第1章 矢量分析

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1、第一章 矢量分析 第一章 矢量分析 1 1、矢量代數(shù)運(yùn)算與常用坐標(biāo)系、矢量代數(shù)運(yùn)算與常用坐標(biāo)系 2 2、標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度、標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度 3 3、矢量場(chǎng)的通量和散度、矢量場(chǎng)的通量和散度 4 4、矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度、矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度 5 5、高斯定理、斯托克斯定理，以及二階微分運(yùn)算高斯定理、斯托克斯定理，以及二階微分運(yùn)算 6 6、亥姆霍茲定理、亥姆霍茲定理 第一章 矢量分析 矢量的大小或模矢量的大小或模AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量矢量數(shù)學(xué)表示：矢量數(shù)學(xué)表示：AAeAAAAe AeA矢量的幾何表示：矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線(xiàn)段來(lái)表示一個(gè)矢量可用一條有方向的線(xiàn)段來(lái)

2、表示 注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶?。注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶?。A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量：常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。1 1、矢量的表示、矢量的表示 1.1 矢量代數(shù)運(yùn)算與常用坐標(biāo)系矢量代數(shù)運(yùn)算與常用坐標(biāo)系 第一章 矢量分析 zzyyxxeAeAeAAAAAAAAxyzcoscoscosAAAecoscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxy矢量的直角坐標(biāo)分量表示矢量的直角坐標(biāo)分量表示222xyzAAAA第一章 矢量分析 2 2、矢量的加減運(yùn)算、矢量的加減運(yùn)算 ABBA ABBA B BA xxyyzzCAB(AB)i(AB)j(AB)k xxy

3、yzzCAB(AB)i(AB)j(AB)k直角坐標(biāo)系下：第一章 矢量分析 B AA B cosxxyyzzA BABA BA BA B 性質(zhì)：3 3、矢量的乘法、矢量的乘法1）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）含義：一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。BABA02AAA第一章 矢量分析 ()()()xyzxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeA BAAABBBeA BA BeA BA Be A BA BsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB2）矢積（叉乘積）矢積（叉乘積）0CA BABsinc直角坐標(biāo)系下：性質(zhì)：ABBABABA/0 0 AA

4、第一章 矢量分析 3 3）、三重積：）、三重積：三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：()A B C矢量，標(biāo)量與矢量相乘。()ABC標(biāo)量，標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。a.a.標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。定義：sincosA BCABC()ABC含義：含義：標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積。ABCh B C()()()()()()ABCCABBCAACBBA CCBA 性質(zhì)：性質(zhì)：第一章 矢量分析 規(guī)則規(guī)則：括號(hào)外的矢量與括號(hào)內(nèi)較遠(yuǎn)的矢 量點(diǎn)乘，所得項(xiàng)為正，令一項(xiàng)為負(fù)。在直角坐標(biāo)系中：()()xyzxyzxxyyzzxyzxyzxyzxyzaaaAAAAB C

5、A aA aA aBBBBBBCCCCCCb.b.矢量三重積矢量三重積：12()()()ABCBCA C BA B C ()()()B CAA B CA C B 表明表明：把三個(gè)矢量按循環(huán)次序輪換，其積不變；若只 要把兩矢量對(duì)調(diào)，其積差一負(fù)號(hào)第一章 矢量分析 zeyexerzyx位置矢量位置矢量線(xiàn)元矢量線(xiàn)元矢量zeyexelzyxdddd體積元體積元zyxVdddd面元矢量面元矢量zyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzdddddzxelleSyzxyyddddd坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量,(,)x y zx y z 坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zyxeee,點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)0y

6、y（平面）（平面）o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeyex yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddyydSe dxdz 1.2 常用坐標(biāo)系常用坐標(biāo)系 1 1、直角坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系(,)x y z第一章 矢量分析 xxyyzzAA eA eA exyzxyzxyzyzxyxzxyzyzxzxyeeeABAAABBBAAAAAAeeeBBBBBBxxyyzzA BA BA BA B 第一章 矢量分析 2、圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系(,)z 2oz ，coss

7、inxyzzzzzeeeeeeeee22tan/xyy x，坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量,zee e 第一章 矢量分析 zzAA eA eA e zree z位置矢量線(xiàn)元矢量ddddzleee z dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle 面元矢量dd d dVz 體積元第一章 矢量分析 3 球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系 02or，0，(,)r rrreeeeeeeee，cossinsincossinxyrzrr22222tan/tan/rxyzy xxyz第一章 矢量分析 rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr線(xiàn)元矢量線(xiàn)元矢量dddsind

