北師大新版八年級上冊《第1章勾股定理》單元測試卷3含答案解析

北師大新版八年級數(shù)學上冊《第 1章 勾股定理》單元測試卷 2 一、選擇題（每小題 3分，共30分） 1.如圖，陰影部分是一個矩形，它的面積是 （ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 1,則正方形 ACEF的面積為（ 3 .三角形的三邊長為 a, b, c,且滿足（a+b） 2=c2+2ab,則這個三角形是（） A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形 3： 4,則較短直角邊的長為（ 4 .已知直角三角形的斜邊長為10,兩直角邊的比為 A. 3 B. 6 C. 8 D. 5 5. "BC中，加，出，工的對邊分別記為 a, b, c,由下列條件不能判定 小BC為直角三 角形的是（） A. a+BZCB. A 出 ©1： 2： 3 C. a2=c2 - b2 d . a： b： c=3: 4： 6 6 .若直角三角形的三邊長為6, 8, m,則m2的值為（） A. 10 B. 100 c. 28 D. 100 或 28 7 .在RtABC中，ZC=90°, AC=9 , BC=12 ,則點C到斜邊 AB的距離是（） 3&門2 A.B- -T C- 9D. 6 5b 8 .如圖，在 Rt^ABC中，ZB=90 °,以AC為直徑的圓恰好過點 B, AB=8 , BC=6 ,則陰影 部分的面積是（） C. 25 l 24 D. 25 l 48 A. IOOtt- 24B. IOOtt— 48 9 .如圖所示為一種 羊頭”形圖案，其作法是：從正方形 ① 開始，以它的一邊為斜邊，向外 作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②，…，依此類推, 若正方形①的面積為64,則正方形⑤的面積為（） A. 2 B, 4 C, 8 D. 16 10 .勾股定理是幾何中的一個重要定理.在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有 若勾三，股四， 則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關系 驗證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的， 也AC=90 °, AB=3 , AC=4，點D, E, F, G, H, I者B在矩形KLMJ的邊上，則矩形 KLMJ的面積為（） A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 二、填空題（每小題 4分，共20分） 11 .如圖字母B所代表的正方形的面積是: 12 .等腰 ABC的腰長AB為10cm,底邊BC為16cm,則底邊上的高為 13 .一艘輪船以16km/h的速度離開港口向東北方向航行，另一艘輪船同時離開港口以 30km/h 的速度向東南方向航行，它們離開港口半小時后相距 km. 14 .如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5,高是12,上底面中心有一個小圓孔，則一條 到達底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）范圍是 15 .如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm,高為5cm.若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4 個側面爬行一圈到達 Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為cm. 三、解答題（共50分） 16.如圖所示， 出=8AF=90 °, BO=3cm , AB=4cm , AF=12cm ,求圖中半圓的面積. 17 .如圖，在 Rt"BC 中，&=90°,AC=8,在必BE 中，DE 是 AB 邊上的高，DE=12 , SXbe=60 , 求BC的長. 18 .如圖所示的一塊地，AD=12m , CD=9m,必DC=90 °, AB=39m , BC=36m ,求這塊地的 19 .如圖，一艘貨輪在 B處向正東方向航行，船速為 25n mile/h,此時，一艘快艇在 B的正 南方向120n mile的A處，以65n mile/h的速度要將一批貨物送到貨輪上，問快艇最快需要 多少時間？ 20 .如圖，將長方形 ABCD沿著對角線BD折疊，使點C落在C處，BC交AD于點E. (1)試判斷ZBDE的形狀，并說明理由； (2)若 AB=4, AD=8 ,求 ZBDE 的面積. 21 .如圖，必BC是直角三角形， 出AC=90。，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC 邊上的點，且DE組F. (1)如圖 1,試說明 BE2+CF2=EF2; 2 ）如圖2，若AB=AC ， BE=12 ， CF=5 ，求 △DEF 的面積． 