高考數(shù)學(xué)專題講座 第1講 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

高考數(shù)學(xué)專題講座 第一講 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 一、考綱要求 1．理解掌握函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定方法． 2．會根據(jù)圖象探討函數(shù)的性質(zhì),利用性質(zhì)靈活解題． 3．函數(shù)的單調(diào)性常用來判斷、證明、比較大小、解不等式,求單調(diào)區(qū)間及有關(guān)參數(shù)的范圍，奇偶性則經(jīng)常擴展到圖象的對稱性，且與單調(diào)性、周期性聯(lián)系在一起，解決較復(fù)雜的問題． 二、基礎(chǔ)過關(guān) 1.函數(shù)的值域是( C )． A．[ B．， C．， D. ， 2．已知則的圖象是 （A ) x A B C D 3．設(shè)函數(shù)若0，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ C ）． A． B． C． D． 4．已知函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，當(dāng)時，總有，那么實數(shù)的取值范圍是（ D ）． A．（0，3） B．（1，3） C．（0，2） D．（1，2） 5．如果函數(shù)滿足：對于任意的實數(shù)都有，且則 ．- 6．已知函數(shù)，則的值等于. 三、典型例題 例1 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點A(0,1)對稱． （1）求的解析式； （2）若,且在區(qū)間(0,2)上為減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍． 解:(1) 設(shè)的圖象上任一點坐標(biāo)為(),點()關(guān)于點A(0,1)對稱點()在的圖象上. ∴ 即 故 (2) ∵ ∴ ∵ 在(0,2)上遞減, ∴ 在(0,2)上, ∴ 解之得 故 的取值范圍是 例2 設(shè)函數(shù)定義在上,對于任意實數(shù)總有，且當(dāng)時，． （1）證明：，且時，； （2）證明：函數(shù)在R上單調(diào)遞減； （3）設(shè)，，R， 若，確定的取值范圍． 證(1) 令 ,則 對于任意實數(shù)恒成立. ∴ 設(shè)x<0,則—x>0,由f[x+(-x)]=f(x)·f(-x)=1 得 f(x)= ∵ 當(dāng)x<0,0<f(x)<1時,∴ ∴ x<0時,-x>0,于是f(x)=>1. 證(2) 設(shè)x<x,x-x>0 f(x)=f[(x-x)+x]=f(x-x)f(x) ∵ x-x>0 0<f(x-x)<1 ∴ f(x-x)f(x)<f(x) 即 f(x)>f(x) 故 函數(shù)在R上是減函數(shù). 解(3)∵ f(x)f(y)=f(x+y)>1, f(ax-y+2)=1=f(0) ∴ x+y<1, ax-y+2=0 故 A∩B=￠，則圓心（0，0）到直線ax-y+2=0的距離d=1 解之得 . 例3 設(shè)和是定義在上的兩個函數(shù)，是R上任意兩個不等的實數(shù)． （1）設(shè)|≥恒成立且是奇函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明． （2）設(shè)≥恒成立，且是以為周期的周期函數(shù)，求證：也是周期函數(shù)． （3）設(shè)|恒成立,且是上的增函數(shù)，能否確定在R上也是增函數(shù)？并說明理由. 證(1) 令x=-x,x=x ∵f(x)為奇函數(shù)∴f(x)+f(x)=f(-x)+f(x)=0 由已知|f(x)+f(x)|≥|g(x)+g(x)|,得 |g(x)+g(x)|=|g(-x)+g(x)|≤0 即g(-x)=-g(x) 所以 g(x)為奇函數(shù) (2)令x=x+T,x=x (T≠0)∵f(x)為周期函數(shù)且T為一個周期 則f(x)-f(x)=f(x+T)-f(x)=f(x)-f(x)=0 ∴|g(x)-g(x)|=|g(x+T)-g(x)|≤0 即 g(x+T)=g(x) 所以g(x)也是周期 為T的周期函數(shù). (3)能確定h(x)=f(x)+g(x)在R上是增函數(shù).證明如下: 設(shè)x<x,∵f(x)在R上是增函數(shù) ∴f(x)<f(x) 又 |f(x)-f(x)|>|g(x)-g(x)| ∴f(x)-f(x)>|g(x)-g(x)|≥g(x)-g(x) ∵h(x)-h(x)=[f(x)+g(x)]-[f(x)+g(x)|=[f(x)-f(x)]-[g(x)-g(x)|>0 ∴h(x)<h(x) 所以h(x)在R上是增函數(shù). 例4 已知函數(shù)R，R），在曲線的所有切線中，有且僅有一條切線與直線平行，設(shè)曲線的所有切線的傾斜角組成的集合為，與切線垂直的直線的傾斜角為組成的集合為． （1）求的值及切線的方程； （2）求集合與集合． 