（浙江專版）2018年高考數(shù)學(xué) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 技法篇 4大思想提前看滲透整本提時(shí)效教學(xué)案

技法篇：4大思想提前看，滲透整本提時(shí)效 高考試題一是著眼于知識點(diǎn)新穎巧妙的組合；二是著眼于對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查．如果說數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可用文字和符號來記錄與描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)意識，重在領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決．高考中常用到的數(shù)學(xué)思想主要有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想．這些在一輪復(fù)習(xí)中都有所涉及，建議二輪復(fù)習(xí)前應(yīng)先學(xué)習(xí)此部分．帶著方法去復(fù)習(xí)，這樣可以使理論指導(dǎo)實(shí)踐，“一法一練”“一練一過”，既節(jié)省了復(fù)習(xí)時(shí)間又能起到事半功倍的效果，而市面上有些輔導(dǎo)書把方法集中放于最后，起不到”依法訓(xùn)練”的作用，也因時(shí)間緊造成學(xué)而不透、學(xué)而不深，在真正的高考中不能從容應(yīng)對．不過也可根據(jù)自身情況選擇學(xué)完后再復(fù)習(xí)此部分． 思想1　函數(shù)與方程思想 函數(shù)的思想，就是通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決的數(shù)學(xué)思想. 方程的思想，就是建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決的數(shù)學(xué)思想. 【例1】　(1)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，對任意x∈R都有f(x)＞f′(x)成立，則(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：68334003】 A．3f(ln 2)＜2f(ln 3) B．3f(ln 2)＝2f(ln 3) C．3f(ln 2)＞2f(ln 3) D．3f(ln 2)與2f(ln 3)的大小不確定 (2)(名師押題)直線y＝kx＋2和橢圓＋＝1在y軸左側(cè)部分交于A，B兩點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P(0，－2)和線段AB的中點(diǎn)M，則l在x軸上的截距a的取值范圍為________． (1)C　(2)　[(1)令F(x)＝，則F′(x)＝. 因?yàn)閷?x∈R都有f(x)＞f′(x)，所以F′(x)＜0， 即F(x)在R上單調(diào)遞減． 又ln 2＜ln 3，所以F(ln 2)＞F(ln 3)， 即＞， 所以＞，即3f(ln 2)＞2f(ln 3)，故選C. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直線l與x軸的交點(diǎn)為N(a,0)． 由得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0. 因?yàn)橹本€y＝kx＋2和橢圓＋＝1在y軸左側(cè)部分交于A，B兩點(diǎn)，所以 解得k＞. 又M為線段AB的中點(diǎn)，所以 由P(0，－2)，M(x0，y0)，N(a,0)三點(diǎn)共線， 所以＝， 所以－＝2k＋. 又因?yàn)閗＞，所以2k＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k＝時(shí)等號成立，所以－≥2，則－≤a≤0.] [方法指津] 函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用 1．函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y＞0時(shí)，就化為不等式f(x)＞0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式． 2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要． 3．解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決．這都涉及二次方程與二次函數(shù)有關(guān)理論． 4．立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決． [變式訓(xùn)練1]　將函數(shù)y＝sin的圖象向左平移m(m＞0)個(gè)單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：68334004】 　[把y＝sin的圖象上所有的點(diǎn)向左平移m個(gè)單位長度后，得到y(tǒng)＝sin＝sin的圖象， 而此圖象關(guān)于y軸對稱，則4m－＝kπ＋(k∈Z)， 解得m＝kπ＋(k∈Z)．又m＞0，所以m的最小值為.] 思想2　數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合思想，就是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想.其應(yīng)用包括以下兩個(gè)方面： (1)“以形助數(shù)”，把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì). (2)“以數(shù)定形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì). 【例2】　已知函數(shù)f(x)＝其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________． (3，＋∞)　[作出f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)x>m時(shí)，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.] [方法指津] 數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用 1．