2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)46 橢圓 文（含解析）北師大版

課后限時(shí)集訓(xùn)(四十六)　 (建議用時(shí)：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．(2019·浦東新區(qū)模擬)方程kx2＋4y2＝4k表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．k＞4　 　B．k＝4　 　C．k＜4　 　D．0＜k＜4 D　[橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，焦點(diǎn)在x軸上，所以0＜k＜4.] 2．(2019·大同月考)已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1的離心率為，則m＝(　　) A．6 B． C．4 D．2 C　[由焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1，可得a＝，c＝. 由橢圓的離心率為，可得＝，解得m＝4.故選C．] 3．若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．＋y2＝1 B.＋＝1 C．＋y2＝1或＋＝1 D. 以上答案都不對(duì) C　[直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,1)，(－2,0)，由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.] 4．已知三點(diǎn)P(5,2)，F(xiàn)1(－6,0)，F(xiàn)2(6,0)，那么以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的橢圓的短軸長(zhǎng)為(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 B　[因?yàn)辄c(diǎn)P(5,2)在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝，|PF1|＝5，所以2a＝6，即a＝3，c＝6，則b＝3，故橢圓的短軸長(zhǎng)為6，故選B.] 5．(2019·唐山模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，橢圓C上存在點(diǎn)P使∠F1PF2為鈍角，則橢圓C的離心率的取值范圍是(　　) A． B． C． D． A　[因?yàn)闄E圓＋＝1上存在點(diǎn)P使∠F1PF2為鈍角，所以b＜c，則a2＝b2＋c2＜2c2，所以橢圓的離心率e＝＞.又因?yàn)閑＜1，所以e的取值范圍為，故選A．] 二、填空題 6．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0，－2)且a＝2b，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． ＋＝1　[∵c＝2，a2＝4b2， ∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，b2＝4，a2＝16. 又焦點(diǎn)在y軸上，∴標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.] 7．橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則∠F1PF2的大小為________． 120°　[由題意知a＝3，c＝.因?yàn)閨PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PF2|＝6－4＝2.所以cos∠F1PF2＝＝＝－，所以∠F1PF2＝120°.] 8．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，左焦點(diǎn)為F.以原點(diǎn)O為圓心的圓與直線BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)．若四邊形FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為________． 　[∵圓O與直線BF相切，∴圓O的半徑為，即OC＝，∵四邊形FAMN是平行四邊形，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，代入橢圓方程得＋＝1，∴5e2＋2e－3＝0，又0＜e＜1，∴e＝.] 三、解答題 9．分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)與橢圓＋＝1有相同的離心率且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－)； (2)已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，且P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5,3，過(guò)P且與長(zhǎng)軸垂直的直線恰過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)． [解]　(1)由題意，設(shè)所求橢圓的方程為＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)(2，－)，所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1. (2)由于焦點(diǎn)的位置不確定，所以設(shè)所求的橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)， 由已知條件得 解得a＝4，c＝2，所以b2＝12. 故橢圓方程為＋＝1或＋＝1. 10．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N. (1)若直線MN的斜率為，求C的離心率； (2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. [解]　(1)根據(jù)c＝及題設(shè)知M，＝，2b2＝3ac. 將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac， 解得＝，＝－2(舍去)． 故C的離心率為. (2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸， 所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)，故＝4，即b2＝4a.　?、? 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則 即 代入C的方程，得＋＝1.② 將①及c＝代入②得＋＝1. 解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2. B組　能力提升 1．(2019·六盤水模擬)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在橢圓C上，且∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|＝(　　) A．4　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．12 A　[由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，故選A．] 2．(2018·中山一模)設(shè)橢圓：＋＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B為橢圓在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，直線BO交橢圓于點(diǎn)C，O為原點(diǎn)，若直線BF平分線段AC，則橢圓的離心率為(　　) A． B． C． D． B　[如圖，設(shè)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM為△ABC的中位線，于是△OFM∽△AFB，且＝＝，即＝，解得e＝＝.故選B.] 3．(2019·臨沂模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓C的右頂點(diǎn)，橢圓C的離心率為，過(guò)點(diǎn)F1的直線l上存在點(diǎn)P，使得PA⊥x軸，且△F1F2P是等腰三角形，則直線l的斜率k(k＞0)為________． 　[法一：由題意知直線l的方程為y＝k(x＋c)(k＞0)，則P(a，k(a＋c))．∵橢圓C的離心率e＝＝，∴a＝2c，P(2c,3kc)，F(xiàn)2(c,0)．由題意知|F1F2|＝|F2P|，得(2c－c)2＋(3kc)2＝4c2，得k2＝.∵k＞0，∴k＝. 法二：根據(jù)題意不妨設(shè)橢圓C：＋＝1，P(2，t)(t＞0)，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．由題意知|F1F2|＝|F2P|，得(2－1)2＋t2＝4，得t2＝3，∵t＞0，∴t＝，∴P(2，)，∴k＝＝.] 4．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B. (1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率； (2)若＝2，·＝，求橢圓的方程． [解]　(1)∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，所以e＝＝. (2)由題知A(0，b)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c＝，設(shè)B(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B. 將B點(diǎn)坐標(biāo)代入＋＝1，得＋＝1， 即＋＝1，解得a2＝3c2，① 又由·＝(－c，－b)·＝， 得b2－c2＝1，即a2－2c2＝1.② 由①②解得c2＝1，a2＝3，從而有b2＝2. 所以橢圓的方程為＋＝1. - 6 -