北師大新版八年級數(shù)學上冊《第 1旗 勾股定理》單元測 試卷 、選擇題（每小題 3分，共30分） 1.如圖，陰影部分是一個矩形，它的面積是（） A. 5cm2 B. 3cm2 C. 4cm2 D. 6cm2 【考點】幾何體的表面積；勾股定理. 【分析】根據(jù)勾股定理先求出斜邊的長度, 再根據(jù)長方形的面積公式求出帶陰影的矩形面積. 【解答】解：Qi率2=5厘米, /帶陰影的矢I形面積=5M=5平方厘米. 故選A . 【點評】本題考查了勾股定理和長方形的面積公式. 2.如圖，正方形 ABCD的邊長為1,則正方形 ACEF的面積為（ A. 2 B, 3 C. 4 D, 5 【考點】算術平方根. 【分析】根據(jù)勾股定理，可得 AC的長，再根據(jù)乘方運算，可得答案. AC= ^AB^4-BcM12+12=V2， 【解答】解：由勾股定理，得 乘方，得（血）2=2, 故選：A. 【點評】 本題考查了算術平方根，先求出 AC的長，再求出正方形的面積. 3.三角形的三邊長為 a, b, c,且滿足（a+b） 2=c2+2ab,則這個三角形是（） A.等邊三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形 【考點】勾股定理的逆定理. 【分析】對等式進行整理，再判斷其形狀. 【解答】解：化簡（a+b） 2=c2+2ab,得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形， 故選：C. 本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定． 4．已知直角三角形的斜邊長為10 ，兩直角邊的比為3： 4，則較短直角邊的長為 () A ． 3 B ． 6 C． 8 D ． 5 【考點】勾股定理． 【分析】根據(jù)兩邊的比值設出未知數(shù)列出方程組解之即可． 【解答】解：設兩直角邊分別為3x ， 4x． 由勾股定理得( 3x) 2+ (4x) 2=100． 解得 x=2 ,則 3x=3 >2=6, 4x=4 >2=8 . △ 直角三角形的兩直角邊的長分別為6 ， 8． 較短直角邊的長為 6． 故選： B． 【點評】 本題考查了勾股定理的應用． 勾股定理： 在直角三角形中兩條直角邊的平方和等于 斜邊的平方． 5. z^ABC中，zA,加，ZC的對邊分別記為a, b, c,由下列條件不能判定 第BC為直角三 角形的是 () A,必+也=3B.旭：&=1： 2： 3 C. a2=c2 - b2 D. a： b： c=3： 4： 6 【考點】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】由三角形內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理進行判斷即可． 【解答】 解：A、必+ZB=ZC,又ZA+ZB+ZC=180°,則3=90 °,是直角三角形； B、必：ZB： ZC=1： 2： 3,又 A+ZB+H=180°,則&=90°,是直角三角形； C、由a2=c2- b2,得a2+b2=c2,符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； D、32+42幫2,不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形. 故選 D ． 【點評】 本題考查了直角三角形的判定， 注意在應用勾股定理的逆定理時， 應先認真分析所 給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系， 進而作出判斷． 6．若直角三角形的三邊長為6， 8， m ，則m2 的值為() A． 10 B． 100 C． 28 D． 100或 28 【考點】勾股定理． 【專題】分類討論． 【分析】 分情況考慮：當8是直角邊時，根據(jù)勾股定理求得m2=62+82;當較大的數(shù)8是斜 邊時，根據(jù)勾股定理求得m2=82- 62. 【解答】 解： ① 當邊長為 8 的邊是直角邊時，m2=62+82=100； ②當邊長為8的邊是斜邊時，m2=82- 62=28； 綜上所述，則m2 的值為100或 28． 故選： D ． 【點評】 本題利用了勾股定理求解， 解答本題的關鍵是注意要分邊長為 8 的邊是否為斜邊來 討論． 7.在 Rt^ABC 中，ZC=90°, AC=9 , BC=12 ，則點 C 到斜邊 AB 的距離是 ( A. 3& 【考點】 【分析】 B. — C, 9 D. 6 5 勾股定理. 設點C到斜邊AB的距離是h,根據(jù)勾股定理求出 AB的長，再根據(jù)三角形的面積 公式即可得出結論. 