（新課程）2020高中數(shù)學(xué) 《第三章 三角恒等變換》章末質(zhì)量評(píng)估 蘇教版必修4

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1、章末質(zhì)量評(píng)估(三) (時(shí)間：120分鐘　滿(mǎn)分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．cos2 75°＋cos2 15°＋cos 75°cos 15°的值為_(kāi)_______． 解析　原式＝sin2 15°＋cos2 15°＋sin 15°·cos 15°＝1＋sin 30°＝. 答案　 2．sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值為_(kāi)_______． 解析　原式＝sin 45°·cos 15°－cos 45°·sin 15°＝sin(45°－15°)＝. 答案　 3．(2020·高考全國(guó)卷Ⅱ)已知sin α＝，則c

2、os(π－2α)＝________. 解析　cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－. 答案?。? 4．已知tan＝，tan＝，則tan(α＋β)的值為_(kāi)_______． 解析　tan ＝＝＝1. 答案　1 5．已知f(cos x)＝cos 2x，則f(sin 15°)＝________. 解析　f(cos x)＝2cos2 x－1 ∴f(sin 15°)＝2sin2 15－1＝－cos 30°＝－ 答案　－ 6．若tan α＝2，則的值是________． 解析　＝＝＝. 答案　 7．函數(shù)y＝sin x＋cos x，x∈的最大值為_(kāi)____

3、___． 解析　y＝sin x＋cos x＝2sin ∵x∈ ∴x＋∈ ∴當(dāng)x＋＝，即x＝時(shí)，ymax＝2. 答案　2 8．若cos α＝－，α是第三象限角，則＝________. 解析?。剑剑? ∵α是第三象限角，∴sin α＝－，∴原式＝－. 答案?。? 9．已知sin α＝，且sin α－cos α＞1，則sin 2α＝________. 解析　sin α－cos α＞1 ∴1－2sin α·cos α＞1 ∴sin α·cos α＜0 sin α＝ ∴cos α＝－ ∴sin 2α＝2××＝－ 答案?。? 10．△ABC中，tan A＝－2，tan B＝，

4、則C＝________. 解析　∵tan A＝－2，tan B＝ ∴tan(A＋B)＝＝－1 ∵tan C＝－tan(A＋B)＝1而C∈(0，π)，∴C＝. 答案　 11．函數(shù)y＝的最大值與最小值分別為_(kāi)_______． 解析　設(shè)t＝sin x＋cos x， 則t＝sin(－≤t≤)，sin xcos x＝， 所以y＝(t－1)(t≠－1)， 所以ymin＝－，ymax＝. 答案　、 12．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos－＝，則cos＝________. 解析　0＜α＜，∴＜α＋＜π ∵cos＝ ∴sin＝， ∵－＜β＜0 ∴－∈ ∴sin＝ ∴c

5、os＝cos ＝cos·cos＋sin·sin ＝×＋×＝. 答案　 13．已知f(α)＝，α∈，則f(α)取得最大值時(shí)α的值是________． 解析　f(α)＝＝ ＝＝＝sin 2α， 當(dāng)2α＝，即α＝時(shí)，函數(shù)f(α)取得最大值． 答案　 14．已知f(x)＝sin－cos，則f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＋f(2 011)＝________. 解析　∵f(x)＝sin－cos ＝2sin＝2sinx， ∴f(x)的周期T＝＝8. 又f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＋f(2 011) ＝251×0＋f

6、(1)＋f(2)＋f(3) ＝2sin＋2sin＋2sin ＝＋2＋＝2＋2. 答案　2＋2 二、解答題(本大題共6小題，共90分) 15．(本小題滿(mǎn)分14分)(1)化簡(jiǎn) ，(0＜θ＜π)． (2)求值－sin 10°. 解　(1)原式＝ ＝＝ 因?yàn)?＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos＞0，所以原式＝－cos θ. (2)原式＝－sin 10° ＝－sin 10°· ＝－sin 10°· ＝－2cos 10°＝ ＝ ＝ ＝＝. 16．(本小題滿(mǎn)分14分)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos－cos. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求g(x)＝f(－2－x)；

7、當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，求函數(shù)y＝g(x)的最大值． 解　(1)f(x)＝cosxcos＋sinxsin－cos＝sinx－cosx＝sin. 故f(x)的最小正周期為T(mén)＝＝8. (2)由題設(shè)條件得g(x)＝f(－2－x)＝ sin＝sin ＝－cos＝－cos. 當(dāng)0≤x≤2時(shí)，≤x＋≤， 設(shè)t＝x＋， 則y＝－cos t，且t∈[0，π]時(shí)是增函數(shù)， 因此y＝g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為 g(x)max＝－cos＝. 17．(本小題滿(mǎn)分14分)已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且a⊥b. (1)求t

8、an α的值； (2)求cos的值． 解　(1)∵a⊥b，∴a·b＝0. 而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0. 解之，得tan α＝－，或tan α＝. ∵α∈，tan α＜0，故tan α＝(舍去)． ∴tan α＝－. (2)∵α∈， ∴∈. 由tan α＝－， 求得tan＝－或tan＝2(舍去)． ∴sin＝，cos＝－， cos＝coscos－sinsin ＝－×－×＝－. 18

9、．(本小題滿(mǎn)分16分) 已知函數(shù)f(x)＝2sin2－cos 2x. (1)求f(x)的周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若關(guān)于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　(1)f(x)＝2sin2－cos 2x ＝1－cos－cos 2x ＝1＋sin 2x－cos 2x ＝2sin＋1， 周期T＝π；2kπ－≤2x－≤2kπ＋， 解得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)x∈，所以2x－∈， sin∈， 所以f(x)的值域?yàn)閇2,3]． 而f(x)＝m＋2， 所以m＋2∈[2,3]， 即m∈[0,1]． 19．(本小題滿(mǎn)分16分)已知函數(shù)

10、f(x)＝2sin xcos x＋2cos2 x－1(x∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值． 解　(1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2 x－1，得 f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2 x－1) ＝sin 2x＋cos 2x＝2sin， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π. 因?yàn)閒(x)＝2sin在區(qū)間上為增函數(shù)， 在區(qū)間上為減函數(shù)， 又f(0)＝1，f＝2，f＝－1， 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為2， 最小值為－1. (2)由(1)可知f(x0)＝

11、2sin. 因?yàn)閒(x0)＝，所以sin＝. 由x0∈， 得2x0＋∈， 從而cos＝－＝－. 所以cos 2x0＝cos ＝coscos＋sinsin＝. 20．(本小題滿(mǎn)分16分)已知函數(shù)f(t)＝ ，g(x)＝cos x·f(sin x)＋sin x·f(cos x)，x∈. (1)將函數(shù)g(x)化簡(jiǎn)成Asin(ωx＋φ)＋B，(A＞0，ω＞0)，φ∈[0,2π)的形式． (2)求函數(shù)g(x)的值域． 解　(1)g(x)＝cos x·＋sin x· ＝cos x·＋sin x· ＝cos x·＋sin x·. 因?yàn)閤∈， 所以|cos x|＝－cos x，|sin x|＝－sin x. 所以g(x)＝cos x·＋sin x· ＝sin x＋cos x－2＝sin－2. (2)由π＜x≤， 得＜x＋≤. 令u＝x＋，則＜u≤. 因?yàn)閟in u在上為減函數(shù)， 在上為增函數(shù)，又sin＜sin， 所以sin≤sin＜sin(當(dāng)x∈時(shí) )， 即－1≤sin＜－， 所以－－2≤sin－2＜－3. 故g(x)的值域?yàn)閇－－2，－3)．