【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第9講　函數(shù)的應(yīng)用教案 理 新人教版

第9講　函數(shù)的應(yīng)用 【2020年高考會這樣考】 1．考查二次函數(shù)模型的建立及最值問題． 2．考查分段函數(shù)模型的建立及最值問題． 3．考查指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)、“對勾”型函數(shù)模型的建立及最值問題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 函數(shù)模型的實際應(yīng)用問題，主要抓好常見函數(shù)模型的訓(xùn)練，解答應(yīng)用問題的重點在信息整理與建模上，建模后利用函數(shù)知識分析解決問題． 基礎(chǔ)梳理 1．常見的函數(shù)模型及性質(zhì) (1)幾類函數(shù)模型 ①一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)． ②二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ③指數(shù)函數(shù)型模型：y＝abx＋c(b＞0，b≠1)． ④對數(shù)函數(shù)型模型：y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1)． ⑤冪函數(shù)型模型：y＝axn＋b. (2)三種函數(shù)模型的性質(zhì) 　　函數(shù) 性質(zhì)　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩(wěn) 圖象的變化 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行 隨n值變化而各有不同 值的比較 存在一個x0，當(dāng)x＞x0時，有l(wèi)ogax＜xn＜ax 一個防范 特別關(guān)注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域． 四個步驟 (1)審題：深刻理解題意，分清條件和結(jié)論，理順其中的數(shù)量關(guān)系，把握其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)； (2)建模：由題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題； (3)解模：用數(shù)學(xué)知識和方法解決轉(zhuǎn)化出的數(shù)學(xué)問題； (4)還原：回到題目本身，檢驗結(jié)果的實際意義，給出結(jié)論． 雙基自測 1．(人教A版教材習(xí)題改編)從1999年11月1日起，全國儲蓄存款征收利息稅，利息稅的稅率為20%，由各銀行儲蓄點代扣代收，某人2020年6月1日存入若干萬元人民幣，年利率為2%，到2020年6月1日取款時被銀行扣除利息稅138.64元，則該存款人的本金介于(　　)． A．3～4萬元 B．4～5萬元 C．5～6萬元 D．2～3萬元 解析　設(shè)存入的本金為x，則x·2%·20%＝138.64，∴x＝＝34 660. 答案　A 2．(2020·新鄉(xiāng)月考)某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N*)，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是(　　)． A．100臺 B．120臺 C．150臺 D．180臺 解析　設(shè)利潤為f(x)(萬元)，則f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3 000≥0，∴x≥150. 答案　C 3．有一批材料可以圍成200米長的圍墻，現(xiàn)用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地(如圖)，且內(nèi)部用此材料隔成三個面積相等的矩形，則圍成的矩形場地的最大面積為(　　)． A．1 000米2 B．2 000米2 C．2 500米2 D．3 000米2 解析　設(shè)三個面積相等的矩形的長、寬分別為x米、y米，如圖，則4x＋3y＝200，又矩形場地的面積S＝3xy＝3x·＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2 500，∴當(dāng)x＝25時，Smax＝2 500. 答案　C 4．(2020·湖北)里氏震級M的計算公式為：M＝lg A－lg A0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅．假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為__________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍． 解析　由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震級為6級．因為標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，設(shè)9級地震最大振幅為A9，則lg A9－lg 0.001＝9解得A9＝106，同理5級地震最大振幅A5＝102，所以9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的10 000倍． 答案　6　10 000 5．(2020·東三校聯(lián)考)為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下： 明文密文密文明文 已知加密為y＝ax－2(x為明文，y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________． 解析　依題意y＝ax－2中，當(dāng)x＝3時，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密為y＝2x－2，因此，當(dāng)y＝14時，由14＝2x－2，解得x＝4. 答案　4　 考向一　一次函數(shù)、二次函數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用 【例1】?(2020·武漢調(diào)研)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為：Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生產(chǎn)x臺某種產(chǎn)品的收入為R(x)元，成本為C(x)元，且R(x)＝3 000x－20x2，C(x)＝500x＋4 000(x∈N*)．現(xiàn)已知該公司每月生產(chǎn)該產(chǎn)品不超過100臺． (1)求利潤函數(shù)P(x)以及它的邊際利潤函數(shù)MP(x)； (2)求利潤函數(shù)的最大值與邊際利潤函數(shù)的最大值之差． [審題視點] 列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最值． 解　(1)由題意，得x∈[1,100]，且x∈N*. P(x)＝R(x)－C(x) ＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000) ＝－20x2＋2 500x－4 000， MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000]－(－20x2＋2 500x－ 4 000)＝2 480－40x. (2)P(x)＝－202＋74 125， 當(dāng)x＝62或x＝63時，P(x)取得最大值74 120元； 因為MP(x)＝2 480－40x是減函數(shù)， 所以當(dāng)x＝1時，MP(x)取得最大值2 440元． 故利潤函數(shù)的最大值與邊際利潤函數(shù)的最大值之差為71 680元. 二次函數(shù)是我們比較熟悉的基本函數(shù)，建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的最值，解決實際中的最優(yōu)化問題，值得注意的是：一定要注意自變量的取值范圍，根據(jù)圖象的對稱軸與定義域在數(shù)軸上表示的區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解． 【訓(xùn)練1】 經(jīng)市場調(diào)查，某種商品在過去50天的銷售量和價格均為銷售時間t(天)的函數(shù)，且銷售量近似地滿足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天價格為g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天價格為g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)寫出該種商品的日銷售額S與時間t的函數(shù)關(guān)系； (2)求日銷售額S的最大值． 