第1章 矢量分析

第一章 矢量分析 第一章 矢量分析 1 1、矢量代數(shù)運算與常用坐標系、矢量代數(shù)運算與常用坐標系 2 2、標量場的方向?qū)?shù)和梯度、標量場的方向?qū)?shù)和梯度 3 3、矢量場的通量和散度、矢量場的通量和散度 4 4、矢量場的環(huán)量和旋度、矢量場的環(huán)量和旋度 5 5、高斯定理、斯托克斯定理，以及二階微分運算高斯定理、斯托克斯定理，以及二階微分運算 6 6、亥姆霍茲定理、亥姆霍茲定理 第一章 矢量分析 矢量的大小或模矢量的大小或模AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量矢量數(shù)學(xué)表示：矢量數(shù)學(xué)表示：AAeAAAAe AeA矢量的幾何表示：矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意：單位矢量不一定是常矢量。注意：單位矢量不一定是常矢量。A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量：常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。1 1、矢量的表示、矢量的表示 1.1 矢量代數(shù)運算與常用坐標系矢量代數(shù)運算與常用坐標系 第一章 矢量分析 zzyyxxeAeAeAAAAAAAAxyzcoscoscosAAAecoscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxy矢量的直角坐標分量表示矢量的直角坐標分量表示222xyzAAAA第一章 矢量分析 2 2、矢量的加減運算、矢量的加減運算 ABBA ABBA B BA xxyyzzCAB(AB)i(AB)j(AB)k xxyyzzCAB(AB)i(AB)j(AB)k直角坐標系下：第一章 矢量分析 B AA B cosxxyyzzA BABA BA BA B 性質(zhì)：3 3、矢量的乘法、矢量的乘法1）矢量的標積（點積）矢量的標積（點積）含義：一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標量。BABA02AAA第一章 矢量分析 ()()()xyzxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeA BAAABBBeA BA BeA BA Be A BA BsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB2）矢積（叉乘積）矢積（叉乘積）0CA BABsinc直角坐標系下：性質(zhì)：ABBABABA/0 0 AA第一章 矢量分析 3 3）、三重積：）、三重積：三個矢量相乘有以下幾種形式：()A B C矢量，標量與矢量相乘。()ABC標量，標量三重積。矢量，矢量三重積。a.a.標量三重積標量三重積法則：在矢量運算中,先算叉積,后算點積。定義：sincosA BCABC()ABC含義：含義：標量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積。ABCh B C()()()()()()ABCCABBCAACBBA CCBA 性質(zhì)：性質(zhì)：第一章 矢量分析 規(guī)則規(guī)則：括號外的矢量與括號內(nèi)較遠的矢 量點乘，所得項為正，令一項為負。在直角坐標系中：()()xyzxyzxxyyzzxyzxyzxyzxyzaaaAAAAB CA aA aA aBBBBBBCCCCCCb.b.矢量三重積矢量三重積：12()()()ABCBCA C BA B C ()()()B CAA B CA C B 表明表明：把三個矢量按循環(huán)次序輪換，其積不變；若只 要把兩矢量對調(diào)，其積差一負號第一章 矢量分析 zeyexerzyx位置矢量位置矢量線元矢量線元矢量zeyexelzyxdddd體積元體積元zyxVdddd面元矢量面元矢量zyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzdddddzxelleSyzxyyddddd坐標變量坐標變量,(,)x y zx y z 