2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六單元 數(shù)列與算法 第37講 等差數(shù)列的概念及基本運(yùn)算練習(xí) 理（含解析）新人教A版

第37講　等差數(shù)列的概念及基本運(yùn)算 1．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n≥2)，則a6等于(D) A．16 B．8 C．2 D．4 由2a＝a＋a可知數(shù)列{a}是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為a＝1，公差d＝a－a＝4－1＝3. 所以{a}的通項(xiàng)a＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以an＝.所以a6＝＝4. 2．(2018·武漢二月調(diào)研)在等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn滿足S7－S2＝45，則a5＝(B) A．7 B．9 C．14 D．18 因?yàn)镾7－S2＝a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝45， 所以5a5＝45，所以a5＝9. 3．(2018·長(zhǎng)沙模擬)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，a4a9＝36，則前12項(xiàng)和S12的最小值為(D) A．78 B．48 C．60 D．72 因?yàn)镾12＝×12＝6(a1＋a12)＝6(a4＋a9)≥6×2＝12＝72. 4．(2016·湖北八校第一次聯(lián)考)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且＝＋1，則數(shù)列{an}的公差為(B) A．1 B．2 C．2015 D．2016 (方法１)由Sn＝，得＝， 所以－＝－＝＝＝1， 所以d＝2. (方法２)由Sn＝na1＋d，得 －＝(a1＋d)－(a1＋d)＝＝1， 所以d＝2. 5．(2018·北京卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝3，a2＋a5＝36，則{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_an＝6n－3__． (方法1)設(shè)公差為d.因?yàn)閍2＋a5＝36，所以(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36，所以2a1＋5d＝36.因?yàn)閍1＝3，所以d＝6，所以通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝6n－3. (方法2)設(shè)公差為d，因?yàn)閍2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3，所以a6＝33，所以d＝＝6.因?yàn)閍1＝3，所以通項(xiàng)公式an＝6n－3. 6．(經(jīng)典真題)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝?。? 由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1·Sn， 兩邊同除以Sn＋1·Sn，得－＝－1， 故數(shù)列是以－1為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列， 所以＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－. 7．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． (1)設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7，得d＝2. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝·n＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以當(dāng)n＝4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為－16. 8．(2016·浙江卷)如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn為△AnBnBn＋1的面積，則(A) A．{Sn}是等差數(shù)列 B．{S}是等差數(shù)列 C．{dn}是等差數(shù)列 D．uyboz5y是等差數(shù)列 (方法１)先求出三角形的面積，再利用等差數(shù)列的定義判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列． 作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直線B1Bn，垂足分別為C1，C2，C3，…，Cn，則A1C1∥A2C2∥…∥AnCn. 因?yàn)閨AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，所以|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|. 設(shè)|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c， 則|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)， 所以Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]＝c[(b－a)n＋(2a－b)]， 所以Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，所以數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列． (方法２)利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行判斷． 由題意可得，Sn＝hn·|BnBn＋1|， 因?yàn)閨BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，不妨設(shè)|BnBn＋1|＝2， 則Sn＝hn.因?yàn)閔n是頂點(diǎn)An到邊Bn－1Bn的距離，hn＋1是頂點(diǎn)An＋1到邊BnBn＋1的距離． 由梯形的中位線性質(zhì)可知：2hn＝hn－1＋hn＋1， 故{hn}是等差數(shù)列，所以{Sn}是等差數(shù)列． 9．(2018·江西南昌市一模)已知x2＋y2＝4，在這兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y之間插入三個(gè)實(shí)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個(gè)等差數(shù)列后三項(xiàng)和的最大值為　　. 設(shè)在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y之間插入三個(gè)實(shí)數(shù)后，這五個(gè)數(shù)為x，a1，a2，a3，y. 因?yàn)檫@五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列， 所以這個(gè)等差數(shù)列后三項(xiàng)和為 a2＋a3＋y＝＋＋y＝(x＋3y)． (方法１)由x2＋y2＝4，可設(shè)x＝2cos θ，y＝2sin θ， 則x＋3y＝2(cos θ＋3sin θ)≤2＝2. 所以a2＋a3＋y＝(x＋3y)≤×2＝. (方法２)令z＝x＋3y，則當(dāng)直線z＝x＋3y，即x＋3y－z＝0與圓相切時(shí)，z取得取大值與最小值． 又x2＋y2＝4表示圓心為(0,0)，半徑為2的圓， 由圓心到直線的距離等于半徑，得＝2， 得z＝±2，所以z的最大值為2. 所以(a2＋a3＋y)max＝×2＝. 10．已知數(shù)列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)． (1)求證數(shù)列為等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (1)證明：(方法１：構(gòu)造法) 因?yàn)閍1＝5且an＝2an－1＋2n－1， 所以當(dāng)n≥2時(shí)，an－1＝2(an－1－1)＋2n， 所以＝＋1，所以－＝1， 所以是以＝2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列． (方法２：代入法) 因?yàn)閍1＝5，n≥2時(shí)， 所以－＝－＝1， 所以是以＝2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知＝2＋(n－1)×1＝n＋1， 所以an＝(n＋1)2n＋1. 5