【解答】解：設點C到斜邊AB的距離是h, * Rt^ABC 中，3=90°, AC=9 , BC=12, 9B=〃於十鏟二15, Zh= 12乂工3& 15 =~ 兩條直角邊長的平方之和 【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中, 定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵. 8.如圖，在RtMBC中，ZB=90 °,以AC為直徑的圓恰好過點 B, AB=8 , BC=6 ,則陰影 部分的面積是（） A. 1OOTT- 24B. 1OO 兀—48 C. 25 ?！?4 D. 25 ?！?8 【考點】勾股定理. 【專題】計算題. 【分析】先根據(jù)勾股定理求出 AC的長，進而可得出以 AC為直徑的圓的面積，再根據(jù) S陰 影=S圓-S&BC即可得出結論. 【解答】 解： 于tZABC中旭=90°, AB=8 , BC=6, MC=蟲上二=；..-'=10, 必C為直徑的圓的半徑為 5, secCL…? £S 陰影=S 圓—Szabc=25 兀一弓 >6 >8=25 ?！?4. £ 故選C. 【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和 一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵. 9 .如圖所示為一種 羊頭”形圖案，其作法是：從正方形 ① 開始，以它的一邊為斜邊，向外 作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②，…，依此類推, 若正方形①的面積為64,則正方形⑤的面積為（） A. 2 B. 4C. 8 D. 16 【考點】勾股定理. 【專題】規(guī)律型. 【分析】根據(jù)題意可知第一個正方形的面積是64,則第二個正方形的面積是 32,…，進而 可找出規(guī)律得出第 n個正方形的面積，即可得出結果. 【解答】解：第一個正方形的面積是64； 第二個正方形的面積是 32; 第三個正方形的面積是 16； 54 第n個正方形的面積是 嚴―1, 公正方形⑤的面積是4. 故選：B. 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理.解題的關鍵是找出 第n個正方形的面積. 10 .勾股定理是幾何中的一個重要定理.在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有 若勾三，股四， 則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關系 驗證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的， 也AC=90 °, AB=3 , AC=4，點D, E, F, G, H, I者B在矩形KLMJ的邊上，則矩形 KLMJ的面積為（） A. 90 B, 100 C, 110 D. 121 【考點】勾股定理的證明. 【專題】 常規(guī)題型；壓軸題. 【分析】延長AB交KF于點O,延長AC交GM于點P,可得四邊形 AOLP是正方形，然 后求出正方形的邊長，再求出矩形 KLMJ的長與寬，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算即 可得解. 【解答】 解：如圖，延長 AB交KF于點O,延長AC交GM于點P, 所以四邊形AOLP是正方形， 邊長 AO=AB+AC=3+4=7 , 所以 KL=3+7=10 , LM=4+7=11 , 因此矩形 KLMJ的面積為10 M1=110. 故選：C. 【點評】 本題考查了勾股定理的證明，作出輔助線構造出正方形是解題的關鍵. 二、填空題（每小題 4分，共20分） 11 .如圖字母B所代表的正方形的面積是：144. 【分析】在本題中，外圍正方形的面積就是斜邊和一直角邊的平方，實際上是求另一直角邊 的平方，用勾股定理即可解答. 【解答】 解：如圖，根據(jù)勾股定理我們可以得出： a2+b2=c2 a2=25, c2=169 b2=169 - 25=144 因此B的面積是144. 【點評】本題主要考查了正方形的面積公式和勾股定理的應用.只要搞清楚直角三角形的斜 邊和直角邊本題就容易多了. 12 .等腰 ABC的腰長AB為10cm,底邊BC為16cm,則底邊上的高為 Bcm. 【考點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì). 【專題】計算題. 【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用三線合一得到BD的長，在直角三角形 ABD中，利用勾 股定理即可求出 AD的長. 【解答】 解：如圖所示，AAB=AC=10cm AD nBC z2BD=CD= 在RtZABD中，根據(jù)勾股定理得: =6cm. 故答案為：6cm 熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵. 