2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)46 立體幾何中的綜合問題 文 北師大版

課后限時集訓(xùn)46 立體幾何中的綜合問題 建議用時：45分鐘 1．(2019·昆明模擬)如圖，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，M是棱DD1上的一點，AA1⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2DC. (1)若M是DD1的中點，證明：平面AMB⊥平面A1MB1； (2)設(shè)四棱錐M­ABB1A1與四棱柱ABCD­A1B1C1D1的體積分別為V1與V2，求的值． [解](1)證明：因為AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，又AB⊥AD，AA1∩AD＝A， 所以BA⊥平面AA1D1D， 又MA1平面AA1D1D，所以BA⊥MA1. 因為AD＝DM，所以∠AMD＝45°，同理∠A1MD1＝45°， 所以AM⊥MA1，又AM∩BA＝A， 所以MA1⊥平面AMB， 又MA1平面A1MB1，故平面AMB⊥平面A1MB1. (2)設(shè)AD＝1， 則四棱錐M­ABB1A1的底面ABB1A1的面積SABB1A1＝4，高為AD＝1， 所以四棱錐M­ABB1A1的體積V1＝SABB1A1×AD＝. 四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的面積SABCD＝，高為AA1＝2，所以四棱柱ABCD­A1B1C1D1的體積V2＝SABCD×AA1＝3，所以＝. 2．(2019·哈爾濱模擬)如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E為CD的中點，將△ADE沿AE折到△APE的位置． (1)證明：AE⊥PB； (2)當(dāng)四棱錐P­ABCE的體積最大時，求點C到平面PAB的距離． [解](1)證明：在等腰梯形ABCD中，連接BD，交AE于點O， ∵AB∥CE，AB＝CE，∴四邊形ABCE為平行四邊形， ∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE為等邊三角形， ∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝，BD⊥BC， ∴BD⊥AE. 如圖，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE， 又OP平面POB，OB平面POB，OP∩OB＝O， ∴AE⊥平面POB，∵PB平面POB， ∴AE⊥PB. (2)當(dāng)四棱錐P­ABCE的體積最大時，平面PAE⊥平面ABCE. 又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE. ∵OP＝OB＝，∴PB＝，∵AP＝AB＝1，∴S△PAB＝××＝， 連接AC，則VP­ABC＝OP·S△ABC＝××＝， 設(shè)點C到平面PAB的距離為d，∵VP­ABC＝VC­PAB＝S△PAB·d，∴d＝＝＝. 3．(2019·鄭州模擬)如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝，△PAD是等邊三角形，F(xiàn)為AD的中點，PD⊥BF. (1)求證：AD⊥PB； (2)若E在線段BC上，且EC＝BC，能否在棱PC上找到一點G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱錐D­CEG的體積；若不存在，請說明理由． [解](1)證明：連接PF，∵△PAD是等邊三角形， ∴PF⊥AD. ∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝，∴BF⊥AD. 又PF∩BF＝F，∴AD⊥平面BFP，又PB平面BFP，∴AD⊥PB. (2)能在棱PC上找到一點G，使平面DEG⊥平面ABCD. 由(1)知AD⊥BF，∵PD⊥BF，AD∩PD＝D， ∴BF⊥平面PAD. 又BF平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD， 又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD， ∴PF⊥平面ABCD. 連接CF交DE于點H，過H作HG∥PF交PC于G， ∴GH⊥平面ABCD. 又GH平面DEG，∴平面DEG⊥平面ABCD. ∵AD∥BC，∴△DFH∽△ECH，∴＝＝， ∴＝＝，∴GH＝PF＝， ∴VD­CEG＝VG­CDE＝S△CDE·GH ＝×DC·CE·sin·GH＝. - 3 -