1=4n-1.
[答案] (1)-8 (2)4n-1
[方法技巧]
求等比數(shù)列通項公式的方法與策略
求等比數(shù)列的通項公式,一般先求出首項與公比,再利用an=a1qn-1求解.但在某些情況下,利用等比數(shù)列通項公式的變形an=amqn-m可以簡化解題過程.
求解時通常會涉及等比數(shù)列設項問題,常用的設項方法為:
(1)通項法
設數(shù)列的通項公式an=a1qn-1(n∈N*)來求解.
(2)對稱設元法
與有窮等差數(shù)列設項方法類似,有窮等比數(shù)列設項也要注意對稱設元.一般地,連續(xù)奇數(shù)個項成等比數(shù)列,可設為…,,x,xq,…;連續(xù)偶數(shù)個項成等比數(shù)列,可設為…,,,xq,xq3,…(注意:此時公比q2>0,并不適合所有情況).這樣既可以減少未知量的個數(shù),也使得解方程較為方便.
求等比數(shù)列的前n項和
[例3] 設數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足6Sn+1=9an(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解] (1)當n=1時,由6a1+1=9a1,得a1=.
當n≥2時,由6Sn+1=9an,得6Sn-1+1=9an-1,
兩式相減得6(Sn-Sn-1)=9(an-an-1),
即6an=9(an-an-1),所以an=3an-1.
所以數(shù)列{an}是首項為,公比為3的等比數(shù)列,其通項公式為an=×3n-1=3n-2.
(2)因為bn==n-2,
所以{bn}是首項為3,公比為的等比數(shù)列,
所以Tn=b1+b2+…+bn==1-n.
能力練通
抓應用體驗的“得”與“失”
1.已知等比數(shù)列{an}的前三項依次為a-1,a+1,a+4,則an=________.
解析:由題意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,故a1=4,a2=6,所以q=,則an=4×n-1.
答案:4×n-1
2.已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,且a1·a3=4,a4=8,則a1+q的值為________.
解析:由a1·a3=4,a4=8,得aq2=4,a1q3=8,解得q=±2.當q=2時,a1=1,此時a1+q=3;當q=-2時,a1=-1,此時a1+q=-3.
答案:3或-3
3.(2018·泰州模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1+a3=,a2+a4=,則=________.
解析:設{an}的公比為q,∵
∴由①②可得=2,∴q=,將q=代入①得a1=2,∴an=2×n-1=,
Sn==4,∴==2n-1.
答案:2n-1
4.(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù),其前n項和為Sn.已知S3=,S6=,則a8=________.
解析:設等比數(shù)列{an}的公比為q,則由S6≠2S3,得q≠1,則解得
則a8=a1q7=×27=32.
答案:32
5.已知{an}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,Sn表示{an}的前n項和.
(1)求an及Sn;
(2)設{bn}是首項為2的等比數(shù)列,公比q滿足q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通項公式及其前n項和Tn.
解:(1)因為{an}是首項a1=1,公差d=2的等差數(shù)列,
所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
故Sn===n2.
(2)由(1)得a4=7,S4=16.
因為q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,
所以(q-4)2=0,從而q=4.
又b1=2,{bn}是公比q=4的等比數(shù)列,
所以bn=b1qn-1=2·4n-