【走向高考】2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 2-1函數(shù)及其表示 課后作業(yè) 北師大版

【走向高考】2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 2-1函數(shù)及其表示 課后作業(yè) 北師大版 一、選擇題 1．(文)(2020·江西文，3)若f(x)＝則f(x)的定義域為(　　) A．(－，0) B．(－，＋∞) C．(－，0)∪(0，＋∞) D．(－，2) [答案]　C [解析]　本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，利用對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)． 要使函數(shù)有意義，則有所以. (理)(2020·江西理，3)若f(x)＝，則f(x)的定義域為(　　) A．(－，0) B．(－，0] C．(－，＋∞) D．(0，＋∞) [答案]　A [解析]　本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)． 由，解得－<x<0， 故函數(shù)的定義域為(－，0)，故選A. 2．已知f(x)＝π(x∈R)，則f(π2)等于(　　) A．π2 B．π C. D．不確定 [答案]　B [解析]　f(x)＝π為常數(shù)函數(shù)，所以f(π2)＝π. 3．(文)下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝x與g(x)＝()2 B．f(x)＝|x|與g(x)＝ C．f(x)＝x|x|與g(x)＝ D．f(x)＝與g(t)＝t＋1(t≠1) [答案]　D [解析]　A中定義域不同，B中解析式不同，C中定義域不同． (理)下列對應(yīng)法則f為A上的函數(shù)的個數(shù)是(　　) ①A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2 ②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ ③A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0 A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　B [解析]　對于①，當(dāng)0∈A時，y＝0?B，故①所給的對應(yīng)法則不是A到B的映射，當(dāng)然它不是A上的函數(shù)關(guān)系；對于②，當(dāng)2∈A時，y＝?B，故②所給的對應(yīng)法則不是A到B的映射，當(dāng)然它不是A上的函數(shù)關(guān)系；對于③，對于A中的任一個數(shù)，按照對應(yīng)法則，在B中都有唯一元素0和它對應(yīng)，故③所給的對應(yīng)法則是A到B的映射，這兩個數(shù)集之間的關(guān)系是集合A上的函數(shù)關(guān)系． 4．已知函數(shù)y＝，使函數(shù)值為5的x的值是(　　) A．－2 B．2或－ C．2或－2 D．2或－2或－ [答案]　A [解析]　由題意有x2＋1＝5，得x＝±2，又x≤0，所以x＝－2；或－2x＝5，得x＝－，又x>0，舍去． 5．(2020·茂名一模)設(shè)f(x)＝則f[f(2)]的值為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　C [解析]　∵f(2)＝log3(22－1)＝1，又f(1)＝2·e0＝2，∴f[f(2)]＝2. 6．已知f＝2x＋3，f(m)＝6，則m等于(　　) A. B．－ C. D．－ [答案]　B [解析]　令2x＋3＝6，得x＝，則m＝x－1＝×－1＝－.故選B. 二、填空題 7．已知函數(shù)f(x)、g(x)分別由下表給出 x 1 2 3 f(x) 1 3 2 　　 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 則f [g(1)]的值為________；滿足f [g(x)]>g[f(x)]的x的值是________． [答案]　2；2 [解析]　f [g(1)]＝f(3)＝2. x 1 2 3 f[g(x)] 2 3 1 g[f(x)] 3 1 2 故f[g(x)]>g[f(x)]的解為x＝2. 8．已知f(0)＝1，且對任意實數(shù)a，b總有f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，則f(x)＝________. [答案]　x2＋x＋1 [解析]　令a＝0，則f(－b)＝f(0)－b(－b＋1)＝1＋b(b－1)＝b2－b＋1 再令－b＝x，即得：f(x)＝x2＋x＋1. [點評]　賦值法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是“賦值”，賦值的方法靈活多樣，既要照顧到已知條件的運用和待求結(jié)論的產(chǎn)生，又要考慮所給關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特點． 如本題另解：令b＝a，則1＝f(0)＝f(a)－a(2a－a＋1) ＝f(a)－a(a＋1)＝f(a)－a2－a， ∴f(a)＝a2＋a＋1，∴f(x)＝x2＋x＋1. 三、解答題 9．