8、2rrV 體積元體積元ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr面元矢量面元矢量rrAA eA eA e 第一章 矢量分析 注意事項(xiàng)注意事項(xiàng)l直角坐標(biāo)系中xyzeee、為常矢量柱坐標(biāo)系中為變矢量；ee、ze為常矢量球坐標(biāo)系中reee、均為變矢量；l各坐標(biāo)系中，拉梅系數(shù)不同直角坐標(biāo)系中123123,1dldx dldy dldzhhh即圓柱坐標(biāo)系中123,1,zdlddlddldzhhh即 123,sin1,sinrdldr dlrddlrdhhr hr有 球坐標(biāo)系中第一章 矢量分析 1、直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系的關(guān)系cossin0sincos0

9、001xyzz eeeeeecossin0sincos0001xyzz eeeeeel各坐標(biāo)系中，單位矢量的換算關(guān)系cossinsincosxyxy eeeeee第一章 矢量分析 sin cossin sincoscos coscos sinsinsincos0rxyz eeeeeesin coscos cossinsin sincos sincoscossin0 xryzeeeeee2、直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系sin cossin sincoscos coscossinsinsincosrxyzxyzxy eeeeeeeeeee第一章 矢量分析 球坐標(biāo)系中的基矢不是常矢量,應(yīng)該把矢量沿質(zhì)點(diǎn)

10、所處位置的基矢，“就地”進(jìn)行正交分解.例1、下面從速度的定義 導(dǎo)出球坐標(biāo)系中速度的表達(dá)式。0dlimd trrvttsin rrrerere 當(dāng) 時(shí)，在 方向上分量可用弧長(zhǎng) 和 表示，故0 tr,e ersin rerererrsin0sinlim rtrererevt第一章 矢量分析 如果某物理量在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，在每如果某物理量在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，在每一時(shí)刻都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的值，則稱(chēng)在此區(qū)域內(nèi)確定一時(shí)刻都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的值，則稱(chēng)在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)。場(chǎng)的一個(gè)重要的屬性是它占有一定

11、空區(qū)域上的函數(shù)。場(chǎng)的一個(gè)重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)，除有限個(gè)點(diǎn)和表面外，其物間，而且在該空間域內(nèi)，除有限個(gè)點(diǎn)和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)的。理量應(yīng)是處處連續(xù)的。場(chǎng)的概念場(chǎng)的概念 1.3 場(chǎng)的概念場(chǎng)的概念 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度 第一章 矢量分析 :標(biāo)量場(chǎng)場(chǎng)量為標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)：場(chǎng)量為矢量按場(chǎng)量的數(shù)學(xué)性質(zhì)劃分：按場(chǎng)量的數(shù)學(xué)性質(zhì)劃分：(static field)(time-varing field)靜態(tài)場(chǎng)場(chǎng)時(shí)變場(chǎng)似穩(wěn)場(chǎng)，準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)，變化很慢的時(shí)變場(chǎng) 按場(chǎng)量的時(shí)間變化特性劃分按場(chǎng)量的時(shí)間變化特性劃分:場(chǎng)的分類(lèi)第一章 矢量分析 1.1.標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值線(xiàn)標(biāo)量場(chǎng)的

12、等值線(xiàn)(面面)等值面等值面:標(biāo)量場(chǎng)為同一數(shù)值的點(diǎn)在空間標(biāo)量場(chǎng)為同一數(shù)值的點(diǎn)在空間 形成的曲面。形成的曲面。Czyxu),(等值面方程：等值面方程：常數(shù)常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿(mǎn)場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿(mǎn)場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。等值面的特點(diǎn)等值面的特點(diǎn)：第一章 矢量分析 2、標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度1）標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)/0()()limlMMMll 若當(dāng)若當(dāng)M M /趨于趨于M M 時(shí)，極限時(shí)，極限

13、 存在，稱(chēng)此極限為存在，稱(chēng)此極限為函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) M M 處沿處沿l方向的方向的方向?qū)?shù)，方向?qū)?shù)，表示為表示為()M/0()()limlMMl 設(shè)設(shè)M是標(biāo)量場(chǎng)是標(biāo)量場(chǎng) 中中的一個(gè)已知點(diǎn)，從的一個(gè)已知點(diǎn)，從M出發(fā)沿某出發(fā)沿某一方向引一條射線(xiàn)一方向引一條射線(xiàn)l,在在l上上M的的鄰近取一點(diǎn)鄰近取一點(diǎn)M/，MM/=()Ml第一章 矢量分析 000limcoscoscos lMMMdxdxdzllx dly dlz dlxyz 若函數(shù)若函數(shù) 在在M處可導(dǎo)處可導(dǎo)，cos、cos、cos為為l 的方向余弦，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有的方向余弦，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有(,)x y z 在同一位置處，沿不

