2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六單元 數(shù)列與算法 第41講 數(shù)列的綜合問題練習(xí) 理（含解析）新人教A版

第41講　數(shù)列的綜合問題 1．(2017·長春市高三質(zhì)量監(jiān)測(二))已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝3an－1(n∈N*)． (1)若數(shù)列{bn} 滿足bn＝an－，求證：{bn} 是等比數(shù)列； (2)若數(shù)列{cn}滿足cn＝log3an，Tn＝c1＋c2＋…＋cn，求證Tn>. (1)由已知得an＋1－＝3(an－)(n∈N*)， 從而有bn＋1＝3bn，又b1＝a1－＝1， 所以數(shù)列{bn}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)得bn＝3n－1，從而an＝3n－1＋， cn＝log3(3n－1＋)>log33n－1＝n－1， 所以Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn>0＋1＋2＋…＋n－1＝， 所以Tn>. 2．(2016·四川卷)已知數(shù)列{an}的首項為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*. (1)若2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)雙曲線x2－＝1的離心率為en，且e2＝，證明：e1＋e2＋…＋en>. (1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，兩式相減得到an＋2＝qan＋1，n≥1. 又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1， 故an＋1＝qan對所有n≥1都成立， 所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列． 從而an＝qn－1. 由2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列，可得 2a3＝3a2＋2，即2q2＝3q＋2，則(2q＋1)(q－2)＝0. 由已知，q>0，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*)． (2)證明：由(1)可知，an＝qn－1， 所以雙曲線x2－＝1的離心率 en＝＝. 由e2＝＝解得q＝. 因為1＋q2(k－1)＞q2(k－1)，所以＞qk－1(k∈N*)． 于是e1＋e2＋…＋en＞1＋q＋…＋qn－1＝， 故e1＋e2＋…＋en＞. 3．(2018·浙江卷)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中項．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1＝1，數(shù)列{(bn＋1－bn)an}的前n項和為2n2＋n. (1)求q的值； (2)求數(shù)列{bn}的通項公式． (1)由a4＋2是a3，a5的等差中項，得a3＋a5＝2a4＋4， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8. 由a3＋a5＝20，得8(q＋)＝20， 解得q＝2或q＝.因為q>1，所以q＝2. (2)設(shè)cn＝(bn＋1－bn)an，數(shù)列{cn}的前n項和為Sn. 由cn＝解得cn＝4n－1. 由(1)可得an＝2n－1，所以bn＋1－bn＝(4n－1)×()n－1， 故bn－bn－1＝(4n－5)×()n－2，n≥2， bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1) ＝(4n－5)×()n－2＋(4n－9)×()n－3＋…＋7×＋3. 設(shè)Tn＝3＋7×＋11×()2＋…＋(4n－5)×()n－2，n≥2， 則Tn＝3×＋7×()2＋…＋(4n－9)×()n－2＋(4n－5)×()n－1， 所以Tn＝3＋4×＋4×()2＋…＋4×()n－2－(4n－5)×()n－1， 因此Tn＝14－(4n＋3)×()n－2，n≥2. 又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)×()n－2. 又當(dāng)n＝1，bn＝1＝b1滿足上式， 所以bn＝15－(4n＋3)×()n－2. 4．設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對于所有的正整數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令bn＝(＋)(n∈N*)，求證：b1＋b2＋b3＋…＋bn<1＋n. (1)由已知＝(n∈N*)， 整理得Sn＝(an＋2)2，所以Sn＋1＝(an＋1＋2)2. 所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝[(an＋1＋2)2－(an＋2)2] ＝(a＋4an＋1－a－4an)， 整理得(an＋1＋an)(an＋1－an－4)＝0， 由題意知an＋1＋an≠0，而a1＝2，所以an＋1－an＝4， 即數(shù)列{an}是a1＝2，d＝4的等差數(shù)列， 所以an＝a1＋(n－1)d＝4n－2. (2)證明：令cn＝bn－1，則 cn＝(＋－2) ＝[(－1)＋(－1)]＝－. 故b1＋b2＋…＋bn－n＝c1＋c2＋…＋cn ＝(1－)＋(－)＋…＋(－) ＝1－<1. 故b1＋b2＋…＋bn<1＋n. 4