2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第六單元 數(shù)列與算法 第38講 等比數(shù)列的概念及基本運算練習 理（含解析）新人教A版

第38講　等比數(shù)列的概念及基本運算 1．公比為的等比數(shù)列{an}各項都是正數(shù)，且a3·a11＝16，則log2a16＝(B) A．4 B．5 C．6 D．7 a＝a3a11＝16，所以a7＝4.a16＝a7q9＝32， 所以log2a16＝5. 2．(2017·全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(B) A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，所以S7＝＝＝381，解得a1＝3. 3．(2018·相陽教育模擬)設(shè){an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項和，若amam＋1＝4m (m∈N*)，則＝ (A) A. B．4 C. D．8 取m＝1，2，得a1·a2＝4，a2·a3＝16，解得q2＝4， 易得q>0，所以q＝2.所以＝＝. 4．(2019·河南洛陽模擬)下列結(jié)論正確的是(D) A．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋n＋1，則{an}是等差數(shù)列 B．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－2，則{an}是等比數(shù)列 C．非零實數(shù)a，b，c不全相等，若a，b，c成等差數(shù)列，則，，也可能構(gòu)成等差數(shù)列 D．非零實數(shù)a，b，c不全相等，若a，b，c成等比數(shù)列，則，，一定構(gòu)成等比數(shù)列 對于A，由{an}成等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn可知，A不正確． 對于B，由{an}成等比數(shù)列?Sn＝Aqn＋B，且A＋B＝0可知，B不正確． 對于C，由a，b，c成等差數(shù)列，得2b＝a＋c， 若，，成等差數(shù)列，則＝＋＝＝， 所以b2＝ac，所以()2＝ac，化簡得a＝c，從而a＝b＝c，與非零實數(shù)a，b，c不全相等矛盾， 所以，，不可能構(gòu)成等差數(shù)列．故C不正確． 對于D，若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac， 所以＝＝×， 所以，，一定成等比數(shù)列，故D正確． 5．(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，則a4＝　－8　. 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 因為a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3， 所以a1(1＋q)＝－1，① a1(1－q2)＝－3.② ②÷①，得1－q＝3，所以q＝－2.所以a1＝1， 所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8. 6．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝　50　. 因為a1a20＝a10a11＝a9a12＝e5， 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20 ＝ln(a1·a2·…·a20) ＝ln[(a1·a20)·(a2·a19)·…·(a10·a11)] ＝ln(e5·e5·…·e5) ＝ln e50＝50. 7．(2018·全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通項公式； (2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m. (1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解． 若an＝2n－1，則Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m＝6. 8．(2018·浙江卷)已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)，若a1>1，則(B) A．a(chǎn)1<a3，a2<a4 B．a(chǎn)1>a3，a2<a4 C．a(chǎn)1<a3，a2>a4 D．a(chǎn)1>a3，a2>a4 構(gòu)造不等式ln x≤x－1， 則a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1， 所以a4＝a1·q3≤－1.由a1>1，得q<0. 若q≤－1，則ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)·(1＋q2)≤0. 又a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)≥a1>1， 所以ln(a1＋a2＋a3)>0，矛盾． 因此－1<q<0. 所以a1－a3＝a1(1－q2)>0，a2－a4＝a1q(1－q2)<0， 所以a1>a3，a2<a4. 9．(2018·廣州模擬)在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2018＝，則＋的最小值為__4__． 因為{an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，所以公比q>0， 又a2018＝，所以a2017＝，a2019＝， 所以＋＝q＋2·≥4(當且僅當q＝，取等號)． 所以＋的最小值為4. 10．已知等差數(shù)列{an}的公差為－1，且a2＋a7＋a12＝－6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn； (2)將數(shù)列{an}的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項．記{bn}的前n項和為Tn，若存在m∈N*，使對任意n∈N*總有Sn<Tm＋λ恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍． (1)由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，所以a1＝4. 所以an＝5－n，從而Sn＝. (2)由題意知，b1＝4，b2＝2，b3＝1， 設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝＝. Tm＝＝8[1－()m]． 又因為()m隨m遞減，故{Tm}為遞增數(shù)列， 得4≤Tm<8. 又因為Sn＝＝－(n2－9n) ＝－[(n－)2－]． 故(Sn)max＝S4＝S5＝10. 若存在m∈N*，使對任意n∈N*總有Sn<Tm＋λ恒成立， 則10≤8＋λ，解得λ≥2. 即λ的取值范圍是[2，＋∞)． 5