解：（1）f(x)=x-4x+a 由已知可得，方程x-4x+a=-1有兩個相等實根， ∴16-4(a+1)=0 ∴a=3, 方程解為x=2. 當(dāng)a=3時,f(x)=x-2x+3x ∴f(2)= ∴l(xiāng)的方程為:y-=-(x-2) 即 3x+3y-8=0 （2）設(shè)過曲線上任一點P(x,y)處的切線斜率為k（由題意知k存在） 則k=f(x)=x-4x+3=(x-2)-1≥-1 ∴M={或} 當(dāng)0≤<時, ∴ 當(dāng)時, ∴ ∴ 四、 熱身演練 1． 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，那么表示的區(qū)間是( B )． A． B． C． D． 2．已知定義域為的函數(shù)是偶函數(shù)，并且在上是增函數(shù)，若 ，則的解集是( D )． A ．(-3,0) B． C． D． 3．設(shè)是以3為周期的奇函數(shù)，且，則( D )． A． B． C． D． 4．函數(shù)的圖象向左平移個單位后,所得到的圖形對應(yīng)的函數(shù)是( B )． A．偶函數(shù),但不是奇函數(shù) B．奇函數(shù),但不是偶函數(shù) C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 5．設(shè)，則的反函數(shù)的解析式是( B )． A． B． C． D． 6．已知偶函數(shù)的圖象與軸有五個公共點，那么方程的所有實根之和等于 0 ． 7．設(shè)是定義在R上的等函數(shù)，且，又當(dāng)－3≤≤－2時，， 則的值是. 8．已知函數(shù)滿足（R），且在時為增函數(shù)，則、 、按從大到小的順序排列出來的是 9．設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，對任意，， 都有且． （1）求及； （2）證明是周期函數(shù)． 解：（1）∵對x,x∈[0,],都有f(x+x)=f(x)·f(x) ∴f(x)=f()f()≥0,x∈[0,1] ∵f(1)=f(=f()·f()=[f()]=a ∴f()=a ∵f()=f()=f()·f()=[f()]=a ∴f()=a （2）∵y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱 ∴f(x)=f(1+1-x) 即f(x)=f(2-x),x∈R. ∵f(x)是偶函數(shù) 即 f(x+2)=f(x),x∈R ∴f(-x)=f(2-x) 即f(x+2)=f(x),x∈R 所以f(x)是R上的周期函數(shù),且2為一個周期. 10．已知函數(shù)． （1）求的解析式及定義域； （2）判定的單調(diào)性，并說明理由.； （3）設(shè)的反函數(shù)是，求證：≥3，N時， 成立． 解：(1)令t=1-x則x=1-t ∴f(t)=log 由 得-1<t<1 ∴f(x)=log (-1<x<1) （2）f(x)=log在（-1，1）上是增函數(shù).(定義證明) (3)y=f(x)=log的反函數(shù)為f(x)= ∴f(n)==1- 又 欲證: f(n)>, 需證:2>2n+1(n≥3) ∵2=(1+1)=≥1+n+…+n+1≥2n+1 ∴當(dāng)n≥3時,f(n)>成立 11．已知是定義在的奇函數(shù)，且，若，，，且，． （1）用定義證明：在[-1,1]上是增系數(shù)； （2）解不等式； （3）若≤對所有，恒成立，求實數(shù)的范圍． 證：（1）任取-1≤x≤x≤1,，由于f(x)為奇函數(shù)，則 f(x)-f(x)=f(x)+f(-x)= ∵-1≤x<x≤1 ∴x+(-x)=x-x<0 ∴>0, 進而f(x)-f(x)<0 即 f(x)<f(x) 故f(x)在[-1,1]上為增函數(shù). （2）∵f(x)在[-1,1]上為增函數(shù) ∴ 解之得 故不等式的解集為. （3）由（1）f(x)在[-1,1]上是增函數(shù)，且f(1)=1 故對x∈[-1,1],，恒有f(x)≤1 欲使f(x)≤t-2at+1對所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立， 只要t-2at+1≥1成立. 即t-2at≥0 令g(a)=t-2at, 則對a∈[-1,1]有g(shù)(a)≥0 于是 解得t≤-2或t≥2或t=0 故t的范圍為 . 12．已知函數(shù)，當(dāng)，R且時，總有． （1）求值； （2）設(shè)數(shù)列滿足，求； （3）若對任意正整數(shù)， 恒成立，求的范圍． 解：（1）不妨設(shè)x=0,x=1 則f(0)+f(1)= 即 m+m-6=0 ∴m=2,m=-3（舍去） 再驗證m=2時, 由x+x=1得f(x)+f(x)= （2） ∴ （3）由題設(shè) 即 ∴ (＊) 若則當(dāng)n為偶數(shù)時,>0 從而 即與矛盾！ 若 則(＊)式顯然不成立. ∴必有 于是有 即 而 ∵n∈N且n>1 ∴n+1>2 即1<1+< ∴ .