14、同方向有與之相應(yīng)的方向在同一位置處，沿不同方向有與之相應(yīng)的方向?qū)?shù)，即方向?qū)?shù)導(dǎo)數(shù)，即方向?qū)?shù)非唯一非唯一。思考：沿什么方向上，方向?qū)?shù)最大？第一章 矢量分析 2 2）、標(biāo)量場(chǎng)的梯度）、標(biāo)量場(chǎng)的梯度 定義：定義：場(chǎng)變化最大的方向?yàn)闃?biāo)量場(chǎng)梯度的場(chǎng)變化最大的方向?yàn)闃?biāo)量場(chǎng)梯度的 方向，其數(shù)值為最大變化率，記為方向，其數(shù)值為最大變化率，記為max(,)ldugradx y zedll()dddldln()dddndn方向：方向：第一章 矢量分析 lddn 。由于有dddndl，故有即沿等值面的法線(xiàn)方向，方向?qū)?shù)最大，這就是標(biāo)量場(chǎng)梯度的方向。coscosnlleeddddgradedldndndn(,)

15、ndgradx y zedn故，3 3）、梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系）、梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系 即，標(biāo)量場(chǎng)梯度的方向沿等值面的法線(xiàn)方向第一章 矢量分析()xyzxyzeeexyzeeexgradyz xyzeeexyz 3、梯度的計(jì)算梯度的計(jì)算,xyzgradegradegradexyz直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中 哈密頓算符哈密頓算符，為矢量微分算子,兼有矢量和微分算符性質(zhì)第一章 矢量分析 圓柱坐標(biāo)系中圓柱坐標(biāo)系中哈密頓微分算子哈密頓微分算子的表示式為的表示式為 1zeeez 1zeeez圓柱坐標(biāo)系中的梯度圓柱坐標(biāo)系中的梯度表示式為表示式為 第一章 矢量分析 球坐標(biāo)系中球坐標(biāo)系中哈密頓微分算子哈密頓微分

16、算子的表示式為的表示式為 11sin reeerrr11sinreeerrr球坐標(biāo)系中的梯度球坐標(biāo)系中的梯度表示式為表示式為 第一章 矢量分析 梯度是矢量，它的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，梯度是矢量，它的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值等于最大空間變化率。其數(shù)值等于最大空間變化率。某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面）梯度垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面）4、梯度的性質(zhì)：、梯度的性質(zhì)：5 5、梯度運(yùn)算的基本公式、梯度運(yùn)算的基本公式uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()(

17、)()(0第一章 矢量分析 例1、求標(biāo)量場(chǎng)u=xy2+yz3在M(2，-1，1)處的梯度沿l=2ex+2ey-1ez方向的方向?qū)?shù)。232()(2)3xyzxyzuuugraduueeexyzy exyz eyz e 將點(diǎn)M處的坐標(biāo)帶入，可得 33xyzMgradueeel方向的單位矢量13lMuu el 故，221()333lxyzleeeel解：由梯度的計(jì)算公式第一章 矢量分析 例2、若Rrr，RR1）求()R11()()RR 2）證明xyzxyzre xe ye zre xe ye z解(1)，)()()xyzR rre x xe y ye z z （222()()()Rxxyyzz22

18、2()()()RxxxxxRxxyyzz,RyyRzzyRzR同理，()()f Rf R3）證明第一章 矢量分析)()()所以，（xyzxyzRRRReeexyze xxeyye zzRRR2）證明122221()()()xxyyzzR1111()()()()xyzeeeRx Ry Rz R122223222231()()()()1()()()2()2 xxxxRxxyyzzRxxyyzzxx第一章 矢量分析 1111()()()()xyzeeeRxRyRzR注意：3311(),()yyzzyRzRRR 同理，333111(),(),()xxyyzzxRyRzRRRR1111()()()()x

19、yzeeeRx Ry Rz R33)()()xyze xxeyyezzRRR （第一章 矢量分析 311()()RRRR 故，()()f Rf R()3)對(duì)任意函數(shù)，根據(jù)梯度的運(yùn)算公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得f R()()()()()()()()()()()()()(),()()xyzxyzf Rdf RRf RdRRdf Rdf R RdRdRRf Rf Rf Reeexyzf Rdf RRf Rdf RRf Rdf RRxdRxydRyzdRzRRReeexyzR()()()()同樣：df Rdf R Rf RRdRdRR第一章 矢量分析 例例3 在一對(duì)相距為在一對(duì)相距為l的點(diǎn)電荷的點(diǎn)電荷+