坐標單位矢量坐標單位矢量zyxeee,點點P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面）o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標系直角坐標系 xezeyex yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元直角坐標系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddyydSe dxdz 1.2 常用坐標系常用坐標系 1 1、直角坐標系、直角坐標系(,)x y z第一章 矢量分析 xxyyzzAA eA eA exyzxyzxyzyzxyxzxyzyzxzxyeeeABAAABBBAAAAAAeeeBBBBBBxxyyzzA BA BA BA B 第一章 矢量分析 2、圓柱坐標系圓柱坐標系(,)z 2oz ，cossinxyzzzzzeeeeeeeee22tan/xyy x，坐標單位矢量坐標單位矢量,zee e 第一章 矢量分析 zzAA eA eA e zree z位置矢量線元矢量ddddzleee z dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle 面元矢量dd d dVz 體積元第一章 矢量分析 3 球面坐標系球面坐標系 02or，0，(,)r rrreeeeeeeee，cossinsincossinxyrzrr22222tan/tan/rxyzy xxyz第一章 矢量分析 rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr面元矢量面元矢量rrAA eA eA e 第一章 矢量分析 注意事項注意事項l直角坐標系中xyzeee、為常矢量柱坐標系中為變矢量；ee、ze為常矢量球坐標系中reee、均為變矢量；l各坐標系中，拉梅系數(shù)不同直角坐標系中123123,1dldx dldy dldzhhh即圓柱坐標系中123,1,zdlddlddldzhhh即 123,sin1,sinrdldr dlrddlrdhhr hr有 球坐標系中第一章 矢量分析 1、直角坐標系與柱坐標系的關(guān)系cossin0sincos0001xyzz eeeeeecossin0sincos0001xyzz eeeeeel各坐標系中，單位矢量的換算關(guān)系cossinsincosxyxy eeeeee第一章 矢量分析 sin cossin sincoscos coscos sinsinsincos0rxyz eeeeeesin coscos cossinsin sincos sincoscossin0 xryzeeeeee2、直角坐標系與球坐標系的關(guān)系sin cossin sincoscos coscossinsinsincosrxyzxyzxy eeeeeeeeeee第一章 矢量分析 球坐標系中的基矢不是常矢量,應(yīng)該把矢量沿質(zhì)點所處位置的基矢，“就地”進行正交分解.例1、下面從速度的定義 導(dǎo)出球坐標系中速度的表達式。0dlimd trrvttsin rrrerere 當 時，在 方向上分量可用弧長 和 表示，故0 tr,e ersin rerererrsin0sinlim rtrererevt第一章 矢量分析 如果某物理量在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點，在每如果某物理量在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點，在每一時刻都對應(yīng)著一個確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定一時刻都對應(yīng)著一個確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間了該物理量的一個場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)。場的一個重要的屬性是它占有一定空區(qū)域上的函數(shù)。場的一個重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)，除有限個點和表面外，其物間，而且在該空間域內(nèi)，除有限個點和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)的。理量應(yīng)是處處連續(xù)的。