【點評】此題考查了勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì), 13 .一艘輪船以16km/h的速度離開港口向東北方向航行，另一艘輪船同時離開港口以30km/h 的速度向東南方向航行，它們離開港口半小時后相距17 km. 【考點】勾股定理的應用. 【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，且東北和東南的夾角為90。，根據(jù)題目中給出的半小時后和 速度可以計算 AC, BC的長度，在直角 "BC中，已知AC, BC可以求得AB的長. 【解答】 解：作出圖形，因為東北和東南的夾角為90。，所以ZABC為直角三角形. 在 Rt至BC 中，AC=16 >0.5km=8km , BC=30 >0.5km=15km . 則 AB= . , , ' " 'km=17km 故答案為17. 【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，本題中確定"BC為直角三角形，并且 根據(jù)勾股定理計算 AB是解題的關鍵. 14.如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5,高是12,上底面中心有一個小圓孔，則一條 到達底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）范圍是 12QW3. 【考點】勾股定理的應用. 【分析】如圖，當吸管底部在 O點時吸管在罐內(nèi)部分 a最短，此時a就是圓柱形的高；當 吸管底部在A點時吸管在罐內(nèi)部分 a最長，此時a可以利用勾股定理在 Rt»BO中即可求 出. 【解答】解：如圖， 當吸管底部在 O點時吸管在罐內(nèi)部分 a最短， 此時a就是圓柱形的高， 即 a=12; 當吸管底部在 A點時吸管在罐內(nèi)部分 a最長， 即線段AB的長， 在Rt9BO中，AB="E詬常 =.?『二 二13, MBa=13, 所以12Q得3. 故答案為：12Q司3. 【點評】 本題考查正確運用勾股定理.善于觀察題目的信息，正確理解題意是解題的關鍵. 15.如圖，長方體的底面邊長分別為 2cm和4cm,高為5cm.若一只螞蟻從 P點開始經(jīng)過4 個側面爬行一圈到達 Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為13cm. 【考點】平面展開-最短路徑問題. 【專題】 幾何圖形問題；壓軸題. 【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體展開， 然后利用 兩點之間線段最短解答. 【解答】解： ZPA=2X (4+2) =12, QA=5 ZPQ=13. 故答案為：13. ,以及如何把立體圖形轉化成平面圖形. 三、解答題（共50分） ,BO=3cm , AB=4cm , AF=12cm ,求圖中半圓的面積. 16.如圖所示， 出=8AF=90 【考點】勾股定理. 【分析】 首先，在直角9BO中，利用勾股定理求得 AO=5cm；然后在直角 AFO中，由勾 股定理求得斜邊 FO的長度；最后根據(jù)圓形的面積公式進行解答. 【解答】 解：如圖，至直角 ABO中，出=90 °, BO=3cm , AB=4cm , &O= VB02+AB2=5cm - /圖中半圓的面積 x( \17 '69=169 九 C cm2). 答：圖中半圓的面積是 1697T 則在直角 AFO中，由勾股定理得到：FO=7A02MF2=13cm, 【點評】 本題考查了勾股定理和圓的面積的計算.注意，勾股定理應用于直角三角形中. 17.如圖，在 Rt^ABC 中，&=90°,AC=8 ,在必BE 中，DE 是 AB 邊上的高，DE=12 , S&be=60 , 求BC的長. 【考點】勾股定理；三角形的面積. 【分析】利用面積法求得斜邊 AB的長度，然后在 Rt+BC中，利用勾股定理來求線段BC 的長度. 【解答】 解：如圖， M^BE中，DE是AB邊上的高，DE=12, SXbe=60, ?ED=60,即 *AB M2=60, 解得AB=10 . 又沖 RtABC 中，ZC=90°, AC=8 , 生C=MAB。_ he r ］心二產(chǎn)=6 ? 答：線段BC的長度是6. 【點評】 本題考查了勾股定理、三角形的面積.注意，勾股定理應用于直角三角形中. 18.如圖所示的一塊地， AD=12m , CD=9m, 面積. 必DC=90 °, AB=39m , BC=36m ,求這塊地的 【考點】勾股定理的應用；三角形的面積；勾股定理的逆定理. 【專題】應用題. 【分析】連接AC,運用勾股定理逆定理可證 ACD , "BC為直角三角形，可求出兩直角 三角形的面積，此塊地的面積為兩個直角三角形的面積差. 