20、q 和和-q 的靜電場(chǎng)的靜電場(chǎng)中，當(dāng)中，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)與它們的距離場(chǎng)點(diǎn)與它們的距離r l 時(shí)，其空間電位的表達(dá)式為時(shí)，其空間電位的表達(dá)式為 cos4),(20rqlr求其電場(chǎng)強(qiáng)度求其電場(chǎng)強(qiáng)度 。(,)E r 11sinreeerrr 11sinreeerrr解：解：利用 ，在球面坐標(biāo)系中 E第一章 矢量分析 2300220012coscos442cossin440qlqlrrrrqlqlrr 20(,)cos4qlrr 11sin rEeeerrr30(2cossin)4rqleer第一章 矢量分析 電電偶偶極極子子的的電電場(chǎng)場(chǎng)分分布布圖圖第一章 矢量分析 1.4 矢量場(chǎng)的通量和散度矢量場(chǎng)的通量和散度

21、 1、矢量場(chǎng)的幾何描述、矢量場(chǎng)線(xiàn)方程矢量場(chǎng)的幾何描述、矢量場(chǎng)線(xiàn)方程 矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) 的場(chǎng)線(xiàn)微分方程為的場(chǎng)線(xiàn)微分方程為(,)A x y z矢量線(xiàn)能夠描述矢量場(chǎng)在空間的方向，但不能夠直觀(guān)描述矢量場(chǎng)的大小。矢量線(xiàn)能夠描述矢量場(chǎng)在空間的方向，但不能夠直觀(guān)描述矢量場(chǎng)的大小。矢量線(xiàn)是這樣的一些曲線(xiàn)，曲線(xiàn)上每一點(diǎn)的切線(xiàn)方向與該點(diǎn)的矢量場(chǎng)方向一致，曲線(xiàn)的密度正比于場(chǎng)量的大小。0A dlzyxzxyzyxA dy=A dzdxdydz0A dz=A dx=AAAA dx=A dyxyzxyzeeeA dlAAAdxdydz第一章 矢量分析 形形 態(tài)：態(tài)：1、無(wú)頭無(wú)尾的閉合曲線(xiàn)；2、有起點(diǎn)有終點(diǎn)；3、有起點(diǎn)，終止于

22、無(wú)窮遠(yuǎn)處；4、起始于無(wú)窮遠(yuǎn)處，有終點(diǎn)。閉合曲線(xiàn)閉合曲線(xiàn)自無(wú)窮遠(yuǎn)處自無(wú)窮遠(yuǎn)處終點(diǎn)終點(diǎn)至無(wú)窮遠(yuǎn)處至無(wú)窮遠(yuǎn)處起點(diǎn)起點(diǎn)起點(diǎn)起點(diǎn)終點(diǎn)終點(diǎn)第一章 矢量分析 2、矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量 面元矢量面元矢量dSndS 是面元法線(xiàn)方向的單位矢量是面元法線(xiàn)方向的單位矢量n 為了克服矢量線(xiàn)不能定量描述矢量場(chǎng)的大小的問(wèn)題，引入通量的概念。因此，先介紹面元矢量的概念。開(kāi)曲面，邊界曲線(xiàn)繞行方向與 構(gòu)成右手螺旋關(guān)系n對(duì)閉合曲面 S，法矢由內(nèi)向外第一章 矢量分析 封閉曲面 SA dS cosdA dSAdS cosSSA dSAdS 曲面S的通量矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量有三種可能結(jié)果，這說(shuō)明閉合曲面內(nèi)有產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源，稱(chēng)這種

23、源為通量源.通量源要發(fā)出或匯集矢量線(xiàn)意義：穿過(guò)該曲面的矢量線(xiàn)的條數(shù)。(正通量源正通量源)(無(wú)通量源，或代數(shù)和為零無(wú)通量源，或代數(shù)和為零）（負(fù)通量（負(fù)通量源源)元通量元通量第一章 矢量分析 3、矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的散度 0limSVA dSdivAV 上式表明，散度是一個(gè)標(biāo)量，它表示單位體積內(nèi)所穿出的通量，上式表明，散度是一個(gè)標(biāo)量，它表示單位體積內(nèi)所穿出的通量，所以散度又稱(chēng)為通量源密度，它表征通量源的分布特性。所以散度又稱(chēng)為通量源密度，它表征通量源的分布特性。通量從宏觀(guān)上建立了矢量場(chǎng)的通量與曲面內(nèi)矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。但通量從宏觀(guān)上建立了矢量場(chǎng)的通量與曲面內(nèi)矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。但還不能反映場(chǎng)空間任意點(diǎn)