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍或解不等式． 2．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根或函數(shù)的零點(diǎn)的范圍． 3．構(gòu)建解析幾何模型求最值或范圍． 4．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系． [變式訓(xùn)練2]　(1)(2017·紹興一中高考考前適應(yīng)性考試)已知方程|ln x|＝kx＋1在(0，e3)上有三個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：68334005】 A.　 B. C. D. (2)若不等式4x2－logax<0對任意x∈恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B. C. D. (1)C　(2)B　[(1)令f(x)＝kx＋1，g(x)＝ln x，而f(x)＝kx＋1與g(x)＝|ln x|的圖象在(0,1)上一定有1個(gè)交點(diǎn)，那么根據(jù)題目條件只需f(x)＝kx＋1，g(x)＝ln x在(1，e3)上有2個(gè)交點(diǎn)即可，作函數(shù)f(x)＝kx＋1，g(x)＝ln x的圖象如下，設(shè)兩者相切于點(diǎn)(a，b)，則有解得k＝，且對數(shù)函數(shù)g(x)＝ln x的增長速度越來越慢，直線f(x)＝kx＋1過定點(diǎn)(0,1)，方程|ln x|＝kx＋1中取x＝e3得k＝，則＜k＜，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是，故選C.] (2)由已知4x2<logax對任意x∈恒成立，相當(dāng)于在上，函數(shù)y＝logax的圖象恒在函數(shù)y＝4x2圖象的上方，顯然當(dāng)a>1時(shí)，不成立，當(dāng)0＜a<1時(shí)，如圖，只需loga≥4×2?a≥?a≥， 又a<1，故a∈.故選B.] 思想3　分類討論思想 分類討論思想是當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對研究的對象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)論，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.實(shí)質(zhì)上分類討論就是“化整為零，各個(gè)擊破，再集零為整”的數(shù)學(xué)思想. 【例3】　(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是 (　　) A. B．[0,1] C. D．[1，＋∞) (2)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)．已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|＞|PF2|，則的值為________． (1)C　(2)2或　[(1)由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.當(dāng)a<1時(shí)，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1. 當(dāng)a≥1時(shí)，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1. 綜上，a≥，故選C. (2)若∠PF2F1＝90°， 則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2. ∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2， 解得|PF1|＝，|PF2|＝， ∴＝. 若∠F2PF1＝90°， 則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2 ＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2， 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2， ∴＝2. 綜上所述，＝2或.] [方法指津] 分類討論思想在解題中的應(yīng)用 1．由數(shù)學(xué)概念引起的分類．有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等． 2．由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論．有的定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等． 3．由數(shù)學(xué)運(yùn)算和字母參數(shù)變化引起的分類．如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的限制，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等． 4．由圖形的不確定性引起的分類討論．有的圖形類型、位置需要分類，如：角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等． [變式訓(xùn)練3]　(1)(2017·臺州市高三年級調(diào)考)某校在一天的8節(jié)課中安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、選修課與2節(jié)自修課，其中第1節(jié)只能安排語文、數(shù)學(xué)、英語三門中的一門，第8節(jié)只能安排選修課或自修課，且選修課與自修課、自修課與自修課均不能相鄰，則所有不同的排法共有________種(結(jié)果用數(shù)字表示)． (2)在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝，S3＝，則a1＝________. (1)1 296　(2)或6　[(1)若第8節(jié)課安排選修課，則第一節(jié)有3種方法，第7節(jié)有4種方法，兩節(jié)自修課有6種方法，其余3節(jié)課有A＝6種方法，所以共有3×4×6×6＝432種方法，若第8節(jié)安排自修課，則排列方法在432的基礎(chǔ)上再乘以A，結(jié)果為432×2＝864種方法，所以共有432＋864＝1 296. (2)當(dāng)q＝1時(shí)，a1＝a2＝a3＝， S3＝3a1＝，顯然成立； 當(dāng)q≠1時(shí)，由題意， 得 所以 由①②，得＝3，即2q2－q－1＝0，所以q＝－或q＝1(舍去)． 