已知f(x)是定義在[－6,6]上的奇函數(shù)，它在[0,3]上是一次函數(shù)，在[3,6]上是二次函數(shù)，且當(dāng)x∈[3,6]時， f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的解析式． [解析]　∵x∈[3,6]時，y＝f(x)是二次函數(shù)， f(6)＝2且f(x)≤f(5)＝3 ∴當(dāng)x＝5時，二次函數(shù)有最大值3，當(dāng)x∈[3,6]時可設(shè)f(x)＝a(x－5)2＋3，由f(6)＝2，a＋3＝2，得a＝－1 ∴當(dāng)x∈[3,6]時，f(x)＝－(x－5)2＋3 則f(3)＝－1，由y＝f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝0 當(dāng)x∈[0,3]時，y＝f(x)為一次函數(shù)，由f(0)＝0，f(3)＝－1，得f(x)＝－x，由y＝f(x)為奇函數(shù)知，當(dāng)x∈[－3,0]時，f(x)＝－f(－x)＝－x. 當(dāng)x∈[－6，－3]時，f(x)＝－f(－x)＝(x＋5)2－3 ∴f(x)＝. 一、選擇題 1．(2020·福建文，8)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值等于(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 [答案]　A [解析]　本題考查分段函數(shù)求值． ∵f(1)＝21＝2，∴由f(a)＋f(1)＝0知　f(a)＝－2. 當(dāng)a>0時　2a＝－2不成立．當(dāng)a<0時a＋1＝－2，a＝－3. 2．(文)設(shè)f(x)＝，又記f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，則f2020(x)＝(　　) A. B. C．x D．－ [答案]　A [解析]　由已知條件得到 f2(x)＝f[f1(x)]＝＝＝－， f3(x)＝f[f2(x)]＝＝＝， f4(x)＝f[f3(x)]＝＝＝x， f5(x)＝f[f4(x)]＝， 易知fn(x)是以4為周期的函數(shù)，而2020＝503×4＋1， 所以f2020(x)＝f1(x)＝. (理)如圖所示，單位圓中弧的長為x，f(x)表示弧與弦AB所圍成的弓形(陰影部分)面積的2倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖像是(　　) [答案]　D [解析]　如圖所示，設(shè)∠AOB＝θ，則x＝θ.則弓形面積＝S扇形－S△AOB ＝x×1－2×sincos ＝(x－sinθ)＝(x－sinx)． 當(dāng)x∈[0，π]時，sinx≥0，則x－sinx≤x，其圖像位于y＝x下方． 當(dāng)x∈(π，2π]時，sinx≤0，則x－sinx≥x，其圖像位于y＝x上方． 所以只有D項符合題意． 二、填空題 3．(文)已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，那么f等于________． [答案]　15 [解析]　令g(x)＝，即1－2x＝，所以x＝，則f＝÷2＝15. (理)已知f(x)＝，定義fn(x)＝f(fn－1(x))，其中f1(x)＝f(x)，則f2020＝________. [答案]　 [解析]　依次計算：f1＝，f2＝， f3＝，f4＝，f5＝，f6＝， f7＝，可知fn的最小正周期為6， 即得fn＋6＝fn，所以f2020＝f3＝. [點評]　該題考查分段函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，再將f2020轉(zhuǎn)化為f3即可． 4．(文)(2020·四川文，16)函數(shù)f(x)的定義域為A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2，則稱f(x)為單函數(shù)．例如函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù)，下列命題： ①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)； ②指數(shù)函數(shù)f(x)＝2x(x∈R)是單函數(shù)； ③若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)； ④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)． 其中的真命題是________(寫出所有真命題的編號) [答案]?、冖邰? [解析]　該題為信息考查題，考查學(xué)生遷移知識的能力，考查“單函數(shù)”的意義． 由x＝x，未必有x1＝x2，故①不正確；對于f(x)＝2x，當(dāng)f(x1)＝f(x2)時一定有x1＝x2，故②正確；當(dāng)f(x)為單函數(shù)時，有f(x1)＝f(x2)?x1＝x2，則其逆否命題f(x)為單函數(shù)時，x1≠x2?f(x1)≠f(x2)為真命題，故③正確；當(dāng)函數(shù)在其定義域上單調(diào)時，一定有f(x1)＝f(x2)?x1＝x2，故④正確． (理)(2020，四川理，16)函數(shù)f(x)的定義域為A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2，則稱f(x)為單函數(shù)．