24、矢量場(chǎng)還不能反映場(chǎng)空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與與通量源通量源的關(guān)系。為了描述一個(gè)點(diǎn)附近的關(guān)系。為了描述一個(gè)點(diǎn)附近矢量矢量 的性質(zhì)，取如下的的性質(zhì)，取如下的極限，稱(chēng)之為矢量場(chǎng)極限，稱(chēng)之為矢量場(chǎng) 在某點(diǎn)的散度，記為在某點(diǎn)的散度，記為AA 若若 ，則該矢量場(chǎng)稱(chēng)為，則該矢量場(chǎng)稱(chēng)為有源場(chǎng)有源場(chǎng)，為源密度為源密度()0divA r若若 處處成立，則該矢量場(chǎng)稱(chēng)為處處成立，則該矢量場(chǎng)稱(chēng)為無(wú)源場(chǎng)無(wú)源場(chǎng)()0divA r 討論：討論：第一章 矢量分析 在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個(gè)平面組成。矢量場(chǎng) 表示為：FxxyyzzFF aF aF a1Szyx6S5S4S3S2S123123SSSSF dsF d

25、sF dsF ds456456SSSF dsF dsF ds證明如下：)()yxzxyzx xy yz zAAAdivAeeeAeAeAexyzxyz（在直角坐標(biāo)系中第一章 矢量分析 111()()xxxsF dsF x ay za zyxFx)(1222()xxxsF dsF x ay za 在x方向上：計(jì)算穿過(guò) 和 面的通量為2S1S1()xF xxy z 11()()()xxxF xF xxF xxx 因?yàn)椋?21()()xxsF xF dsF xy zx y zx 則：1212xssFF dsF dsx y zx 在x方向上,穿過(guò) 和 面的通量：1S2S第一章 矢量分析 在z方向上,穿

26、過(guò) 和 面的總通量：5S6S5656ZssFF dsF dsx y zz 整個(gè)封閉曲面的總通量：yxzsFFFF dsx y zxyz 3434yssFF dsF dsx y zy 同理：在y 方向上,穿過(guò) 和 面的總通量：3S4S第一章 矢量分析 該閉合曲面所包圍的體積：該閉合曲面所包圍的體積：zyxV0limsVF dsdivFV zFyFxFzyx通常散度表示為：divFF圓柱坐標(biāo)系中圓柱坐標(biāo)系中:11()zAAAAz 球坐標(biāo)系中球坐標(biāo)系中:22111()(sin)sinsin rAAr AArrrr第一章 矢量分析 4、散度定理（高斯定理）、散度定理（高斯定理）SVA dSAdV關(guān)于散

27、度的一些計(jì)算關(guān)于散度的一些計(jì)算()()ABABAAA 從散度的定義出發(fā)，可得到在矢量場(chǎng)中，通過(guò)空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)散度的體積分。第一章 矢量分析 散度定理的意義：證明：證明：可利用散度的定義與微積分方法相結(jié)合注意：111VSn222VSn21nn 公共面：物理角度：區(qū)域 V 中的場(chǎng)閉合面S 上的場(chǎng)數(shù)學(xué)角度：面積分體積分第一章 矢量分析 VSAdVA dS故，(),(1)iiSA dSAVin1inSSiA dSA dS1()niViAVAdViV由散度的定義，對(duì)任意體積元，有iV將上式對(duì)所有體積元求和，有第一章 矢量分析 SVr dSrdV例2 球面S上任意點(diǎn)

28、的位置矢量為r=xex+yey+zez求 Sr dS法二：法二：根據(jù)散度定理知 而2213,()3rxyzrrr Axyzrr或者所以 3343343SVVr dSrdVdVrr法一：法一：可直接在球坐標(biāo)下積分233300sinsin4SSr dSrd drddr 第一章 矢量分析 例例3 原點(diǎn)處點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電位移矢量 ，試求電位移矢量D的散度。2344rqqDerrr法一：法一：3334xyzqxyzDeeerrr法二：法二：()AAA 33311()()44qrqDrrrrr 3r3513rrr 333,444xyzqxqyqzDDDrrr222222555333,444yxDDq rx

29、q ryq rzxryrr2222533()04xxxDDDqrxyzdivDDxyzr 353()0rDrrr 第一章 矢量分析 1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度 cosccA dlAdl1、環(huán)流（環(huán)量、環(huán)流（環(huán)量）cH dlI例如，20cA dl、，場(chǎng)中有產(chǎn)生該矢量場(chǎng)的源-旋渦源說(shuō)明：1、環(huán)流與所取的環(huán)面的方向有關(guān) 在矢量場(chǎng) 中，在研究的某點(diǎn)附近取一閉合曲線(xiàn)c，閉合曲線(xiàn)圍成一曲面 ，其法線(xiàn)方向 與閉合曲線(xiàn)c 的繞行方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。矢量 沿閉合曲線(xiàn) c 線(xiàn)積分稱(chēng)為該矢量場(chǎng)沿此閉合曲線(xiàn)環(huán)流環(huán)流。ASnA第一章 矢量分析 打開(kāi)打開(kāi)出水口出水口水流水流下漏下漏 旋渦矢量場(chǎng)：矢量線(xiàn)

