（新課程）2020高中數(shù)學(xué) 3.3知能優(yōu)化訓(xùn)練 蘇教版必修4

（新課程）2020高中數(shù)學(xué) 3.3知能優(yōu)化訓(xùn)練 1．已知cosθ＝－，＜θ＜3π，那么sin＝__________. 解析：∵＜θ＜3π，∴＜＜.∴sin＜0. 由cosθ＝1－2sin2，得sin＝－ ＝－ ＝－. 答案：－ 2．函數(shù)y＝的最小正周期是__________． 解析：由萬能公式，得y＝cos4x，∴T＝＝＝. 答案： 3．已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于__________． 解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)·(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a. 答案：－a 4．若θ是第二象限的角，且cos＜0，則的值是__________． 解析：θ是第二象限的角，且cos＜0， ∴2kπ＋π＜＜2kπ＋π，k∈Z， ＝ ＝＝－1. 答案：－1 一、填空題 1．已知sinα＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，則tanβ的值是__________． 解析：∵sinα＝，α是第二象限角，∴cosα＝－＝－ ＝－，∴tanα＝＝×＝－.又tan(α＋β)＝1，∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7. 答案：7 2．函數(shù)y＝的最小正周期是________． 解析：y＝＝tan， ∴T＝＝. 答案： 3．y＝cosx＋cos的最大值是__________． 解析：y＝2coscos＝cos， ∴ymax＝. 答案： 4．y＝sincosx的最小值是__________． 解析：y＝[sin(2x－)＋sin(－)]＝sin(2x－)－，∴ymin＝－－＝－. 答案：－ 5．設(shè)sinα＝，tan(π－β)＝，則tan(α－2β)的值等于__________． 解析：∵sinα＝，∴cosα＝－，tanα＝－. ∵tan(π－β)＝，∴tanβ＝－，tan2β＝－， ∴tan(α－2β)＝＝＝. 答案： 6．若tanθ＝3，則sin2θ－cos2θ的值是__________． 解析：因?yàn)閠anθ＝3，所以sin2θ＝＝＝，cos2θ＝＝＝－，所以sin2θ－cos2θ＝－＝. 答案： 7．已知3tan＝tan，則sin2α＝__________. 解析：因?yàn)?tan＝tan， 所以＝， 即3sincos＝sincos， 利用積化和差公式可得＝，整理得sin2α＝1. 答案：1 8．已知cos＝，則cos－sin2的值是__________． 解析：∵cos＝cos＝－cos ＝－.而sin2＝1－cos2＝1－＝.∴原式＝－－＝－. 答案：－ 二、解答題 9．已知4sin2x－6sinx－cos2x＋3cosx＝0，求的值． 解：∵4sin2x－6sinx－cos2x＋3cosx＝0， ∴(2sinx－cosx)[(2sinx＋cosx)－3]＝0. ∵2sinx＋cosx－3≠0， ∴2sinx－cosx＝0，∴tanx＝， ∴tan2x＝＝，sin2x＝＝， cos2x＝＝， ∴＝＝. 10．已知sinφcosφ＝，且＜φ＜，求sinφ，cosφ的值． 解：法一：∵sinφcosφ＝，∴sin2φ＝. 又∵＜φ＜， ∴＜2φ＜π，∴cos2φ＜0， ∴cos2φ＝－＝－ ＝－. ∵sinφ＞0，cosφ＞0， ∴sinφ＝ ＝ ＝， cosφ＝ ＝ ＝. 法二：(sinφ＋cosφ)2＝1＋2sinφcosφ＝1＋＝. ∵＜φ＜，∴sinφ＞0，cosφ＞0， ∴sinφ＋cosφ＝.① ∵＜φ＜，∴sinφ＞cosφ＞0， ∴sinφ－cosφ＞0. 又∵(sinφ－cosφ)2＝1－2sinφcosφ＝1－＝， ∴sinφ－cosφ＝.② 解①②組成的方程組，得sinφ＝，cosφ＝. 11．求證：＝sin2α. 證明：左邊＝＝ ＝＝ ＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右邊． ∴原式成立．