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第39練 隨機(jī)變量及其分布列
[題型分析高考展望] 隨機(jī)變量及其分布列是高考的一個(gè)必考熱點(diǎn),主要包括離散型隨機(jī)變量及其分布列,期望與方差,二項(xiàng)分布及其應(yīng)用和正態(tài)分布.對(duì)本部分知識(shí)的考查,一是以實(shí)際生活為背景求解離散型隨機(jī)變量的分布列和期望;二是獨(dú)立事件概率的求解;三是考查二項(xiàng)分布.
常考題型精析
題型一 條件概率與相互獨(dú)立事件的概率
例1 (1)(2014課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( )
A.0.8 B.0.75
C.0.6 D.0.45
(2)(2014山東)乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分,如圖,甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A,B,乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C,D.某次測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來(lái)球后向乙回球.規(guī)定:回球一次,落點(diǎn)在C上記3分,在D上記1分,其他情況記0分.對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球,隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為,在D上的概率為;對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球,小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為,在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來(lái)球且落在A,B上各一次,小明的兩次回球互不影響.求:
①小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率;
②兩次回球結(jié)束后,小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.
點(diǎn)評(píng) (1)利用定義,分別求P(A)和P(AB),得P(B|A)=.這是通用的求條件概率的方法.
(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù),即n(AB),得P(B|A)=.
(3)相互獨(dú)立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查,這類問(wèn)題具有一個(gè)明顯的特征,那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值,解題時(shí)先要判斷事件的性質(zhì)(是互斥還是相互獨(dú)立),再選擇相應(yīng)的公式計(jì)算求解.
變式訓(xùn)練1 (1)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù),事件A=“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B=“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
(2)(2014陜西)在一塊耕地上種植一種作物,每季種植成本為1 000元,此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性,且互不影響,其具體情況如下表:
作物產(chǎn)量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
作物市場(chǎng)價(jià)格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
①設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤(rùn),求X的分布列;
②若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物,求這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率.
題型二 離散型隨機(jī)變量的期望和方差
例2 (2015山東)若n是一個(gè)三位正整數(shù),且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中,每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù),且只能抽取一次.得分規(guī)則如下:若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.
(1)寫(xiě)出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ;
(2)若甲參加活動(dòng),求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).
點(diǎn)評(píng) 離散型隨機(jī)變量的期望和方差的求解,一般分兩步:一是定型,即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型,還是一般類型,如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布等屬于特殊類型;二是定性,對(duì)于特殊類型的期望和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解,而對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量,應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計(jì)算,注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率間的對(duì)應(yīng).
變式訓(xùn)練2 (2014遼寧)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.
將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.
(1)求在未來(lái)連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率;
(2)用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).
題型三 二項(xiàng)分布問(wèn)題
例3 (2014湖北)計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過(guò)去50年的水文資料顯示,水庫(kù)年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過(guò)120的年份有35年,超過(guò)120的年份有5年,將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的頻率,并假設(shè)各年的入流量相互獨(dú)立.
(1)求未來(lái)4年中,至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率;
(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系:
年入流量X
40
120
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)
1
2
3
若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)年利潤(rùn)為5 000萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)?
點(diǎn)評(píng) 應(yīng)用公式Pn(k)=Cpk(1-p)n-k的三個(gè)條件:
(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p;(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn),而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的;(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.
變式訓(xùn)練3 甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率;
(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1,則勝利方得3分,對(duì)方得0分;若比賽結(jié)果為3∶2,則勝利方得2分,對(duì)方得1分.求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
高考題型精練
1.(2015成都模擬)甲射擊命中目標(biāo)的概率是,乙命中目標(biāo)的概率是,丙命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo),則目標(biāo)被擊中的概率為( )
A. B.
C. D.
2.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率相同,若事件A至少發(fā)生1次的概率是,則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為( )
A. B.
C. D.以上全不對(duì)
3.先后擲兩次骰子(骰子的六個(gè)面上分別有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)),落在水平桌面后,記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x,y,設(shè)事件A為“x+y為偶數(shù)”,事件B為“x,y中有偶數(shù)且x≠y”,則概率P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
4.小王參加了2015年春季招聘會(huì),分別向A,B兩個(gè)公司投遞個(gè)人簡(jiǎn)歷.假定小王得到A公司面試的概率為,得到B公司面試的概率為p,且兩個(gè)公司是否讓其面試是獨(dú)立的.記ξ為小王得到面試的公司個(gè)數(shù).若ξ=0時(shí)的概率P(ξ=0)=,則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=________.