當(dāng)q＝－時(shí)，a1＝＝6. 綜上可知，a1＝或a1＝6.] 思想4　轉(zhuǎn)化與化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題. 【例4】　(1)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(x，y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn)A(－1,0)，則的最小值是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：68334006】 A.　　　　 B. C.　　　　 D. (2)(名師押題)已知函數(shù)f(x)＝3e|x|.若存在實(shí)數(shù)t∈[－1，＋∞)，使得對任意的x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋t)≤3ex，則m的最大值為________． [解題指導(dǎo)]　(1)利用拋物線的定義把的最值問題等價(jià)轉(zhuǎn)化成直線PA的斜率問題． (2)f(x＋t)≤3exex＋t≤ext≤1＋ln x－xh(x)min≥－1. (1)B　(2)3　[(1)如圖，作PH⊥l于H，由拋物線的定義可知，|PH|＝|PF|，從而的最小值等價(jià)于的最小值，等價(jià)于∠PAH最小，等價(jià)于∠PAF最大，即直線PA的斜率最大．此時(shí)直線PA與拋物線y2＝4x相切，由直線與拋物線的關(guān)系可知∠PAF＝45°，所以＝＝sin 45°＝. (2)因?yàn)楫?dāng)t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]時(shí)，x＋t≥0， 所以f(x＋t)≤3ex?ex＋t≤ex?t≤1＋ln x－x. 所以原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：存在實(shí)數(shù)t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋ln x－x對任意x∈[1，m]恒成立． 令h(x)＝1＋ln x－x(x≥1)． 因?yàn)閔′(x)＝－1≤0， 所以函數(shù)h(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)． 又x∈[1，m]，所以h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m. 所以要使得對x∈[1，m]，t值恒存在， 只需1＋ln m－m≥－1. 因?yàn)閔(3)＝ln 3－2＝ln>ln ＝－1， h(4)＝ln 4－3＝ln<ln ＝－1，且函數(shù)h(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)， 所以滿足條件的最大整數(shù)m的值為3.] [方法指津] 轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用 1．在三角函數(shù)中，涉及到三角式的變形，一般通過轉(zhuǎn)化與化歸將復(fù)雜的三角問題轉(zhuǎn)化為已知或易解的三角問題，以起到化暗為明的作用，主要的方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化等． 2．換元法：是將一個(gè)復(fù)雜的或陌生的函數(shù)、方程、不等式轉(zhuǎn)化為簡單的或熟悉的函數(shù)、方程、不等式的一種重要的方法． 3．在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時(shí)，常將平面向量語言與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 4．在解決數(shù)列問題時(shí)，常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解． 5．在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時(shí)，常將函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、切線問題，轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f′(x)構(gòu)成的方程． [變式訓(xùn)練4]　(1)(2017·金華十校高考模擬考試)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知∠B＝30°，△ABC的面積為.且sin A＋sin C＝2sin B，則b的值為(　　) A．4＋2 B．4－2 C.－1 D.＋1 (2)若對于任意t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2－2x在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． (1)D　(2)　[(1)在△ABC中，由sinA＋sin C＝2sin B結(jié)合正弦定理得a＋c＝2b，△ABC的面積為acsin B＝ac×＝，解得ac＝6，則在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－ac＝(2b)2－(2＋)×6，解得b＝＋1，故選D. (2)g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)，則①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(t,3)上恒成立，所以m＋4≥－3t恒成立， 則m＋4≥－1，即m≥－5； 由②得m＋4≤－3x在x∈(t,3)上恒成立，則m＋4≤－9，即m≤－. 所以若函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍為－＜m＜－5.] 課后對應(yīng)完成技法強(qiáng)化訓(xùn)練(一)～(四) (注：因所練習(xí)題知識點(diǎn)比較整合，難度比較大，建議部分學(xué)生學(xué)完“第一部分重點(diǎn)強(qiáng)化專題”后再做此部分訓(xùn)練) 8