場的概念場的概念 1.3 場的概念場的概念 標量場的梯度標量場的梯度 第一章 矢量分析 :標量場場量為標量場矢量場：場量為矢量按場量的數(shù)學(xué)性質(zhì)劃分：按場量的數(shù)學(xué)性質(zhì)劃分：(static field)(time-varing field)靜態(tài)場場時變場似穩(wěn)場，準靜態(tài)場，變化很慢的時變場 按場量的時間變化特性劃分按場量的時間變化特性劃分:場的分類第一章 矢量分析 1.1.標量場的等值面標量場的等值面標量場的等值線標量場的等值線(面面)等值面等值面:標量場為同一數(shù)值的點在空間標量場為同一數(shù)值的點在空間 形成的曲面。形成的曲面。Czyxu),(等值面方程：等值面方程：常數(shù)常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交標量場的等值面互不相交。等值面的特點等值面的特點：第一章 矢量分析 2、標量場的方向?qū)?shù)和梯度標量場的方向?qū)?shù)和梯度1）標量場的方向?qū)?shù)標量場的方向?qū)?shù)/0()()limlMMMll 若當若當M M /趨于趨于M M 時，極限時，極限 存在，稱此極限為存在，稱此極限為函數(shù)函數(shù) 在點在點 M M 處沿處沿l方向的方向的方向?qū)?shù)，方向?qū)?shù)，表示為表示為()M/0()()limlMMl 設(shè)設(shè)M是標量場是標量場 中中的一個已知點，從的一個已知點，從M出發(fā)沿某出發(fā)沿某一方向引一條射線一方向引一條射線l,在在l上上M的的鄰近取一點鄰近取一點M/，MM/=()Ml第一章 矢量分析 000limcoscoscos lMMMdxdxdzllx dly dlz dlxyz 若函數(shù)若函數(shù) 在在M處可導(dǎo)處可導(dǎo)，cos、cos、cos為為l 的方向余弦，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有的方向余弦，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有(,)x y z 在同一位置處，沿不同方向有與之相應(yīng)的方向在同一位置處，沿不同方向有與之相應(yīng)的方向?qū)?shù)，即方向?qū)?shù)導(dǎo)數(shù)，即方向?qū)?shù)非唯一非唯一。思考：沿什么方向上，方向?qū)?shù)最大？第一章 矢量分析 2 2）、標量場的梯度）、標量場的梯度 定義：定義：場變化最大的方向為標量場梯度的場變化最大的方向為標量場梯度的 方向，其數(shù)值為最大變化率，記為方向，其數(shù)值為最大變化率，記為max(,)ldugradx y zedll()dddldln()dddndn方向：方向：第一章 矢量分析 lddn 。由于有dddndl，故有即沿等值面的法線方向，方向?qū)?shù)最大，這就是標量場梯度的方向。coscosnlleeddddgradedldndndn(,)ndgradx y zedn故，3 3）、梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系）、梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系 即，標量場梯度的方向沿等值面的法線方向第一章 矢量分析()xyzxyzeeexyzeeexgradyz xyzeeexyz 3、梯度的計算梯度的計算,xyzgradegradegradexyz直角坐標系中直角坐標系中 哈密頓算符哈密頓算符，為矢量微分算子,兼有矢量和微分算符性質(zhì)第一章 矢量分析 圓柱坐標系中圓柱坐標系中哈密頓微分算子哈密頓微分算子的表示式為的表示式為 1zeeez 1zeeez圓柱坐標系中的梯度圓柱坐標系中的梯度表示式為表示式為 第一章 矢量分析 球坐標系中球坐標系中哈密頓微分算子哈密頓微分算子的表示式為的表示式為 11sin reeerrr11sinreeerrr球坐標系中的梯度球坐標系中的梯度表示式為表示式為 第一章 矢量分析 梯度是矢量，它的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，梯度是矢量，它的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值等于最大空間變化率。