（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量 第2講 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案

第2講　平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 板塊一　知識梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識] 考點1　平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，稱e1，e2為基底．若e1，e2互相垂直，則稱這個基底為正交基底；若e1，e2分別為與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量，則稱單位正交基底． 考點2　平面向量的坐標(biāo)表示 在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對任一向量a，有唯一一對實數(shù)x，y，使得：a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，顯然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 考點3　平面向量的坐標(biāo)運算 1．設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. 2．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 考點4　平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (1)a∥b?x1y2－x2y1＝0； (2)若a≠0，則與a平行的單位向量為±. [必會結(jié)論] 1．若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0. 2．已知＝λ＋μ(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.以上三個條件任取兩兩組合，都可以得出第三個條件且λ＋μ＝1常被當(dāng)作隱含條件運用． 3．平面向量一組基底是兩個不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組． [考點自測] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底．(　　) (2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (3)在等邊三角形ABC中，向量與的夾角為60°.(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．[2018·鄭州一模]設(shè)向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，則實數(shù)x的值是(　　) A．0 B．±2 C．2 D．－2 答案　D 解析　由題意可得a∥b，所以x2＝4，解得x＝－2或2，又a，b方向相反，所以x＝－2.故選D. 3．[課本改編]已知點A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，則點B的坐標(biāo)為(　　) A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14) 答案　D 解析　設(shè)點B的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x＋1，y－5)．由＝3a，得解得故選D. 4．[2017·山東高考]已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，則λ＝________. 答案?。? 解析　∵a∥b，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3. 5．[2015·江蘇高考]已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________． 答案　－3 解析　∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴∴m－n＝2－5＝－3. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　平面向量基本定理的應(yīng)用 例　1　[2018·許昌聯(lián)考]在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，DE交AF于H，記，分別為a，b，則＝(　　) A.a－b B.a＋b C．－a＋b D．－a－b 答案　B 解析　如圖，設(shè)＝λ， ＝μ. 而＝＋＝－b＋λ＝－b＋λ， ＝μ＝μ. 因此，μ＝－b＋λ. 由于a，b不共線，因此由平面向量的基本定理，得解之得λ＝，μ＝. 故＝λ＝λ＝a＋b.故選B. 觸類旁通 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的方法 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、減法或數(shù)乘運算，基本方法有兩種： (1)運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止； (2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解． 【變式訓(xùn)練1】　如圖，已知?ABCD的邊BC，CD的中點分別是K，L，且＝e1，＝e2，試用e1，e2表示，. 解　設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則＝x，＝－y. 由＋＝，＋＝，得 ①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，∴＝－e1＋e2. 同理可得y＝(－2e1＋e2)，即 ＝－e1＋e2. 考向　平面向量的坐標(biāo)表示 例　2　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． 解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)．∴＝(9，－18)． 觸類旁通 平面向量坐標(biāo)運算的技巧 (1)向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)． (2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解，并注意方程思想的應(yīng)用． 【變式訓(xùn)練2】　[2018·山東日照一中月考]在△ABC中，點P在BC上，點Q是AC的中點，且＝2.若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于(　　) A．(－6,21) B．(－2,7) C．(6，－21) D．(2，－7) 答案　A 解析　由題知，－＝＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)． 又因為點Q是AC的中點，所以＝. 所以＝＋＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)． 因為＝2，所以＝＋＝3＝3(－2,7)＝(－6,21)．故選A. 考向　平面向量共線的坐標(biāo)表示 例　3　[2018·正定檢測]已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)當(dāng)k為何值時，ka－b與a＋2b共線； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三點共線，求m的值． 解　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka－b與a＋2b共線， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－. (2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)． ＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，C三點共線，∴∥， ∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝. 觸類旁通 利用兩向量共線解題的技巧 (1)一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． (2)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便． 【變式訓(xùn)練3】　平面內(nèi)給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k； (3)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐標(biāo)． 解　(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， ∴解得 (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得k＝－. (3)設(shè)d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)， 又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝， ∴解得或 ∴d的坐標(biāo)為(3，－1)或(5,3)． 核心規(guī)律 1.平面向量基本定理的本質(zhì)是運用向量加法的平行四邊形法則，將向量進行分解． 2.向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運算法則是運算的關(guān)鍵，通過坐標(biāo)運算可將一些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理，從而用向量可以解決平面解析幾何中的許多相關(guān)問題． 3.在向量的運算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運用． 滿分策略 1.要區(qū)分點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息；兩個向量共線有方向相同、相反兩種情況． 