高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入本章概覽素材 蘇教版選修1-2（通用）

第3章　數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 本章概覽 內(nèi)容提要 本章的主要內(nèi)容是復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算以及數(shù)系的擴(kuò)充等. 1.數(shù)集的擴(kuò)充過程是 自然數(shù)集（N）→整數(shù)集（Z）→有理數(shù)集（Q）→實(shí)數(shù)集（R）→復(fù)數(shù)集（C）. 數(shù)集的每一次擴(kuò)充，都使數(shù)集本身能適合更多種代數(shù)運(yùn)算. 2.形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a、b∈R，i2=-1.當(dāng)b=0時(shí)為實(shí)數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)為虛數(shù)，當(dāng)b≠0且a=0時(shí)為純虛數(shù). 全體復(fù)數(shù)所組成的集合稱為復(fù)數(shù)集，記為C，即C={z|z=a+bi,a,b∈R}. 3.任一復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R）和復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)Z(a,b)對應(yīng)，且是一一對應(yīng)；任一復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R)與它對應(yīng)的點(diǎn)所在平面內(nèi)的一個向量對應(yīng)（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），且也是一一對應(yīng). 4.引進(jìn)i2=-1后，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算就可按實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則同樣地進(jìn)行，并且也滿足關(guān)于加法、減法的運(yùn)算律.復(fù)數(shù)的加、減、乘、除（除數(shù)不為0）運(yùn)算的結(jié)果仍是復(fù)數(shù). 5.本章中的常用結(jié)論 （1）共軛復(fù)數(shù)的常用性質(zhì)： 設(shè)z=a+bi（a、b∈R），則 ①z+=2a;②z-=2bi（純虛數(shù)或零）；③（）=z. （2）共軛復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算： ①(可推廣到任意有限個復(fù)數(shù)相加的情形)；②；③（可推廣到任意有限個復(fù)數(shù)相乘的情形）；④；⑤（z2≠0）. （3）共軛復(fù)數(shù)與模的關(guān)系： z=|z|2=||2. (4)判斷一個復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，可以從下面幾個方面去思考： ①實(shí)部為0且虛部不為0，則z為純虛數(shù)；②z+=0且z≠0,則z為純虛數(shù)；③若z為虛數(shù)，則z-為純虛數(shù)；④若z≠0且|z-a|=|z+a|(a∈R+)，則z為純虛數(shù)；⑤若z為純虛數(shù)，則可得z=ki（k∈R且k≠0）. （5）判斷一個復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，可從如下幾個方面思考： ①z的虛部為0，則z∈R;②z=z∈R;③z+∈R;④z=|z|2∈R;⑤z1、z2為純虛數(shù)，則z1·z2∈R. 學(xué)法指導(dǎo) 我們把一個數(shù)集連同相應(yīng)的運(yùn)算及結(jié)構(gòu)叫作一個數(shù)系.本章內(nèi)容——復(fù)數(shù)的引入實(shí)現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充. 數(shù)系擴(kuò)充的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的客觀需求和背景，復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充.在本模塊中，將在問題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充的過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識，體會人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用. 在有關(guān)復(fù)數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，切實(shí)注意： 1.復(fù)數(shù)的定義； 2.復(fù)數(shù)相等的概念及其充要條件； 3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.