30、為閉合曲線(xiàn)的矢量場(chǎng)旋渦矢量場(chǎng)：矢量線(xiàn)為閉合曲線(xiàn)的矢量場(chǎng) 旋渦源：能激勵(lì)出旋渦矢量場(chǎng)的激勵(lì)源旋渦源：能激勵(lì)出旋渦矢量場(chǎng)的激勵(lì)源 下漏的水柱激勵(lì)出旋渦流速場(chǎng) ，是旋渦源v0Lv dl 取環(huán)繞該旋渦源的閉曲線(xiàn)L，有L例例1 1：出水口出水口關(guān)閉關(guān)閉水池水池 旋渦源（下漏水流）越大，則 越大。Lv dlv第一章 矢量分析 例例2：無(wú)電流導(dǎo)線(xiàn)無(wú)電流導(dǎo)線(xiàn)通電通電 電流激勵(lì)出旋渦磁場(chǎng) ，是旋渦源B0 LldB 取環(huán)繞該旋渦源的閉曲線(xiàn)L，有 旋渦源（電流）越大，則 越大。LB dl第一章 矢量分析 結(jié)論：結(jié)論：1、的值正比于穿過(guò)閉曲線(xiàn)L的矢量場(chǎng) 的旋渦源的值。例如對(duì)穩(wěn)恒磁場(chǎng)0LB dlILA dlA2、環(huán)流與

31、所取的環(huán)面的方向有關(guān)2、矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度 導(dǎo)出思路：體現(xiàn)了穿過(guò)閉曲線(xiàn) L 的旋渦源的大??；LA dl 體現(xiàn)了穿過(guò)L的旋渦源的平均密度；LA dls 當(dāng) L 收縮到僅包含一個(gè)點(diǎn)時(shí)，就體現(xiàn)了該點(diǎn)處穿過(guò)L的旋渦源的密度。LA dls第一章 矢量分析 0limcnsA dlrot As 1)1)環(huán)流面密度環(huán)流面密度考慮該極限值的唯一性（？）及與方向的關(guān)系 為得空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系,令面元S0，若如下極限存在，則稱(chēng)該極限為矢量 在點(diǎn)M處沿 方向的環(huán)流面密度，記為nA 表示矢量場(chǎng)表示矢量場(chǎng) 在點(diǎn)在點(diǎn)M M處沿處沿 方向方向(穿過(guò)穿過(guò) )的漩渦源密度；的漩渦源密度；nrot A()A rn

32、S第一章 矢量分析 max0limcSA dlrotAnS 2)旋度旋度旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的漩渦源密度,模值體現(xiàn)了該點(diǎn)處 的旋渦源密度的大??；方向體現(xiàn)了該點(diǎn)處旋渦源密度的方向。旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)流密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)流密度的方向。用 表示，即：rot A若若 則該矢量場(chǎng)稱(chēng)為則該矢量場(chǎng)稱(chēng)為渦旋場(chǎng)渦旋場(chǎng)，為為渦旋渦旋源密度源密度0rotAJJ若若 處處成立，則該矢量場(chǎng)稱(chēng)為處處成立，則該矢量場(chǎng)稱(chēng)為無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)0rotA第一章 矢量分析 xyzxyzyyxxzzxyzeeerotAAxyzAAAAAAAAAeeeyxxzxy可證明，在直角坐標(biāo)系中旋度表達(dá)式rotnFn rotArot

33、An某方向的環(huán)流面密度與旋度的關(guān)系：.（）第一章 矢量分析 xxyyzzFF aF aF a場(chǎng)矢量：1bccddaablbccddaabllllF dlF dlF dlF dlF dlxzydcba證明如下：證明如下：()abzdldza其中：bcydldyacdzdldza()daydldya1()()yzyzyzlFFF dlFyFyzFzyFzyz ()yzxFFSyz所以：第一章 矢量分析 可得：()yzxFFFyz()xzyFFFzx()yxzFFFxy同理：10()limlxSxF dlFS yyxxzzxyzxyzxyzFFFFFFrotAFeeeyzzxxyeeexyzFFF旋

34、度公式：第一章 矢量分析 圓柱坐標(biāo)系中圓柱坐標(biāo)系中球坐標(biāo)系中球坐標(biāo)系中1zzeeeAzAAA 2sin1sinsinrrerereArrArArA 廣義正交坐標(biāo)系中廣義正交坐標(biāo)系中1231231231 231231231uuuuuuhah ah aAhh huuuh Ah Ah A第一章 矢量分析 關(guān)于旋度的一些計(jì)算關(guān)于旋度的一些計(jì)算()ABAB()AAA ()A BBAAB2()AAA ,A理解：微分算符 既要作用 上，也要作用到故有兩項(xiàng)，而 作用在 上時(shí)只能采用的形式,AB理解：既要作用，也要作用故有兩項(xiàng)；從矢量運(yùn)算看，相當(dāng)于三個(gè)矢量的混合積，注意第二項(xiàng)三個(gè)矢量順序的對(duì)調(diào)相當(dāng)于三個(gè)矢量的矢