其數(shù)值等于最大空間變化率。某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）4、梯度的性質(zhì)：、梯度的性質(zhì)：5 5、梯度運算的基本公式、梯度運算的基本公式uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0第一章 矢量分析 例1、求標量場u=xy2+yz3在M(2，-1，1)處的梯度沿l=2ex+2ey-1ez方向的方向?qū)?shù)。232()(2)3xyzxyzuuugraduueeexyzy exyz eyz e 將點M處的坐標帶入，可得 33xyzMgradueeel方向的單位矢量13lMuu el 故，221()333lxyzleeeel解：由梯度的計算公式第一章 矢量分析 例2、若Rrr，RR1）求()R11()()RR 2）證明xyzxyzre xe ye zre xe ye z解(1)，)()()xyzR rre x xe y ye z z （222()()()Rxxyyzz222()()()RxxxxxRxxyyzz,RyyRzzyRzR同理，()()f Rf R3）證明第一章 矢量分析)()()所以，（xyzxyzRRRReeexyze xxeyye zzRRR2）證明122221()()()xxyyzzR1111()()()()xyzeeeRx Ry Rz R122223222231()()()()1()()()2()2 xxxxRxxyyzzRxxyyzzxx第一章 矢量分析 1111()()()()xyzeeeRxRyRzR注意：3311(),()yyzzyRzRRR 同理，333111(),(),()xxyyzzxRyRzRRRR1111()()()()xyzeeeRx Ry Rz R33)()()xyze xxeyyezzRRR （第一章 矢量分析 311()()RRRR 故，()()f Rf R()3)對任意函數(shù)，根據(jù)梯度的運算公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得f R()()()()()()()()()()()()()(),()()xyzxyzf Rdf RRf RdRRdf Rdf R RdRdRRf Rf Rf Reeexyzf Rdf RRf Rdf RRf Rdf RRxdRxydRyzdRzRRReeexyzR()()()()同樣：df Rdf R Rf RRdRdRR第一章 矢量分析 例例3 在一對相距為在一對相距為l的點電荷的點電荷+q 和和-q 的靜電場的靜電場中，當中，當場點與它們的距離場點與它們的距離r l 時，其空間電位的表達式為時，其空間電位的表達式為 cos4),(20rqlr求其電場強度求其電場強度 。(,)E r 11sinreeerrr 11sinreeerrr解：解：利用 ，在球面坐標系中 E第一章 矢量分析 2300220012coscos442cossin440qlqlrrrrqlqlrr 20(,)cos4qlrr 11sin rEeeerrr30(2cossin)4rqleer第一章 矢量分析 電電偶偶極極子子的的電電場場分分布布圖圖第一章 矢量分析 1.4 矢量場的通量和散度矢量場的通量和散度 1、矢量場的幾何描述、矢量場線方程矢量場的幾何描述、矢量場線方程 矢量場矢量場 的場線微分方程為的場線微分方程為(,)A x y z矢量線能夠描述矢量場在空間的方向，但不能夠直觀描述矢量場的大小。矢量線能夠描述矢量場在空間的方向，但不能夠直觀描述矢量場的大小。矢量線是這樣的一些曲線，曲線上每一點的切線方向與該點的矢量場方向一致，曲線的密度正比于場量的大小。0A dlzyxzxyzyxA dy=A dzdxdydz0A dz=A dx=AAAA dx=A dyxyzxyzeeeA dlAAAdxdydz第一章 矢量分析 形形 態(tài)：態(tài)：1、無頭無尾的閉合曲線；2、有起點有終點；3、有起點，終止于無窮遠處；4、起始于無窮遠處，有終點。閉合曲線閉合曲線自無窮遠處自無窮遠處終點終點至無窮遠處至無窮遠處起點起點起點起點終點終點第一章 矢量分析 2、矢量場的通量矢量場的通量 面元矢量面元矢量dSndS 是面元法線方向的單位矢量是面元法線方向的單位矢量n 為了克服矢量線不能定量描述矢量場的大小的問題，引入通量的概念。因此，先介紹面元矢量的概念。