2022高考數(shù)學(xué)《從課本到高考》之集合與函數(shù) 專題04 函數(shù)的性質(zhì)學(xué)案

2022高考數(shù)學(xué)《從課本到高考》之集合與函數(shù) 專題04 函數(shù)的性質(zhì)學(xué)案 【典例解析】 1.（必修1第44頁復(fù)習(xí)參考題A組第9題）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性， 求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【解析】方法一：的對稱軸，要使函數(shù)在上具有單調(diào)性，則或，解得的取值范圍或. 方法二：可逆向思考，若時，在區(qū)間上無單調(diào)性，解得： 取它的補(bǔ)集得：的取值范圍或. 【反思回顧】（1）知識反思；函數(shù)單調(diào)性的概念，二次函數(shù)及其性質(zhì)； （2）解題反思；本題已知區(qū)間有單調(diào)性，而對稱軸不確定，即為軸動區(qū)間定問題。可先求出二次函數(shù)含有參數(shù)的對稱軸方程，再根據(jù)題中條件所給的區(qū)間建立方程或不等式求出參數(shù)的范圍。 2.（必修1第39頁習(xí)題1.3題A組第6題）已知函數(shù) 是定義域在R 上的奇函數(shù)， 當(dāng) 時，。畫出函數(shù)的圖象，并求出函數(shù)的解析式。 【答案】見解析 【解析】設(shè)時，則，又當(dāng)時，，則 又是定義域在R 上的奇函數(shù)；所以 則得：，可得； 【反思回顧】（1）知識反思；函數(shù)奇偶性的概念，二次函數(shù)的圖像； （2）解題反思；本題先利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱畫出函數(shù)的圖象，在利用奇函數(shù)的定義求出函數(shù)的解析式．利用奇偶性求函數(shù)解析式，此類問題的一般做法是： ①“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間求解析式，x就設(shè)在哪個區(qū)間內(nèi)． ②利用的奇偶性f(x) =－f(－ x)或f(x) =f(－x) ③要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入，從而解出f(x) ． 3.（必修1第39頁復(fù)習(xí)參考題B組第3題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在上是減函數(shù)， 判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷. 【解析】在上是減函數(shù)； 證明：設(shè)x1＜x2＜0則-x1＞-x2＞0， ∵在（0，+∞）上是增函數(shù)∴f（-x1）＞f（-x2） 又是偶函數(shù)∴f（-x1）=f（x1），f（-x2）=x2） ∴f（x1）＞f（x2）∴在（-∞，0）上是減函數(shù)。 【反思回顧】（1）知識反思；函數(shù)奇偶性與單調(diào)性 （2）解題反思；本題為抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，可由條件出發(fā)，遵循單調(diào)性的證明步驟（設(shè)，作差，下結(jié)論），關(guān)鍵需借助偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行替換，完成證明。同時啟發(fā)我們注意函數(shù)性質(zhì)之間的聯(lián)系。 【知識背囊】 1.函數(shù)的單調(diào)性 (1)單調(diào)函數(shù)的定義 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2 當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù) 當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù) 圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的 (2)單調(diào)區(qū)間的定義 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間. 2.函數(shù)的最值 前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實(shí)數(shù)M滿足 條件 (1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)對于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 結(jié)論 M為最大值 M為最小值 3.函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點(diǎn) 偶函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 關(guān)于y軸對稱 奇函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對稱 4.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期. (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期. 【變式訓(xùn)練】 變式1.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】函數(shù)圖像是開口向上的拋物線，其對稱軸是，由已知函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減可知區(qū)間應(yīng)在直線的左側(cè)，∴，解得，故選D． 變式2.已知函數(shù)f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在區(qū)間(－∞，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍 是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】當(dāng)a＝0時，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是減函數(shù)； 當(dāng)a≠0時，由得0<a≤. 綜上，a的取值范圍是0≤a≤. 變式3.函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值 范圍是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，使成立的滿足，所以由得， 即使成立的滿足，選D. 變式4.已知定義域為的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時， ，則（ ） A. -2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】因為奇函數(shù)滿足，所以， 即周期為3，所以 ，故選D． 變式5.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時， ，則__________. 【答案】-2 【解析】∵函數(shù)為奇函數(shù),且當(dāng)時, ，。 變式6.若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】∵函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的增減性，再根據(jù)在 為增函數(shù)，可得在 為增函數(shù)，∴，解得，故答案為：. 變式7.已知定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),若f(1-m)f(m),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____. 【答案】 【解析】由偶函數(shù)的定義,,又由f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù), 所以.故答案：. 變式8.已知函數(shù)為奇函數(shù)， ，若，則數(shù)列的前2018項和為 【答案】2018 【解析】∵函數(shù)為奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對稱， ∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,1)對稱，∴，∵， ∴數(shù)列的前2018項之和為。 反思：本題主要考查函數(shù)的奇偶性及對稱性結(jié)合數(shù)列，抓住通項特征可以看出是首尾相加是定值，采用倒序相加會很快得出答案。 【高考鏈接】 1.【2015高考廣東理3】下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（ ） A． B． C． D． 【答案】． 【解析】記，則，，那么，，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，依題可知、、依次是奇函數(shù)、偶函數(shù)、偶函數(shù)，故選． 2.【2017北京文5】已知函數(shù)，則為（ ） （A）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （C）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) 【答案】B 【解析】，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)， 是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，故選B. 3.【2017課標(biāo)1文9】已知函數(shù)，則（ ） A．在（0，2）單調(diào)遞增 B．在（0，2）單調(diào)遞減 C．y=的圖像關(guān)于直線x=1對稱 D．y=的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱 【答案】C 【解析】由題意知，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，C正確，D錯誤；又（），在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A，B錯誤，故選C． 4.【2014課標(biāo)Ⅰ理3】設(shè)函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A．是偶函數(shù) 　　　 B． 是奇函數(shù) C.． 是奇函數(shù) D．是奇函數(shù) 【答案】C 【解析】設(shè)，則，因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，故，即是奇函數(shù)，選C． 反思：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，在研究函數(shù)的奇偶性時，一定要注意的奇偶性，只有具備奇偶性，函數(shù)才是偶函數(shù)，否者不成立. 5.【2014高考陜西版理第7題】下列函數(shù)中，滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 【解析】選項：由，，得，所以錯誤；選項：由，，得，所以錯誤；選項：函數(shù)是定義在上減函數(shù)，所以錯誤；選項：由，，得；又函數(shù)是定義在上增函數(shù)，所以正確；故選. 6.【2017山東，文10】若函數(shù)(e=2.71828,是自然對數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)具有M性質(zhì),下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是 A . B. C. D. 【答案】A 【解析】由A,令,,則在R上單調(diào)遞增,具有M性質(zhì),故選A. 7.【2017課標(biāo)II文8】函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函數(shù)有意義，則： ，解得： 或 ，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 .故選D. 8.【 2014湖南3】已知分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則( ) A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】分別令和可得和,因為函數(shù)分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù),所以,即 ,則,故選C. 9.【2016高考山東理數(shù)】已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當(dāng)x<0時， ；當(dāng) 時，；當(dāng) 時， .則f(6)= （ ） （A）?2 （B）?1 （C）0 （D）2 【答案】D 【解析】當(dāng)時，,所以當(dāng)時，函數(shù)是周期為 的周期函數(shù)，所以，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，故選D. 10．【2018年理數(shù)全國卷II】已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足．若，則 ( ) A. B. 0 C. 2 D. 50 【答案】C 【解析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果. 詳解：因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C. 反思：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解． 11．【2018年理新課標(biāo)I卷】設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：利用奇函數(shù)偶此項系數(shù)為零求得，進(jìn)而得到的解析式，再對求導(dǎo)得出切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程. 詳解：因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，所以，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡可得，選D. 12. 【2015高考新課標(biāo)1理13】若函數(shù)f(x)=為偶函數(shù)，則a= 【答案】1 【解析】由題知是奇函數(shù)，所以 =，解得=1. 13.【2017課標(biāo)II文14】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，, 則 _________. 【答案】12 【解析】. 14. 【2014新課標(biāo)，理15】已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】因為是偶函數(shù)，所以不等式，又因為在上單調(diào)遞減，所以，解得. 15.【2016年高考四川理數(shù)】已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時，，則= . 【答案】-2 【解析】：因為函數(shù)是定義在上周期為2的奇函數(shù)，所以 ，所以，即，，所以. 16.【2017山東文14】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(x-2).若當(dāng) 時,,則f(919)= . 【答案】 【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函數(shù),且,所以. 17. 【2016高考天津理數(shù)】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（-，0）上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a足，則a的取值范圍是______. 【答案】 【解析】由題意在上遞減，又是偶函數(shù)，則不等式或化為，則，，解得，即答案為．