35、積第一章 矢量分析 3、斯托克斯定理（斯托克斯定理（斯托克斯公式）斯托克斯公式）()cSA dlAdS物理意義：物理意義：一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度的面積分等于該矢量的線(xiàn)積分作用：作用：它將矢量 的線(xiàn)積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分，或?qū)⑹噶康男鹊拿娣e分變換成該矢量的線(xiàn)積分。AA第一章 矢量分析 11()cdd lAAS1101limrotcnSdSlAe證明：證明：對(duì)有限大對(duì)有限大面面積積S，可按如圖方式進(jìn)行分割，對(duì)每一小面積元有可按如圖方式進(jìn)行分割，對(duì)每一小面積元有22()clA dAdS)11()clA dAdS()cSlA dAdS 得證！得證！第一章 矢量分析 矢量場(chǎng)的源矢量場(chǎng)的源旋度源：旋度源

36、：是矢量源，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，矢量場(chǎng)沿閉合回路的環(huán)量等于（或正比于）穿過(guò)以閉合曲線(xiàn)為邊界的曲面的旋度源；源的密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。00,SqE dSE散度源：散度源：是標(biāo)量源，矢量場(chǎng)在封閉曲面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和；源的密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度，如 H dlHJI，第一章 矢量分析 例例1 求矢量場(chǎng)A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的環(huán)量面密度。解：解：矢量場(chǎng)A的旋度 zyxzyxexyezxeyzxyzzxyyzxzyxeeeArotA)(

37、)()()()()(第一章 矢量分析 在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度 zyxMeeeA2n方向的單位矢量 zyxzyxeeeeeen737672)362(3621222在點(diǎn)M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度 7177327672nAM第一章 矢量分析 1、兩個(gè)恒等式、兩個(gè)恒等式1.6 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)源（散）場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)源（散）場(chǎng)0 ()0A 標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒等于零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒等于零矢量場(chǎng)的旋度的散度恒等于零矢量場(chǎng)的旋度的散度恒等于零2、幾種場(chǎng)、幾種場(chǎng)1)1)有源無(wú)旋場(chǎng)有源無(wú)旋場(chǎng)00FF 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)內(nèi)()F r第一章 矢量分析 3)3)有源無(wú)旋場(chǎng)為有源無(wú)

38、旋場(chǎng)為保守場(chǎng)保守場(chǎng)，其重要性質(zhì)為：，其重要性質(zhì)為：()0cF rdl 1)1)為矢量場(chǎng)通量源密度；為矢量場(chǎng)通量源密度；說(shuō)明：說(shuō)明：2)2)無(wú)源有旋場(chǎng)無(wú)源有旋場(chǎng) 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)內(nèi)()F r00FFJ說(shuō)明：說(shuō)明：1 1）式中）式中 為矢量場(chǎng)漩渦源密度。為矢量場(chǎng)漩渦源密度。J0FF 稱(chēng)為標(biāo)量（勢(shì)）位稱(chēng)為標(biāo)量（勢(shì)）位2)例Egradu（稱(chēng)為矢量位）稱(chēng)為矢量位）A0SF dS3 3）無(wú)散場(chǎng)無(wú)散場(chǎng)（或渦旋場(chǎng)）或渦旋場(chǎng)）的面積分為零的面積分為零2)2)根據(jù)根據(jù) ，則，則FA()0A 第一章 矢量分析 3 3）、調(diào)和場(chǎng)（無(wú)源無(wú)旋場(chǎng)）、調(diào)和場(chǎng)（無(wú)源無(wú)旋場(chǎng)）注意：注意：不存在不存在整個(gè)

39、空間整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。200()00FFuFuu 4）、有源有旋場(chǎng)）、有源有旋場(chǎng)00FFJ有源有旋場(chǎng)可分解一個(gè)有源無(wú)旋場(chǎng)和無(wú)源有旋場(chǎng)之和，即：有源有旋場(chǎng)可分解一個(gè)有源無(wú)旋場(chǎng)和無(wú)源有旋場(chǎng)之和，即：()()()lcF rF rF r()()0llF rF r()0()ccF rF rJ()()lF rF r ()()cF rF rJ 第一章 矢量分析 1.7 拉普拉斯運(yùn)算拉普拉斯運(yùn)算1 1、拉普拉斯運(yùn)算、拉普拉斯運(yùn)算2222222xyz 其中，1）標(biāo)量函數(shù)的拉普拉斯算符（拉氏算子）xyzxyzeeeeeexyzxyz（）（）2 2作用于標(biāo)量時(shí)，