【解答】 解：連接AC,則在Rt^ADC中， AC2=CD 2+AD 2=122+92=225, 必C=15,在叢BC 中，AB 2=1521 , AC2+BC2=152+362=1521 , 必B2=AC2+BC2, △ ACB=90 °, D?CD=±M5X36 - 任ZABC — SZACD=jAC?BC - >12X9=270— 54=216. 答：這塊地的面積是 216平方米. 【點評】解答此題的關鍵是通過作輔助線使圖形轉化成特殊的三角形，可使復雜的求解過程 變得簡單. 19.如圖，一艘貨輪在 B處向正東方向航行，船速為 25n mile/h,此時，一艘快艇在 B的正 南方向120n mile的A處，以65n mile/h的速度要將一批貨物送到貨輪上，問快艇最快需要 多少時間？ 【考點】勾股定理的應用. 【分析】先設快艇最快需要 x小時，根據(jù)勾股定理列出方程，求出方程的解即可. 【解答】解：設快艇最快需要 X小時，由題意得， (25x) 2+1202= (65x) 2 解得：x=2或x= - 2 (舍去). 答：快艇最快需要 2小時. 【點評】本題考查了一元二次方程及勾股定理的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出直 角三角形，根據(jù)勾股定理列出方程. 20.如圖，將長方形 ABCD沿著對角線BD折疊，使點C落在C處，BC交AD于點E. (1)試判斷ZBDE的形狀，并說明理由； (2)若 AB=4, AD=8 ,求 ZBDE 的面積. 【考點】翻折變換(折疊問題). 【分析】(1)由折疊可知，ZCBD=ZEBD,再由ADZBC,得到z2CBD= ^EDB ,即可得到 在BD= ZEDB ,于是得到BE=DE,等腰三角形即可證明； (2)設DE=x,則BE=x, AE=8 - x,在Rt9BE中，由勾股定理求出 x的值，再由三角形 的面積公式求出面積的值. 【解答】 解：(1) ZBDE是等腰三角形. 由折疊可知，ZCBD= ZEBD , MD ZBC, △ CBD=莊DB , △ EBD=正DB, z2BE=DE , 即出DE是等腰三角形； (2)設 DE=x,貝U BE=x, AE=8 —x, 在 Rt^ABE 中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2 即 42+ (8-x) 2=x2, 解得：x=5 , 所以 S/BDE=—DE >AB=-X5>4=10. 2 工 【點評】本題主要考查翻折變換的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的判定與 勾股定理的知識，此題難度不大. 21.如圖，9BC是直角三角形， 加AC=90。，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC 邊上的點，且DE組F. (1)如圖 1,試說明 BE2+CF2=EF2; (2)如圖 2,若 AB=AC , BE=12 , CF=5 ,求綃EF 的面積. 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形. 【分析】(1)延長ED至點G,使得EG=DE ,連接FG, CG,易證EF=FG和也DE^CDG, 可得BE=CG, ZDCG=綃BE,即可求得zTCG=90 °,根據(jù)勾股定理即可解題； (2)連接AD,易證至DE=ZCDF,即可證明^ADEACDF,可得AE=CF , BE=AF , S四邊形 AEDFh^S/ABC ,再根據(jù)^DEF的面積h^S&BC — S/AEF,即可解題. 22 【解答】(1)證明：延長 ED至點G,使得DG=DE,連接FG, CG, z2DE=DG , DF^DE, z2DF垂直平分DE, z2EF=FG, ZD是BC中點， z2BD=CD , 在任DE和ZCDG中， "CD ，ZBDE=ZCDG, tDE^DG △ BDEACDG (SAS), z2BE=CG , ZDCG= zDBE , △ ACB+ 垣BE=90 °, △ ACB+ MG=90 °,即 z2FCG=90 °, 222 ZCG +CF =FG , ZBE2+CF2=EF2; (2)解：連接AD , ZAB=AC , D 是 BC 中點， △ BAD= A>45 , AD=BD=CD , △ ADE+ MDF=90 , ZADF+ ZCDF=90 , △ ADE= z2CDF, 在a\DE和ZCDF中, [ NEAD = NC AD=CD , ZADE=ZCDF △ ADE A CDF (ASA ), z^\E=CF , BE=AF , AB=AC=17 , 國四邊形AEDF = 17sxBC , &^ef=』X5M2=30, 1-169 △ DEF 的面積=~S/abc - S2Aef-「? 昌,i 【點評】本題考查了全等三角形的判定, 考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì), 本題中求證 ZBDEACDG ^\DE AGDF是解題的關鍵.