開曲面，邊界曲線繞行方向與 構(gòu)成右手螺旋關(guān)系n對閉合曲面 S，法矢由內(nèi)向外第一章 矢量分析 封閉曲面 SA dS cosdA dSAdS cosSSA dSAdS 曲面S的通量矢量場通過閉合曲面的通量有三種可能結(jié)果，這說明閉合曲面內(nèi)有產(chǎn)生矢量場的源，稱這種源為通量源.通量源要發(fā)出或匯集矢量線意義：穿過該曲面的矢量線的條數(shù)。(正通量源正通量源)(無通量源，或代數(shù)和為零無通量源，或代數(shù)和為零）（負通量（負通量源源)元通量元通量第一章 矢量分析 3、矢量場的散度矢量場的散度 0limSVA dSdivAV 上式表明，散度是一個標量，它表示單位體積內(nèi)所穿出的通量，上式表明，散度是一個標量，它表示單位體積內(nèi)所穿出的通量，所以散度又稱為通量源密度，它表征通量源的分布特性。所以散度又稱為通量源密度，它表征通量源的分布特性。通量從宏觀上建立了矢量場的通量與曲面內(nèi)矢量場的源的關(guān)系。但通量從宏觀上建立了矢量場的通量與曲面內(nèi)矢量場的源的關(guān)系。但還不能反映場空間任意點矢量場還不能反映場空間任意點矢量場與與通量源通量源的關(guān)系。為了描述一個點附近的關(guān)系。為了描述一個點附近矢量矢量 的性質(zhì)，取如下的的性質(zhì)，取如下的極限，稱之為矢量場極限，稱之為矢量場 在某點的散度，記為在某點的散度，記為AA 若若 ，則該矢量場稱為，則該矢量場稱為有源場有源場，為源密度為源密度()0divA r若若 處處成立，則該矢量場稱為處處成立，則該矢量場稱為無源場無源場()0divA r 討論：討論：第一章 矢量分析 在直角坐標系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成。矢量場 表示為：FxxyyzzFF aF aF a1Szyx6S5S4S3S2S123123SSSSF dsF dsF dsF ds456456SSSF dsF dsF ds證明如下：)()yxzxyzx xy yz zAAAdivAeeeAeAeAexyzxyz（在直角坐標系中第一章 矢量分析 111()()xxxsF dsF x ay za zyxFx)(1222()xxxsF dsF x ay za 在x方向上：計算穿過 和 面的通量為2S1S1()xF xxy z 11()()()xxxF xF xxF xxx 因為：221()()xxsF xF dsF xy zx y zx 則：1212xssFF dsF dsx y zx 在x方向上,穿過 和 面的通量：1S2S第一章 矢量分析 在z方向上,穿過 和 面的總通量：5S6S5656ZssFF dsF dsx y zz 整個封閉曲面的總通量：yxzsFFFF dsx y zxyz 3434yssFF dsF dsx y zy 同理：在y 方向上,穿過 和 面的總通量：3S4S第一章 矢量分析 該閉合曲面所包圍的體積：該閉合曲面所包圍的體積：zyxV0limsVF dsdivFV zFyFxFzyx通常散度表示為：divFF圓柱坐標系中圓柱坐標系中:11()zAAAAz 球坐標系中球坐標系中:22111()(sin)sinsin rAAr AArrrr第一章 矢量分析 4、散度定理（高斯定理）、散度定理（高斯定理）SVA dSAdV關(guān)于散度的一些計算關(guān)于散度的一些計算()()ABABAAA 從散度的定義出發(fā)，可得到在矢量場中，通過空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場散度的體積分。第一章 矢量分析 散度定理的意義：證明：證明：可利用散度的定義與微積分方法相結(jié)合注意：111VSn222VSn21nn 公共面：物理角度：區(qū)域 V 中的場閉合面S 上的場數(shù)學(xué)角度：面積分體積分第一章 矢量分析 VSAdVA dS故，(),(1)iiSA dSAVin1inSSiA dSA dS1()niViAVAdViV由散度的定義，對任意體積元，有iV將上式對所有體積元求和，有第一章 矢量分析 SVr dSrdV例2 球面S上任意點的位置矢量為r=xex+yey+zez求 Sr dS法二：法二：根據(jù)散度定理知 而2213,()3rxyzrrr Axyzrr或者所以 3343343SVVr dSrdVdVrr法一：法一：可直接在球坐標下積分233300sinsin4SSr dSrd drddr 第一章 矢量分析 例例3 原點處點電荷q產(chǎn)生的電位移矢量 ，試求電位移矢量D的散度。