5.某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下:在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中,選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問(wèn)題,即停止答題,晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8,且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立,則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率為_(kāi)_______.
6.(2014浙江)隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,則D(ξ)=________.
7.(2014安徽)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率;
(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).
8.(2015德州模擬)已知甲箱中只放有x個(gè)紅球與y個(gè)白球(x,y≥0,且x+y=6),乙箱中只放有2個(gè)紅球、1個(gè)白球與1個(gè)黑球(球除顏色外,無(wú)其他區(qū)別).若從甲箱中任取2個(gè)球,從乙箱中任取1個(gè)球.
(1)記取出的3個(gè)顏色全不相同的概率為P,求當(dāng)P取得最大值時(shí)x,y的值;
(2)當(dāng)x=2時(shí),求取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)ξ的期望E(ξ).
9.(2014福建)為回饋顧客,某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.
(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元,其余3個(gè)均為10元,求:
①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率;
②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望.
(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡,請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說(shuō)明理由.
10.(2015安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品,檢測(cè)后不放回,直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.
(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率;
(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元,設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位:元),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).
答案精析
第39練 隨機(jī)變量及其分布列
??碱}型精析
例1 A [已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下,要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率,可根據(jù)條件概率公式,得P==0.8.]
(2)解?、儆汚i為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球回球的得分為i分”(i=0,1,3),
則P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=.
記Bj為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球回球的得分為j分”(j=0,1,3),
則P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=.
記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”.
由題意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,
由事件的獨(dú)立性和互斥性,得
P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)
=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)
=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)
=+++=,
所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為.
②由題意,隨機(jī)變量ξ可能的取值為0,1,2,3,4,6,
由事件的獨(dú)立性和互斥性,得
P(ξ=0)=P(A0B0)==,
P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)
=+=,
P(ξ=2)=P(A1B1)==,
P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)
=+=,
P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)
=+=,
P(ξ=6)=P(A3B3)==.
可得隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
4
6
P
所以數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0+1+2+3+4+6=.
變式訓(xùn)練1 B [P(A)==,P(AB)==,
P(B|A)==.]
(2)解?、僭O(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”,B表示事件“作物市場(chǎng)價(jià)格為6 元/kg”,由題設(shè)知P(A)=0.5,P(B)=0.4,
∵利潤(rùn)=產(chǎn)量市場(chǎng)價(jià)格-成本.
∴X所有可能的取值為
50010-1 000=4 000,5006-1 000=2 000,
30010-1 000=2 000,3006-1 000=800.
P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)(1-0.4)=0.3,
P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()
=(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5,
P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2,
所以X的分布列為
X
4 000
2 000
800
P
0.3
0.5
0.2
②設(shè)Ci表示事件“第i季利潤(rùn)不少于2 000元”(i=1,2,3),由題意知C1,C2,C3相互獨(dú)立,由①知,
P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),
3季的利潤(rùn)均不少于2 000元的概率為
P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;
3季中有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為
P(1C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)
=30.820.2=0.384,
所以,這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為0.512+0.384=0.896.
例2 解 (1)個(gè)位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345;
(2)由題意知,全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為C=84,
隨機(jī)變量X的取值為:0,-1,1,
因此P(X=0)==,
P(X=-1)==,
P(X=1)=1--=,
所以X的分布列為
X
0
-1
1
P
則E(X)=0+(-1)+1=.
變式訓(xùn)練2 解 (1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”,A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”,B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個(gè)且另一天銷售量低于50個(gè)”.因此
P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,
P(A2)=0.00350=0.15,
P(B)=0.60.60.152=0.108.
(2)X可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為
P(X=0)=C(1-0.6)3=0.064,
P(X=1)=C0.6(1-0.6)2=0.288,
P(X=2)=C0.62(1-0.6)=0.432,
P(X=3)=C0.63=0.216,
則X的分布列為
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因?yàn)閄~B(3,0.6),所以期望E(X)=30.6=1.8,
方差D(X)=30.6(1-0.6)=0.72.
例3 解 (1)依題意,得p1=P(40120)==0.1.
由二項(xiàng)分布,得在未來(lái)4年中,至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為
p=C(1-p3)4+C(1-p3)3p3=()4+4()3()=0.947 7.
(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位:萬(wàn)元).
①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.
由于水庫(kù)年入流量總大于40,故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000.
②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.