解　(1)根據(jù)題意，得 S＝ ＝ (2)①當(dāng)1≤t≤30，t∈N時， S＝－(t－20)2＋6 400， ∴當(dāng)t＝20時，S的最大值為6 400； ②當(dāng)31≤t≤50，t∈N時， S＝－90t＋9 000為減函數(shù)， ∴當(dāng)t＝31時，S的最大值為6 210. ∵6 210＜6 400， ∴當(dāng)t＝20時，日銷售額S有最大值6 400. 考向二　指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用 【例2】?某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線． (1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(t)； (2)據(jù)進(jìn)一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療有效．求服藥一次后治療有效的時間是多長？ [審題視點] 根據(jù)圖象用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再分段求出時間長． 解　(1)設(shè)y＝ 當(dāng)t＝1時，由y＝4得k＝4， 由1－a＝4得．a(chǎn)＝3.則y＝ (2)由y≥0.25得或 解得≤t≤5， 因此服藥一次后治療有效的時間是5－＝小時． 　可根據(jù)圖象利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，然后把實際問題轉(zhuǎn)化為解不等式問題進(jìn)行求解． 【訓(xùn)練2】 某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答以下問題： (1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式； (2)計算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)； (3)計算大約多少年以后，該城市人口將達(dá)到120萬人(精確到1年)； (4)如果20年后該城市人口總數(shù)不超過120萬人，年自然增長率應(yīng)該控制在多少？ (參考數(shù)據(jù)：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9) 解　(1)1年后該城市人口總數(shù)為 y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%) 2年后該城市人口總數(shù)為 y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2. 3年后該城市人口總數(shù)為 y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2% ＝100×(1＋1.2%)3. x年后該城市人口總數(shù)為y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后，人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)10≈112.7(萬人)． (3)設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬人， 即100×(1＋1.2%)x＝120， x＝log1.012＝log1.0121.20≈16(年)． (4)由100×(1＋x%)20≤120，得(1＋x%)20≤1.2，兩邊取對數(shù)得20lg(1＋x%)≤lg 1.2＝0.079，所以lg(1＋x%)≤＝0.003 95， 所以1＋x%≤1.009，得x≤0.9， 即年自然增長率應(yīng)該控制在0.9%. 考向三　函數(shù)y＝x＋模型的應(yīng)用 【例3】?(2020·湖北)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和． (1)求k的值及f(x)的表達(dá)式； (2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達(dá)到最小，并求最小值． [審題視點] 用基本不等式求最值，注意等號成立的條件． 解　(1)由已知條件C(0)＝8則k＝40， 因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋ (0≤x≤10)． (2)f(x)＝6x＋10＋－10 ≥2 －10＝70(萬元)， 當(dāng)且僅當(dāng)6x＋10＝即x＝5時等號成立． 所以當(dāng)隔熱層為5 cm時，總費用f(x)達(dá)到最小值，最小值為70萬元． 求函數(shù)解析式同時要注意確定函數(shù)的定義域，對于y＝x＋(a>0)類型的函數(shù)最值問題，特別要注意定義域問題，可考慮用均值不等式求最值，否則要考慮使用函數(shù)的單調(diào)性． 【訓(xùn)練3】 某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地，當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？ 解　設(shè)溫室的左側(cè)邊長為x m，則后側(cè)邊長為m. ∴蔬菜種植面積 y＝(x－4)＝808－2(4<x<400)． ∵x＋≥2 ＝80， ∴y≤808－2×80＝648(m)2. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝40， 此時＝20 m，y最大＝648(m2)． ∴當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40 m，后側(cè)邊長為20 m時，蔬菜的種植面積最大，為648 m2.　　 規(guī)范解答5——應(yīng)用題中的函數(shù)建模問題 (【問題研究】 解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，因此，首先要熟悉和掌握幾類常用的函數(shù)模型.求解中容易在以下兩個地方出現(xiàn)失誤：,(1)列函數(shù)關(guān)系式時，會出現(xiàn)由于理不清楚各個量之間的關(guān)系，而導(dǎo)致列出錯誤的關(guān)系式.這一點在求解應(yīng)用題時是常出現(xiàn)的錯誤；,(2)列出解析式，在求最優(yōu)解的過程中，由于方法使用不當(dāng)而出現(xiàn)求解上的錯誤., 【解決方案】 (1)閱讀理解，審清題意.讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字?jǐn)⑹觯斫鈹⑹霾糠炙从车膶嶋H背景，在此基礎(chǔ)上，分析出已知是什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.,(2)根據(jù)所給模型，列出函數(shù)關(guān)系式.根據(jù)已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上將實際問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)問題.,(3)利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答，并求得結(jié)果.,(4)將所得結(jié)果代入原問題中，對具體問題進(jìn)行解答.) 【示例】?(本題滿分12分)(2020·湖北)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時) 首先求函數(shù)v(x)為分段函數(shù)，然后利用一元二次函數(shù)配方法或基本不等式求解． [解答示范] (1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時，設(shè)v(x)＝ax＋b， 再由已知，得解得 故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)＝(4分) (2)依題意并由(1)可得f(x)＝(6分) 當(dāng)0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)， 故當(dāng)x＝20時，其最大值為60×20＝1 200；(7分) 當(dāng)20＜x≤200時，f(x)＝x(200－x)≤2＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時，等號成立． 所以，當(dāng)x＝100時，f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值.(10分) 綜上，當(dāng)x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333，即當(dāng)車流密度為100 輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/小時．(12分) 對于分段函數(shù)模型的最值問題，應(yīng)該先求出每一段上的最值，然后再比較大?。硗庠诶镁挡坏仁角蠼庾钪禃r，一定要檢驗等號成立的條件，也可通過函數(shù)的單調(diào)性求解最值．