2344rqqDerrr法一：法一：3334xyzqxyzDeeerrr法二：法二：()AAA 33311()()44qrqDrrrrr 3r3513rrr 333,444xyzqxqyqzDDDrrr222222555333,444yxDDq rxq ryq rzxryrr2222533()04xxxDDDqrxyzdivDDxyzr 353()0rDrrr 第一章 矢量分析 1.5 矢量場的環(huán)量和旋度矢量場的環(huán)量和旋度 cosccA dlAdl1、環(huán)流（環(huán)量、環(huán)流（環(huán)量）cH dlI例如，20cA dl、，場中有產(chǎn)生該矢量場的源-旋渦源說明：1、環(huán)流與所取的環(huán)面的方向有關(guān) 在矢量場 中，在研究的某點附近取一閉合曲線c，閉合曲線圍成一曲面 ，其法線方向 與閉合曲線c 的繞行方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。矢量 沿閉合曲線 c 線積分稱為該矢量場沿此閉合曲線環(huán)流環(huán)流。ASnA第一章 矢量分析 打開打開出水口出水口水流水流下漏下漏 旋渦矢量場：矢量線為閉合曲線的矢量場旋渦矢量場：矢量線為閉合曲線的矢量場 旋渦源：能激勵出旋渦矢量場的激勵源旋渦源：能激勵出旋渦矢量場的激勵源 下漏的水柱激勵出旋渦流速場 ，是旋渦源v0Lv dl 取環(huán)繞該旋渦源的閉曲線L，有L例例1 1：出水口出水口關(guān)閉關(guān)閉水池水池 旋渦源（下漏水流）越大，則 越大。Lv dlv第一章 矢量分析 例例2：無電流導(dǎo)線無電流導(dǎo)線通電通電 電流激勵出旋渦磁場 ，是旋渦源B0 LldB 取環(huán)繞該旋渦源的閉曲線L，有 旋渦源（電流）越大，則 越大。LB dl第一章 矢量分析 結(jié)論：結(jié)論：1、的值正比于穿過閉曲線L的矢量場 的旋渦源的值。例如對穩(wěn)恒磁場0LB dlILA dlA2、環(huán)流與所取的環(huán)面的方向有關(guān)2、矢量場的旋度矢量場的旋度 導(dǎo)出思路：體現(xiàn)了穿過閉曲線 L 的旋渦源的大小；LA dl 體現(xiàn)了穿過L的旋渦源的平均密度；LA dls 當 L 收縮到僅包含一個點時，就體現(xiàn)了該點處穿過L的旋渦源的密度。LA dls第一章 矢量分析 0limcnsA dlrot As 1)1)環(huán)流面密度環(huán)流面密度考慮該極限值的唯一性（？）及與方向的關(guān)系 為得空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系,令面元S0，若如下極限存在，則稱該極限為矢量 在點M處沿 方向的環(huán)流面密度，記為nA 表示矢量場表示矢量場 在點在點M M處沿處沿 方向方向(穿過穿過 )的漩渦源密度；的漩渦源密度；nrot A()A rnS第一章 矢量分析 max0limcSA dlrotAnS 2)旋度旋度旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度,模值體現(xiàn)了該點處 的旋渦源密度的大??；方向體現(xiàn)了該點處旋渦源密度的方向。旋度是一個矢量，模值等于環(huán)流密度的最大值；方向為最大環(huán)流密度的方向。用 表示，即：rot A若若 則該矢量場稱為則該矢量場稱為渦旋場渦旋場，為為渦旋渦旋源密度源密度0rotAJJ若若 處處成立，則該矢量場稱為處處成立，則該矢量場稱為無旋場無旋場0rotA第一章 矢量分析 xyzxyzyyxxzzxyzeeerotAAxyzAAAAAAAAAeeeyxxzxy可證明，在直角坐標系中旋度表達式rotnFn rotArotAn某方向的環(huán)流面密度與旋度的關(guān)系：.