2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. 3.使用平面向量基本定理時一定要注意兩個基向量不共線. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 創(chuàng)新交匯系列4——坐標(biāo)法求向量中的最值問題 [2017·全國卷Ⅲ]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　) A．3 B．2 C. D．2 解題視點　建立平面直角坐標(biāo)系，求出A，B，C，D的坐標(biāo)，用三角函數(shù)表示出點P的坐標(biāo)，最后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題． 解析　分別以CB，CD所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(2,1)，B(2,0)，D(0,1)． ∵點P在以C為圓心且與BD相切的圓上， ∴可設(shè)P. 則＝(0，－1)，＝(－2,0)， ＝. 又＝λ＋μ， ∴λ＝－sinθ＋1，μ＝－cosθ＋1， ∴λ＋μ＝2－sinθ－cosθ＝2－sin(θ＋φ)， 其中tanφ＝，∴(λ＋μ)max＝3. 答案　A 答題啟示　本題首先通過建立平面直角坐標(biāo)系，引入向量的坐標(biāo)運算，然后用三角函數(shù)的知識求出λ＋μ的最大值.引入向量的坐標(biāo)運算使得本題比較容易解決，體現(xiàn)了解析法(坐標(biāo)法)解決問題的優(yōu)勢，凸顯出了向量的代數(shù)特征，為用代數(shù)的方法研究向量問題奠定了基礎(chǔ). 跟蹤訓(xùn)練 [2018·湖南模擬]給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的上運動．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值． 解　以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則A(1,0)，B. 設(shè)∠AOC＝α，則C(cosα，sinα)， 由＝x＋y，得 所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα， 所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin， 又α∈，所以當(dāng)α＝時，x＋y取得最大值2. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎(chǔ)達標(biāo)] 1．[2018·東北三校聯(lián)考]已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，則P點的坐標(biāo)為(　　) A．(－8,1) B. C. D．(8，－1) 答案　B 解析　設(shè)P(x，y)，則＝(x－3，y＋2)． 而＝(－8,1)＝， ∴解得 ∴P.故選B. 2．已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)，若a∥b，則3a＋2b＝(　　) A．(7,2) B．(7，－14) C．(7，－4) D．(7，－8) 答案　B 解析　∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(2，－4)，∴3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．故選B. 3．若AC為平行四邊形ABCD的一條對角線，＝(3,5)，＝(2,4)，則＝(　　) A．(－1，－1) B．(5,9) C．(1,1) D．(3,5) 答案　A 解析　由題意可得＝＝－＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．故選A. 4．[2018·福建模擬]在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) 答案　B 解析　若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，則e1∥e2，故a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，因為≠，所以e1，e2不共線，根據(jù)平面向量基本定理，可以把向量a＝(3,2)表示出來，C，D選項中e1，e2都為共線向量，故a不能由e1，e2表示．故選B. 5．[2018·廣西模擬]若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c＝(　　) A．－a＋b B.a－b C.a－b D．－a＋b 答案　B 解析　設(shè)c＝λ1a＋λ2b，則(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝，λ2＝－，所以c＝a－b.故選B. 6．已知O為坐標(biāo)原點，且點A(1，)，則與同向的單位向量的坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　與同向的單位向量a＝，又||＝ ＝2，故a＝(1，)＝.故選A. 7．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k應(yīng)滿足的條件是(　　) A．k＝－2 B．k＝ C．k＝1 D．k＝－1 答案　C 解析　若點A，B，C不能構(gòu)成三角形， 則向量，共線， ∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， ∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.故選C. 8．若三點A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實數(shù)a的值為________． 答案?。? 解析　＝(a－1,3)，＝(－3,4)，據(jù)題意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－. 9．[2018·延安模擬]已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標(biāo)為________． 答案　(2,4) 解析　因為在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，所以＝2. 設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，y)， 則＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， 所以(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， 所以解得故點D的坐標(biāo)為(2,4)． 10．向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________. 答案　4 解析　以向量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個小正方形邊長為1)， 則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)， ∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)． ∵c＝λa＋μb， ∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3. 解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4. [B級　知能提升] 1．[2018·廣東七校聯(lián)考]已知向量i，j不共線，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三點共線，則實數(shù)m，n應(yīng)滿足的條件是(　　) A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1 C．mn＝1 D．mn＝－1 答案　C 解析　因為A，B，D三點共線，所以∥，存在非零實數(shù)λ，使得＝λ，即i＋mj＝λ(ni＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，又因為i與j不共線，所以則mn＝1.故選C. 2．[2018·棗莊模擬]在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，且滿足＝＋，則的值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知得，3＝2＋，即－＝2(－)， 即＝2，如圖所示， 故C為BA的靠近A點的三等分點，因而＝.選B. 3.在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________. 答案　 解析　選擇，作為平面向量的一組基底，則＝＋，＝＋，＝＋，又＝λ＋μ＝＋， 于是得即故λ＋μ＝. 4．[2018·杭州測試]如圖，以向量＝a，＝b為鄰邊作?OADB，＝，＝，用a，b表示，，. 解　∵＝－＝a－b，＝＝a－b， ∴＝＋＝a＋b.∵＝a＋b， ∴＝＋＝＋＝＝a＋b， ∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.綜上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b. 5.[2018·衡水中學(xué)調(diào)研]如圖，已知平面內(nèi)有三個向量，，，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值． 解　解法一：如圖，作平行四邊形OB1CA1，則＝＋，因為與的夾角為120°，與的夾角為30°，所以∠B1OC＝90°. 在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2， 所以|OB1|＝2，|B1C|＝4， 所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 解法二：以O(shè)為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則 A(1,0)，B，C(3，)．由＝λ＋μ， 得解得所以λ＋μ＝6. 15