2020版高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓22 三角恒等變換 理（含解析）北師大版

課后限時集訓(二十二)　三角恒等變換 (建議用時：60分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．(2018·南寧二模)已知cos 2α＝，則tan2α＝(　　) A.　　　　　　　　 B．2 C. D． D　[∵cos 2α＝cos2α－sin2α＝， ∴＝， 即＝，∴tan2α＝.] 2．(2019·湖北模擬)已知α∈，cos＝，則sin α的值等于(　　) A. B． C. D．－ C　[由題可知sin＝＝，則sin α＝－cos＝sinsin －coscos ＝×－×＝，故選C.] 3．已知α，β均為銳角，且sin 2α＝2sin 2β，則(　　) A．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B．tan(α＋β)＝2tan(α－β) C．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β) A　[法一：因為2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，sin 2α＝2sin 2β， 所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]， 展開，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)]， 整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)， 兩邊同時除以cos(α＋β)cos(α－β)，得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故選A. 法二：因為sin 2α＝2sin 2β， 所以＝ ＝＝＝3，即tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故選A.] 4．已知sin α＝＋cos α，且α∈，則的值為(　　) A．－ B． C．－ D． A　[因為sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，所以＝ ＝＝＝－，故選A.] 5．設a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，則a，b，c的大小關系是(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a(chǎn)＞c＞b D　[∵a＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(127°－50°)＝cos 77°＝sin 13°， b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin(56°－45°)＝sin 11°， c＝＝＝cos 78°＝sin 12°， 又sin x在上遞增， ∴sin 11°＜sin 12°＜sin 13° 即b＜c＜a，故選D．] 二、填空題 6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，則tan αtan β的值為________． 　[因為cos(α＋β)＝， 所以cos αcos β－sin αsin β＝① 因為cos(α－β)＝， 所以cos αcos β＋sin αsin β＝② ①＋②得cos αcos β＝. ②－①得sin αsin β＝. 所以tan αtan β＝＝.] 7．已知sin α＝，cos(α＋β)＝－，若α，β是銳角，則β＝________. 　[sin α＝，cos(α＋β)＝－，α，β是銳角， 則cos α＝，sin(α＋β)＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝， 所以β＝.] 8．(2019·長春質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝sin＋sin x的最大值為________． 　[函數(shù)f(x)＝sin＋sin x ＝sin x＋cos x＋sin x ＝sin x＋cos x ＝ ＝sin≤. 故最大值為.] 三、解答題 9．(2018·浙江高考)已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P. (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β滿足sin(α＋β)＝，求cos β的值． [解]　(1)由角α的終邊過點P，得sin α＝－， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝. (2)由角α的終邊過點P，得cos α＝－， 由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±. 由β＝(α＋β)－α，得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－或cos β＝. 10．(2019·溫州模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin xcos x＋cos2x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若－＜α＜0，f(α)＝，求sin 2α的值． [解]　(1)∵函數(shù)f(x)＝sin xcos x＋cos2x ＝sin 2x＋ ＝sin＋， ∴函數(shù)f(x)的最小正周期為＝π. (2)若－＜α＜0， 則2α＋∈， ∴f(α)＝sin＋＝， ∴sin＝， ∴2α＋∈， ∴cos ＝＝， ∴sin 2α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝. B組　能力提升 1．已知函數(shù)f(x)＝sin x＋cos x在x＝θ時取得最大值，則cos＝(　　) A．－ B．－ C. D． C　[法一：∵f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，又f(x)在x＝θ時取得最大值，∴θ＋＝＋2kπ(k∈Z)，即θ＝＋2kπ(k∈Z)，于是cos＝cos＝cos＝×－×＝，故選C. 法二：∵f(x)＝sin x＋cos x， ∴f′(x)＝cos x－sin x. 又f(x)在x＝θ時取得最大值，∴f′(θ)＝cos θ－sin θ＝0，即tan θ＝，則cos＝(cos 2θ－sin 2θ)＝×＝，故選C.] 2．4cos 50°－tan 40°＝(　　) A. B． C. D．2－1 C　[4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－ ＝＝ ＝ ＝＝ ＝ ＝＝·＝.] 3．(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2sin x＋sin 2x，則f(x)的最小值是________． －　[因為f(x)＝2sin x＋sin 2x， 所以f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cos2x＋2cos x－2＝4(cos ＋1)， 由f′(x)≥0得≤cos x≤1，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z， 由f′(x)≤0得－1≤cos x≤，2kπ＋≤x≤2kπ＋π或2kπ－π≤x≤2kπ－，k∈Z， 所以當x＝2kπ－(k∈Z)時，f(x)取得最小值， 且f(x)min＝f＝2sin＋sin 2＝－.] 4．已知函數(shù)f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0＜ω＜1)，直線x＝是函數(shù)f(x)的圖像的一條對稱軸． (1)求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間； (2)已知函數(shù)y＝g(x)的圖像是由y＝f(x)的圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移個單位長度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值． [解]　(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin， 由于直線x＝是函數(shù)f(x)＝2sin的圖像的一條對稱軸， 所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)， 解得ω＝k＋(k∈Z)， 又0＜ω＜1，所以ω＝， 所以f(x)＝2sin. 由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為 (k∈Z)． (2)由題意可得g(x)＝2sin， 即g(x)＝2cos ， 由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝， 又α∈，故＜α＋＜， 所以sin＝， 所以sin α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝. - 8 -