《圓周角定理》 (第1課時) 教案 拓展版

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1、《圓周角定理》（第1課時） 教案 拓展版 一、教學目標 知識與技能 1．理解圓周角的概念． 2．掌握圓周角與圓心角的關(guān)系． 3．掌握同弧或等弧所對的圓周角相等． 數(shù)學思考與問題解決 1．通過觀察、猜想、驗證、推理，培養(yǎng)學生探索數(shù)學問題的能力和方法． 2．學會以特殊情況為基礎(chǔ)，通過轉(zhuǎn)化來解決一般問題的方法，體會分類的數(shù)學思想． 情感、態(tài)度 1．通過定理證明的過程，體驗數(shù)學活動的探索性和創(chuàng)造性，感受證明的嚴謹性． 2．通過小組活動討論，體會在解決問題的過程中與他人合作的重要性，培養(yǎng)團隊意識． 3．體驗數(shù)學與實際生活的緊密聯(lián)系． 二、教學重點、難點 重點：圓周角的概念及圓

2、周角定理． 難點：圓周角定理的證明． 三、教學過程設(shè)計 （一）復習引入 1．圓心角的概念是什么？ 2．前面我們學習了一個反映圓心角、弧、弦三個量之間關(guān)系的一個結(jié)論，這個結(jié)論是什么？ 師生活動：教師出示問題，學生思考、回顧前面所學的內(nèi)容． 答：1．頂點在圓心的角叫做圓心角； 2．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也都分別相等． 設(shè)計意圖：通過復習前面學過的知識，為新內(nèi)容的學習做鋪墊． （二）探究新知 想一想 在射門游戲中（如圖），球員射中球門的難易程度與他所處的位置B對球門AC的張角（∠ABC）有關(guān)．當球員在B，D，E

3、處射門時，他所處的位置對球門AC分別形成三個張角∠ABC，∠ADC，∠AEC．觀察圖中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特征嗎？ 師生活動：教師出示問題，學生小組討論，最后教師引導學生得出圓周角的概念． 答：發(fā)現(xiàn)：（1）它們的頂點都在圓上；（2）兩邊分別與圓有一個交點． 我們把頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角． 設(shè)計意圖：讓學生通過觀察、思考、合作交流，探究得出圓周角的概念． 做一做 如圖，∠AOB=80°． （1）請你畫出幾個所對的圓周角，這幾個圓周角有什么關(guān)系？與同伴進行交流． （2）這些圓周角與圓心角∠AOB的大小有什么關(guān)系？你是怎

4、樣發(fā)現(xiàn)的？與同伴進行交流． 師生活動：教師出示問題，學生小組討論，教師引導學生得出結(jié)論． 答：（1）能畫出無數(shù)個，如下圖所示． 通過度量可以發(fā)現(xiàn)：∠ADB，∠ACB，∠AEB這幾個圓周角相等． （2）通過度量可以發(fā)現(xiàn)：這些圓周角都等于圓心角∠AOB的一半． 證明：如下圖所示，在以點A，B為端點的優(yōu)弧上任取一點C，連接AC，OC，BC，延長CO交于點M．∵OB=OC，∴∠1=∠2．又∵OA=OC，∴∠4=∠5． 又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，即∠AOB=2∠ACB． ∴∠ACB=∠AOB=×80°=40°． 結(jié)論：這樣的圓周角有許

5、多個，只要在上任取一點且與點A，B分別相連即可得到，這些角都相等，且等于∠AOB的一半． 設(shè)計意圖：這里把直觀操作與邏輯推理有機結(jié)合，使將要進行的推理論證成為學生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)． 議一議 在下圖中，改變∠AOB的度數(shù)，你得到的結(jié)論還成立嗎？怎樣證明你的猜想？ 師生活動：教師出示問題，學生小組討論，教師引導學生得出結(jié)果． 答：改變∠AOB的度數(shù)，上面的結(jié)論仍然成立．證明過程如下： 已知：如圖，∠C是所對的圓周角，∠AOB是所對的圓心角． 求證：∠C=∠AOB． 分析：根據(jù)圓周角和圓心的位置關(guān)系，分三種情況討論： （1）圓心O在∠C的一條邊上，如下圖（1）

6、； （2）圓心O在∠C的內(nèi)部，如下圖（2）； （3）圓心O在∠C的外部，如下圖（3）． 在三種位置關(guān)系中，我們選擇（1）給出證明，其他情況可以轉(zhuǎn)化為（1）的情況進行證明． 證明：（1）圓心O在∠C的一條邊上，如圖（1）． ∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠A+∠C．∵OA=OC，∴∠A=∠C． ∴∠AOB=2∠C，即∠C=∠AOB． 情況（2）和情況（3）可以轉(zhuǎn)化為情況（1）來證明． 圓周角定理 圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半． 設(shè)計意圖：向?qū)W生滲透解決問題的策略以及轉(zhuǎn)化、分類、歸納等數(shù)學思想方法． 想一想 在本節(jié)課開始提出的射門游戲中，當球員

7、在B，D，E處射門時，所形成的三個張角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么關(guān)系？你能用圓周角定理證明你的結(jié)論嗎？ 師生活動：教師出示問題，學生獨立完成． 答：∠ABC=∠ADC=∠AEC；能，因為∠ABC，∠ADC和∠AEC都是同?。ǎ┧鶎Φ膱A周角，根據(jù)圓周角定理，它們都等于所對圓心角度數(shù)的一半，所以這幾個圓周角相等． 結(jié)論：推論 同弧或等弧所對的圓周角相等． 設(shè)計意圖：利用圓周角定理解決本節(jié)課開始提出的問題并得出圓周角定理的推論，提高學生分析問題、解決問題的能力及歸納總結(jié)能力． （三）典例精析 例 如圖，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm． （1）

8、求∠BAC的度數(shù)；（2）求⊙O的周長． 師生活動：教師出示例題，學生思考、討論，師生共同完成解題過程． 解：（1）∵＝，∴∠BAC=∠BDC=60°． （2）∵∠BAC=∠ACB=60°，∴∠ABC=60°． ∴△ABC是等邊三角形． 連接OC，OA，作OE⊥AC于點E． ∵OA=OC，OE⊥AC，∴CE=EA． ∴AE=AC=cm． ∵∠AOC=2∠ABC=120°，OE⊥AC， ∴∠AOE=60°，∠OAE=30°． ∴OE=OA． 在Rt△AOE中，由勾股定理，得 ，即． ∴OA=2 cm．∴⊙O的周長為4π cm． 設(shè)計意圖：讓學生加深對本節(jié)課所學知識的理解

9、，培養(yǎng)學生的應用意識． （四）課堂練習 1．下列圖形中的角為圓周角的是（ ）． 2．如圖，點A，B，C在⊙O上，點D在上，且OD⊥AC．已知∠A=36°，∠C=60°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）． A．132° B．144° C．156° D．168° 師生活動：教師先找?guī)酌麑W生代表回答，然后講解出現(xiàn)的問題． 參考答案 1．C．2．C． 設(shè)計意圖：通過本環(huán)節(jié)的學習，讓學生鞏固所學知識． （五）拓展例題 例 如圖，△ABC的三個頂點都在⊙O上，并且點C是優(yōu)弧AmB上一點（點C不與A，B重合

10、）．設(shè)∠OAB=α，∠C=β． （1）當α=35°時，求β的度數(shù)； （2）猜想α與β之間的關(guān)系，并給予證明． 師生活動：教師出示例題，分析、引導，學生完成解題過程． 解：（1）如圖，連接OB，則OA=OB．∴∠OBA=∠OAB=35°． ∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=110°． ∴β=∠C=∠AOB=55°． （2）α與β之間的關(guān)系是α+β=90°． 證法一：如圖，連接OB，則OA=OB． ∴∠OBA=∠OAB=α． ∴∠AOB=180°-2α． ∴β=∠C=∠AOB=(180°-2α)=90°-α． ∴α+β=90°． 證法二：如圖，連接OB，則

11、OA=OB． ∴∠AOB=2∠C=2β． 過點O作OD⊥AB于點D， 則OD平分∠AOB． ∴∠AOD=∠AOB=β． 在Rt△AOD中，∵∠OAD+∠AOD=90°， ∴α+β=90°． 設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生綜合運用所學知識解決問題的能力． （六）拓展練習 如圖，A，B，C三點都在⊙O上，點D是AB延長線上一點，若∠AOC=140°，則∠CBD的度數(shù)是_______． 師生活動：教師先找?guī)酌麑W生代表回答，然后講解出現(xiàn)的問題． 參考答案 70°． 設(shè)計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識． （七）課堂小結(jié) 1．圓周角的定義是什么？ 答：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交

12、的角叫做圓周角． 2．圓周角定理的內(nèi)容是什么？ 答：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半． 3．圓周角定理的推論的內(nèi)容是什么？ 答：同弧或等弧所對的圓周角相等． 師生活動：教師出示問題，引導學生歸納總結(jié)本節(jié)課所學內(nèi)容． 設(shè)計意圖：通過總結(jié)使學生梳理本節(jié)課所學內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心內(nèi)容． （八）布置作業(yè) 1．如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC，∠ACB與∠BAC的大小有什么關(guān)系？為什么？ 2．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，且∠C=100°，求∠BOD和∠A的度數(shù)． 參考答案 1．∠ACB=2∠BAC． 2．∠BOD=160°，

13、∠A=80°． 四、課堂檢測設(shè)計 1．下列說法正確的是（ ）． A．頂點在圓上的角是圓周角 B．兩邊都和圓相交的角是圓周角 C．圓心角是圓周角的2倍 D．圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半 2．如圖，已知CD是⊙O的直徑，過點D的弦DE平行于半徑OA．若∠D=50°，則∠C=（ ）． A．50° B．40° C．30° D．25° 3．如圖，以原點O為圓心的圓交x軸于A，B兩點，交y軸的正半軸于點C，D為第一象限內(nèi)⊙O上的一點．若∠DAB=20°，則∠OCD=__________． 4．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P是劣弧AD上任意一點，則∠ABP+∠DCP=________． 5．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點E，∠ACD=60°，∠ADC=50°．求∠CEB的度數(shù)． 參考答案 1．D．2．D．3．65°．4．45°． 5．解：連接BD，∵∠AOB是平角，∴∠ADB=90°． ∵∠ADC=50°，∴∠EDB=90°-50°=40°． 又∵∠ABD=∠ACD=60°， ∴∠CEB=∠ABD +∠EDB=60°+40°=100°．