高考數學專題講座 第1講 函數的性質及應用

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1、高考數學專題講座 第一講 函數的性質及應用 一、考綱要求 1．理解掌握函數的單調性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定方法． 2．會根據圖象探討函數的性質,利用性質靈活解題． 3．函數的單調性常用來判斷、證明、比較大小、解不等式,求單調區(qū)間及有關參數的范圍，奇偶性則經常擴展到圖象的對稱性，且與單調性、周期性聯(lián)系在一起，解決較復雜的問題． 二、基礎過關 1.函數的值域是( C )． A．[ B．， C．， D. ， 2．已知則的圖象是 （A ) x A B

2、 C D 3．設函數若0，且恒成立，則實數的取值范圍是（ C ）． A． B． C． D． 4．已知函數滿足：對任意實數，當時，總有，那么實數的取值范圍是（ D ）． A．（0，3） B．（1，3） C．（0，2） D．（1，2） 5．如果函數滿足：對于任意的實數都有，且則 ．- 6．已知函數，則的值等于. 三、典型例題 例1 已知函數的圖象與函數的圖象關于點A(0,1)對稱． （1）求的解析式； （2）若,且在區(qū)

3、間(0,2)上為減函數,求實數的取值范圍． 解:(1) 設的圖象上任一點坐標為(),點()關于點A(0,1)對稱點()在的圖象上. ∴ 即 故 (2) ∵ ∴ ∵ 在(0,2)上遞減, ∴ 在(0,2)上, ∴ 解之得 故 的取值范圍是 例2 設函數定義在上,對于任意實數總有，且當時，． （1）證明：，且時，； （2）證明：函數在R上單調遞減； （3）設，，R， 若，確定的取值范圍． 證(1) 令 ,則 對于任意實數恒成立.

4、 ∴ 設x<0,則—x>0,由f[x+(-x)]=f(x)·f(-x)=1 得 f(x)= ∵ 當x<0,00,于是f(x)=>1. 證(2) 設x0 f(x)=f[(x-x)+x]=f(x-x)f(x) ∵ x-x>0 0f(x) 故 函數在R上是減函數. 解(3)∵ f(x)f(y)=f(x+y)>1, f(ax-y+2)=1=f(0) ∴

5、 x+y<1, ax-y+2=0 故 A∩B=￠，則圓心（0，0）到直線ax-y+2=0的距離d=1 解之得 . 例3 設和是定義在上的兩個函數，是R上任意兩個不等的實數． （1）設|≥恒成立且是奇函數，判斷函數的奇偶性，并加以證明． （2）設≥恒成立，且是以為周期的周期函數，求證：也是周期函數． （3）設|恒成立,且是上的增函數，能否確定在R上也是增函數？并說明理由. 證(1) 令x=-x,x=x ∵f(x)為奇函數∴f(x)+f(x)=f(-x)+f(x)=0 由已知|f(x)+f(x)|≥|g(x)+g(x)|,得

6、 |g(x)+g(x)|=|g(-x)+g(x)|≤0 即g(-x)=-g(x) 所以 g(x)為奇函數 (2)令x=x+T,x=x (T≠0)∵f(x)為周期函數且T為一個周期 則f(x)-f(x)=f(x+T)-f(x)=f(x)-f(x)=0 ∴|g(x)-g(x)|=|g(x+T)-g(x)|≤0 即 g(x+T)=g(x) 所以g(x)也是周期 為T的周期函數. (3)能確定h(x)=f(x)+g(x)在R上是增函數.證明如下: 設x|g(x)-g

7、(x)| ∴f(x)-f(x)>|g(x)-g(x)|≥g(x)-g(x) ∵h(x)-h(x)=[f(x)+g(x)]-[f(x)+g(x)|=[f(x)-f(x)]-[g(x)-g(x)|>0 ∴h(x)

8、 ∴a=3, 方程解為x=2. 當a=3時,f(x)=x-2x+3x ∴f(2)= ∴l(xiāng)的方程為:y-=-(x-2) 即 3x+3y-8=0 （2）設過曲線上任一點P(x,y)處的切線斜率為k（由題意知k存在） 則k=f(x)=x-4x+3=(x-2)-1≥-1 ∴M={或} 當0≤<時, ∴ 當時, ∴ ∴ 四、 熱身演練 1． 函數在區(qū)間上是增函數，那么表示的區(qū)間是( B )． A． B． C． D． 2．已知定義域為的函數是偶函數，并且在上是增函數，若

9、，則的解集是( D )． A ．(-3,0) B． C． D． 3．設是以3為周期的奇函數，且，則( D )． A． B． C． D． 4．函數的圖象向左平移個單位后,所得到的圖形對應的函數是( B )． A．偶函數,但不是奇函數 B．奇函數,但不是偶函數 C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數也不是偶函數 5．設，則的反函數的解析式是( B )． A． B． C．

10、 D． 6．已知偶函數的圖象與軸有五個公共點，那么方程的所有實根之和等于 0 ． 7．設是定義在R上的等函數，且，又當－3≤≤－2時，， 則的值是. 8．已知函數滿足（R），且在時為增函數，則、 、按從大到小的順序排列出來的是 9．設是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線對稱，對任意，， 都有且． （1）求及； （2）證明是周期函數． 解：（1）∵對x,x∈[0,],都有f(x+x)=f(x)·f(x) ∴f(x)=f()f()≥0,x∈[0,1] ∵f(1)=f(=f()·f()=[f()]=a ∴f()=a

11、 ∵f()=f()=f()·f()=[f()]=a ∴f()=a （2）∵y=f(x)關于直線x=1對稱 ∴f(x)=f(1+1-x) 即f(x)=f(2-x),x∈R. ∵f(x)是偶函數 即 f(x+2)=f(x),x∈R ∴f(-x)=f(2-x) 即f(x+2)=f(x),x∈R 所以f(x)是R上的周期函數,且2為一個周期. 10．已知函數． （1）求的解析式及定義域； （2）判定的單調性，并說明理由.； （3）設的反函數是，求證：≥3，N時， 成立． 解：(1)令t=1-x則x=1-t ∴f(t)=log 由 得-1

12、, 需證:2>2n+1(n≥3) ∵2=(1+1)=≥1+n+…+n+1≥2n+1 ∴當n≥3時,f(n)>成立 11．已知是定義在的奇函數，且，若，，，且，． （1）用定義證明：在[-1,1]上是增系數； （2）解不等式； （3）若≤對所有，恒成立，求實數的范圍． 證：（1）任取-1≤x≤x≤1,，由于f(x)為奇函數，則 f(x)-f

13、(x)=f(x)+f(-x)= ∵-1≤x0, 進而f(x)-f(x)<0 即 f(x)

14、 則對a∈[-1,1]有g(a)≥0 于是 解得t≤-2或t≥2或t=0 故t的范圍為 . 12．已知函數，當，R且時，總有． （1）求值； （2）設數列滿足，求； （3）若對任意正整數， 恒成立，求的范圍． 解：（1）不妨設x=0,x=1 則f(0)+f(1)= 即 m+m-6=0 ∴m=2,m=-3（舍去） 再驗證m=2時, 由x+x=1得f(x)+f(x)= （2） ∴ （3）由題設 即 ∴ (＊) 若則當n為偶數時,>0 從而 即與矛盾！ 若 則(＊)式顯然不成立. ∴必有 于是有 即 而 ∵n∈N且n>1 ∴n+1>2 即1<1+< ∴ .