40、2222222xyz =第一章 矢量分析 圓柱坐標(biāo)系中圓柱坐標(biāo)系中 22222211z 22222222111sinsinsinrrrrrr 球坐標(biāo)系中球坐標(biāo)系中可證明：在直角坐標(biāo)系下，有2()()FFF 結(jié)果為矢量2 2）矢量函數(shù)的拉普拉斯算符）矢量函數(shù)的拉普拉斯算符22222222()()xxxxxxxxyzFFFFFFF 22()()yyyyFFFF 22()()zzzzFFFF 第一章 矢量分析 2 2、格林定理、格林定理0dddVssVsFFsFn 在高斯定理中，20ddd(1)VssVssn n應(yīng)用高斯散度定理及方向?qū)?shù)與梯度關(guān)系，得F2F 令則2222xxyyzzFeFeFeF

41、故，在直角坐標(biāo)系中注意：僅直角坐標(biāo)系下 可分解為 的三個(gè)分量的標(biāo)性拉普拉斯運(yùn)算2FF第一章 矢量分析,把上式中的 和 交換位置，則有2ddVsVsn將上式與（1）式相減得22ddd2（）VssVsnns 這就是格林第二恒等式。格林定理說(shuō)明了區(qū)域 V 中的場(chǎng)與邊界 S 上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問(wèn)題。20ddd(1)VssVssn n第一章 矢量分析 1.7 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 lcFFF 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：一個(gè)矢量場(chǎng)所具有的性質(zhì)可由它的散度和旋一個(gè)矢量場(chǎng)所具有的性質(zhì)可由它的散度和旋度來(lái)說(shuō)明，并且可以證明在度來(lái)說(shuō)明，并且可以證明

42、在無(wú)限大空間區(qū)域無(wú)限大空間區(qū)域，一個(gè)矢量場(chǎng)由其，一個(gè)矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定。散度和旋度唯一確定。亥姆霍茲定理表明亥姆霍茲定理表明:1、一個(gè)矢量場(chǎng)可以表示表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng) (只有散度)和一個(gè)無(wú)散場(chǎng)（只有旋度)之和：lFcF()()0llF rF r()0()ccF rF rJ第一章 矢量分析 0ccFFA 0llFF lcFAFF故，lclFFFF 通量源密度lccFFFFJ 渦旋源密度另另 其中無(wú)散分量 可由 的旋度度來(lái)完全確定FcF 其中無(wú)旋分量 可由 的散度來(lái)確定FlF說(shuō)明:矢量場(chǎng)的散度代表著形成矢量場(chǎng)的一種源標(biāo)量源說(shuō)明:矢量場(chǎng)的旋度代表著形成矢量場(chǎng)的一種源矢量源J當(dāng)一種矢量場(chǎng)的兩種

43、源 都確定了，則該矢量場(chǎng)也就確定了。J（，）第一章 矢量分析 研究一個(gè)矢量場(chǎng)的性質(zhì)時(shí)，需要從矢量場(chǎng)的散度和旋度兩方面去研究，得到矢量場(chǎng)的微分方程（基本方程）。說(shuō)說(shuō)明明2 在有界區(qū)域有界區(qū)域，矢量場(chǎng)不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與邊界條件有關(guān)。所謂邊界條件指包圍區(qū)域的閉合曲面上矢量場(chǎng)的切向分量和法向分量所滿(mǎn)足的方程。說(shuō)明說(shuō)明3：亥姆霍茲定理 是研究電磁場(chǎng)與電磁波的一條主線(xiàn) 有時(shí)候，當(dāng)場(chǎng)量在某些點(diǎn)或者面上不連續(xù)的時(shí)候，就要從矢量的環(huán)流和通量?jī)煞矫嫒パ芯?，得到矢量?chǎng)的積分形式的基本方程。FFJSVF dSdVcSF dlJ dS第一章 矢量分析 l亥姆霍茲定理的意義非常重要，是研究電磁場(chǎng)理論的一條主線(xiàn)。它告訴我們，研究一個(gè)矢量場(chǎng)必須從它的散度和旋度兩個(gè)方面著手，無(wú)論是靜態(tài)電磁場(chǎng)還是時(shí)變電磁場(chǎng)問(wèn)題，都要研究它們的散度，旋度和邊界條件。因此，矢量場(chǎng)的旋度和散度滿(mǎn)足的關(guān)系，決定了矢量場(chǎng)的基本性質(zhì)，故稱(chēng)之為矢量場(chǎng)的基本方程。后面我們將要介紹的靜電場(chǎng)的基本方程、時(shí)變場(chǎng)的麥克斯維方程都是描述電場(chǎng)或磁場(chǎng)的散度和旋度關(guān)系。第一章 矢量分析