（）第一章 矢量分析 xxyyzzFF aF aF a場矢量：1bccddaablbccddaabllllF dlF dlF dlF dlF dlxzydcba證明如下：證明如下：()abzdldza其中：bcydldyacdzdldza()daydldya1()()yzyzyzlFFF dlFyFyzFzyFzyz ()yzxFFSyz所以：第一章 矢量分析 可得：()yzxFFFyz()xzyFFFzx()yxzFFFxy同理：10()limlxSxF dlFS yyxxzzxyzxyzxyzFFFFFFrotAFeeeyzzxxyeeexyzFFF旋度公式：第一章 矢量分析 圓柱坐標系中圓柱坐標系中球坐標系中球坐標系中1zzeeeAzAAA 2sin1sinsinrrerereArrArArA 廣義正交坐標系中廣義正交坐標系中1231231231 231231231uuuuuuhah ah aAhh huuuh Ah Ah A第一章 矢量分析 關(guān)于旋度的一些計算關(guān)于旋度的一些計算()ABAB()AAA ()A BBAAB2()AAA ,A理解：微分算符 既要作用 上，也要作用到故有兩項，而 作用在 上時只能采用的形式,AB理解：既要作用，也要作用故有兩項；從矢量運算看，相當于三個矢量的混合積，注意第二項三個矢量順序的對調(diào)相當于三個矢量的矢積第一章 矢量分析 3、斯托克斯定理（斯托克斯定理（斯托克斯公式）斯托克斯公式）()cSA dlAdS物理意義：物理意義：一個矢量場的旋度的面積分等于該矢量的線積分作用：作用：它將矢量 的線積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分，或?qū)⑹噶康男鹊拿娣e分變換成該矢量的線積分。AA第一章 矢量分析 11()cdd lAAS1101limrotcnSdSlAe證明：證明：對有限大對有限大面面積積S，可按如圖方式進行分割，對每一小面積元有可按如圖方式進行分割，對每一小面積元有22()clA dAdS)11()clA dAdS()cSlA dAdS 得證！得證！第一章 矢量分析 矢量場的源矢量場的源旋度源：旋度源：是矢量源，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，矢量場沿閉合回路的環(huán)量等于（或正比于）穿過以閉合曲線為邊界的曲面的旋度源；源的密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。00,SqE dSE散度源：散度源：是標量源，矢量場在封閉曲面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和；源的密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度，如 H dlHJI，第一章 矢量分析 例例1 求矢量場A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在點M(1，0，1)處的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的環(huán)量面密度。解：解：矢量場A的旋度 zyxzyxexyezxeyzxyzzxyyzxzyxeeeArotA)()()()()()(第一章 矢量分析 在點M(1，0，1)處的旋度 zyxMeeeA2n方向的單位矢量 zyxzyxeeeeeen737672)362(3621222在點M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度 7177327672nAM第一章 矢量分析 1、兩個恒等式、兩個恒等式1.6 無旋場與無源（散）場無旋場與無源（散）場0 ()0A 標量場的梯度的旋度恒等于零標量場的梯度的旋度恒等于零矢量場的旋度的散度恒等于零矢量場的旋度的散度恒等于零2、幾種場、幾種場1)1)有源無旋場有源無旋場00FF 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)內(nèi)()F r第一章 矢量分析 3)3)有源無旋場為有源無旋場為保守場保守場，其重要性質(zhì)為：，其重要性質(zhì)為：()0cF rdl 1)1)為矢量場通量源密度；為矢量場通量源密度；說明：說明：2)2)無源有旋場無源有旋場 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)內(nèi)()F r00FFJ說明：說明：1 1）式中）式中 為矢量場漩渦源密度。為矢量場漩渦源密度。J0FF 稱為標量（勢）位稱為標量（勢）位2)例Egradu（稱為矢量位）稱為矢量位）A0SF dS3 3）無散場無散場（或渦旋場）或渦旋場）的面積分為零的面積分為零2)2)根據(jù)根據(jù) ，則，則FA()0A 第一章 矢量分析 3 3）、調(diào)和場（無源無旋場）、調(diào)和場（無源無旋場）注意：注意：不存在不存在整個空間整個空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。