依題意,當(dāng)40120時(shí),三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5 0003=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X>120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下:
Y
3 400
9 200
15 000
P
0.2
0.7
0.1
所以,E(Y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1
=8 620.
綜上,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).
變式訓(xùn)練3 解 (1)設(shè)“甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利”分別為事件A,B,C,則P(A)==,
P(B)=C2=,
P(C)=C22=.
(2)X的可能的取值為0,1,2,3.
則P(X=0)=P(A)+P(B)=,
P(X=1)=P(C)=,
P(X=2)=C22=,
P(X=3)=3+C2=.
∴X的分布列為
X
0
1
2
3
P
∴E(X)=0+1+2+3=.
高考題型精練
1.A [設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A,乙命中目標(biāo)為事件B,丙命中目標(biāo)為事件C,則目標(biāo)被擊中的事件可以表示為A∪B∪C,即擊中目標(biāo)表示事件A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生.
∴P()=P()P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
==.
故目標(biāo)被擊中的概率為1-P()=1-=.]
2.A [設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p,
∵事件A全不發(fā)生為事件A至少發(fā)生一次的對(duì)立事件,∴1-(1-p)4=,即(1-p)4=.
故1-p=或1-p=-(舍去),即p=.]
3.B [正面朝上的點(diǎn)數(shù)(x,y)的不同結(jié)果共有CC=36(種).事件A:“x+y為偶數(shù)”包含事件A1:“x,y都為偶數(shù)”與事件A2:“x,y都為奇數(shù)”兩個(gè)互斥事件,其中P(A1)==,P(A2)==,所以P(A)=P(A1)+P(A2)=+=.
事件B為“x,y中有偶數(shù)且x≠y”,所以事件AB為“x,y都為偶數(shù)且x≠y”,所以P(AB)==.
P(B|A)==.]
4.
解析 由題意,得P(ξ=2)=p,
P(ξ=1)=(1-p)+p=,
ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
p
由++p=1,得p=.
所以E(ξ)=0+1+2p=.
5.0.128
解析 由題設(shè),分兩類情況:①第1個(gè)正確,第2個(gè)錯(cuò)誤,第3、4個(gè)正確,由乘法公式得P1=0.80.20.80.8=0.102 4;
②第1、2個(gè)錯(cuò)誤,第3、4個(gè)正確,
此時(shí)概率P2=0.20.20.80.8=0.025 6.
由互斥事件概率公式得
P=P1+P2=0.102 4+0.025 6=0.128.
6.
解析 設(shè)P(ξ=1)=a,P(ξ=2)=b,
則解得
所以D(ξ)=+0+1=.
7.解 用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”,Ak表示“第k局甲獲勝”,Bk表示“第k局乙獲勝”.
則P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.
(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)
=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)
=()2+()2+()2=.
(2)X的可能取值為2,3,4,5.
P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)
=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,
P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)
=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,
P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)
=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,
P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.
故X的分布列為
X
2
3
4
5
P
E(X)=2+3+4+5=.
8.解 (1)由題意知P==≤2=,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立,
所以,當(dāng)P取得最大值時(shí),x=y(tǒng)=3.
(2)當(dāng)x=2時(shí),即甲箱中有2個(gè)紅球與4個(gè)白球,所以ξ的所有可能取值為0,1,2,3.
則P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
所以,紅球個(gè)數(shù)ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
于是E(ξ)=0+1+2+3=.
9.解 (1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X.
①依題意,得P(X=60)==,
即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為.
②依題意,得X的所有可能取值為20,60.
P(X=60)=,P(x=20)==,
即X的分布列為
X
20
60
P
所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為E(X)=20+60=40(元).
(2)根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算,每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元.所以,先尋找期望為60元的可能方案.對(duì)于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最小值,所以期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.
對(duì)于面值由20元和40元組成的情況,同理,可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.
以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析:
對(duì)于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1,則X1的分布列為
X1
20
60
100
P
X1的期望為E(X1)=20+60+100=60,
X1的方差為D(X1)=(20-60)2+(60-60)2+(100-60)2=.
對(duì)于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2,則X2的分布列為
X2
40
60
80
P
X2的期望為E(X2)=40+60+80=60,
X2的方差為D(X2)=(40-60)2+(60-60)2+(80-60)2=.
由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求,但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小,所以應(yīng)該選擇方案2.
10.解 (1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A.
P(A)==.
(2)X的可能取值為200,300,400.
P(X=200)==,
P(X=300)==,
P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)
=1--=.
故X的分布列為
X
200
300
400
P
E(X)=200+300+400=350.
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