例如，函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù)，下列命題： ①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)； ②若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)； ③若f：A→B為單函數(shù)，則對于任意b∈B，它至多有一個原象； ④函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f(x)一定是單函數(shù)． 其中的真命題是________．(寫出所有真命題的編號) [答案]?、冖? [解析]　當(dāng)f(x)＝x2時，不妨設(shè)f(x1)＝f(x2)＝4，有x1＝2，x2＝－2，此時x1≠x2，故①不正確；由f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2可知，當(dāng)x1≠x2時，f(x1)≠f(x2)，故②正確；若b∈B，b有兩個原象時，不妨設(shè)為a1，a2，可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，與題中條件矛盾，故③正確；函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性時在整定義域上不一定單調(diào)，因而f(x)不一定是單函數(shù)，故④不正確．故答案為②③. 三、解答題 5．(文)求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝＋lgcosx； (2)y＝； (3)y＝lg. [解析]　(1)由得 ∴函數(shù)的定義域為∪∪. (2)由log(x2－1)≥0，得0<x2－1≤1， ∴－≤x<－1或1<x≤. ∴函數(shù)的定義域為{x|－≤x<－1或1<x≤} (3)由1－>0，得x>1或x<0， ∴函數(shù)的定義域為{x|x>1或x<0}． (理)函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足下面兩個條件：①存在x1≠x2，使f(x1)≠f(x2)；②對任意的x、y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)． (1)求f(0)； (2)證明對任意的x、y∈R，f(x)>0恒成立． [解析]　(1)∵f(0＋0)＝f(0)·f(0)，∴f(0)＝0或f(0)＝1.若f(0)＝0，則存在x≠0，使對任意的x∈R有f(x＋0)＝f(x)·f(0)＝0，即f(x)＝0，與條件矛盾，∴f(0)＝1. (2)f(x)＝f＝2≥0，若存在x0使f(x0)＝0，則對任意的x∈R，f(x)＝f[(x－x0)＋x0]＝f(x0)·f(x－x0)＝0，與條件矛盾，∴f(x)>0恒成立． 6．已知二次函數(shù)f(x)有兩個零點0和－2，且f(x)最小值是－1，函數(shù)g(x)與f(x)的圖像關(guān)于原點對稱． (1)求f(x)和g(x)的解析式； (2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍． [解析]　(1)依題意，設(shè)f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0)． f(x)圖像的對稱軸是x＝－1，∴f(－1)＝－1， 即a－2a＝－1，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋2x. ∵函數(shù)g(x)的圖像與f(x)的圖像關(guān)于原點對稱， ∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x. (2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x. ①當(dāng)λ＝－1時，h(x)＝4x滿足在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù)； ②當(dāng)λ<－1時，h(x)圖像對稱軸是x＝， 則≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③當(dāng)λ>－1時，同理需≤－1， 又λ>－1，解得－1<λ≤0. 綜上，滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍是(－∞，0]． 7．等腰梯形ABCD的兩底分別為AD＝2a，BC＝a，∠BAD＝45°，作直線MN⊥AD交AD于M，交折線ABCD于N，記AM＝x，試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域． [解析]　作BH⊥AD，H為垂足，CG⊥AD，G為垂足， 依題意，則有AH＝，AG＝a. (1)當(dāng)M位于點H的左側(cè)時，N在AB上，由于AM＝x，∠BAD＝45°. ∴MN＝x. ∴y＝S△AMN＝x2　. (2)當(dāng)M位于H、G之間時，由于AM＝x， ∴MN＝，BN＝x－. ∴y＝S直角梯形AMNB＝ · ＝ax－　. (3)當(dāng)M位于點G的右側(cè)時， 由于AM＝x，MN＝MD＝2a－x. ∴y＝S梯形ABCD－S△MDN ＝ · (2a＋a)－(2a－x)2 ＝－(4a2－4ax＋x2) ＝－x2＋2ax－　. 綜上：y＝