200()00FFuFuu 4）、有源有旋場）、有源有旋場00FFJ有源有旋場可分解一個有源無旋場和無源有旋場之和，即：有源有旋場可分解一個有源無旋場和無源有旋場之和，即：()()()lcF rF rF r()()0llF rF r()0()ccF rF rJ()()lF rF r ()()cF rF rJ 第一章 矢量分析 1.7 拉普拉斯運算拉普拉斯運算1 1、拉普拉斯運算、拉普拉斯運算2222222xyz 其中，1）標量函數(shù)的拉普拉斯算符（拉氏算子）xyzxyzeeeeeexyzxyz（）（）2 2作用于標量時，2222222xyz =第一章 矢量分析 圓柱坐標系中圓柱坐標系中 22222211z 22222222111sinsinsinrrrrrr 球坐標系中球坐標系中可證明：在直角坐標系下，有2()()FFF 結(jié)果為矢量2 2）矢量函數(shù)的拉普拉斯算符）矢量函數(shù)的拉普拉斯算符22222222()()xxxxxxxxyzFFFFFFF 22()()yyyyFFFF 22()()zzzzFFFF 第一章 矢量分析 2 2、格林定理、格林定理0dddVssVsFFsFn 在高斯定理中，20ddd(1)VssVssn n應(yīng)用高斯散度定理及方向?qū)?shù)與梯度關(guān)系，得F2F 令則2222xxyyzzFeFeFeF 故，在直角坐標系中注意：僅直角坐標系下 可分解為 的三個分量的標性拉普拉斯運算2FF第一章 矢量分析,把上式中的 和 交換位置，則有2ddVsVsn將上式與（1）式相減得22ddd2（）VssVsnns 這就是格林第二恒等式。格林定理說明了區(qū)域 V 中的場與邊界 S 上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。20ddd(1)VssVssn n第一章 矢量分析 1.7 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 lcFFF 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：一個矢量場所具有的性質(zhì)可由它的散度和旋一個矢量場所具有的性質(zhì)可由它的散度和旋度來說明，并且可以證明在度來說明，并且可以證明在無限大空間區(qū)域無限大空間區(qū)域，一個矢量場由其，一個矢量場由其散度和旋度唯一確定。散度和旋度唯一確定。亥姆霍茲定理表明亥姆霍茲定理表明:1、一個矢量場可以表示表示為一個無旋場 (只有散度)和一個無散場（只有旋度)之和：lFcF()()0llF rF r()0()ccF rF rJ第一章 矢量分析 0ccFFA 0llFF lcFAFF故，lclFFFF 通量源密度lccFFFFJ 渦旋源密度另另 其中無散分量 可由 的旋度度來完全確定FcF 其中無旋分量 可由 的散度來確定FlF說明:矢量場的散度代表著形成矢量場的一種源標量源說明:矢量場的旋度代表著形成矢量場的一種源矢量源J當一種矢量場的兩種源 都確定了，則該矢量場也就確定了。J（，）第一章 矢量分析 研究一個矢量場的性質(zhì)時，需要從矢量場的散度和旋度兩方面去研究，得到矢量場的微分方程（基本方程）。說說明明2 在有界區(qū)域有界區(qū)域，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與邊界條件有關(guān)。所謂邊界條件指包圍區(qū)域的閉合曲面上矢量場的切向分量和法向分量所滿足的方程。說明說明3：亥姆霍茲定理 是研究電磁場與電磁波的一條主線 有時候，當場量在某些點或者面上不連續(xù)的時候，就要從矢量的環(huán)流和通量兩方面去研究，得到矢量場的積分形式的基本方程。FFJSVF dSdVcSF dlJ dS第一章 矢量分析 l亥姆霍茲定理的意義非常重要，是研究電磁場理論的一條主線。它告訴我們，研究一個矢量場必須從它的散度和旋度兩個方面著手，無論是靜態(tài)電磁場還是時變電磁場問題，都要研究它們的散度，旋度和邊界條件。因此，矢量場的旋度和散度滿足的關(guān)系，決定了矢量場的基本性質(zhì)，故稱之為矢量場的基本方程。后面我們將要介紹的靜電場的基本方程、時變場的麥克斯維方程都是描述電場或磁場的散度和旋度關(guān)系。第一章 矢量分析