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高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題六 解析幾何 第3講 圓錐曲線的綜合問題練習(xí) 文

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高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題六 解析幾何 第3講 圓錐曲線的綜合問題練習(xí) 文

第3講 圓錐曲線的綜合問題                     1.(2016四川改編)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且PM=2MF,則直線OM的斜率的最大值為______. 答案  解析 如圖,由題意可知F,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,顯然,當(dāng)y0<0時(shí),kOM<0;當(dāng)y0>0時(shí),kOM>0,要求kOM的最大值,不妨設(shè)y0>0.則=+=+=+(-)=+=,kOM==≤=,當(dāng)且僅當(dāng)y=2p2時(shí)等號成立. 2.(2016課標(biāo)全國乙)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. (1)證明EA+EB為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍. 解 (1)因?yàn)锳D=AC,EB∥AC, 故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以EB=ED, 故EA+EB=EA+ED=AD. 又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而AD=4,所以EA+EB=4. 由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),AB=2,由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為:+=1(y≠0). (2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2). 由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0. 則x1+x2=,x1x2=, 所以MN=|x1-x2|=. 過點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m:y=-(x-1), 點(diǎn)A到m的距離為, 所以PQ=2=4. 故四邊形MPNQ的面積 S=MNPQ=12. 可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8). 當(dāng)l與x軸垂直時(shí),其方程為x=1,MN=3,PQ=8,四邊形MPNQ的面積為12. 綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8). 1.圓錐曲線的綜合問題一般以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體,以參數(shù)處理為核心,考查范圍、最值問題,定點(diǎn)、定值問題,探索性問題.2.試題解答往往要綜合應(yīng)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種思想方法,對計(jì)算能力也有較高要求,難度較大. 熱點(diǎn)一 范圍、最值問題 圓錐曲線中的范圍、最值問題,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題(以所求式子或參數(shù)為函數(shù)值),或者利用式子的幾何意義求解. 例1 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正方形. (1)求橢圓C的方程; (2)過點(diǎn)Q(1,0)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)P(4,3),記直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,當(dāng)k1k2取最大值時(shí),求直線l的方程. 解 (1)由題意可得b=c=,a=2, 故橢圓C的方程為+=1. (2)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),k1k2==. 當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí),設(shè)直線l的方程為x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2). 聯(lián)立整理得(m2+2)y2+2my-3=0, 故y1+y2=,y1y2=. 又x1=my1+1,x2=my2+1, 因此k1k2= = = ==+. 令t=4m+1,只考慮t>0時(shí), 故k1k2=+=+≤1,當(dāng)且僅當(dāng)t=5時(shí)取等號. 綜上可得,直線l的方程為x-y-1=0. 思維升華 解決范圍問題的常用方法: (1)數(shù)形結(jié)合法:利用待求量的幾何意義,確定出極端位置后,數(shù)形結(jié)合求解. (2)構(gòu)建不等式法:利用已知或隱含的不等關(guān)系,構(gòu)建以待求量為元的不等式求解. (3)構(gòu)建函數(shù)法:先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù),再求其值域. 跟蹤演練1 如圖,已知橢圓:+y2=1,點(diǎn)A,B是它的兩個(gè)頂點(diǎn),過原點(diǎn)且斜率為k的直線l與線段AB相交于點(diǎn)D,且與橢圓相交于E,F(xiàn)兩點(diǎn). (1)若=6,求k的值; (2)求四邊形AEBF面積的最大值. 解 (1)依題設(shè)得橢圓的頂點(diǎn)A(2,0),B(0,1), 則直線AB的方程為x+2y-2=0. 設(shè)直線EF的方程為y=kx(k>0). 設(shè)D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(xiàn)(x2,kx2),其中x1<x2, 聯(lián)立直線l與橢圓的方程消去y, 得方程(1+4k2)x2=4. 故x2=-x1=, 由=6知,x0-x1=6(x2-x0), 得x0=(6x2+x1)=x2=, 由點(diǎn)D在線段AB上,知x0+2kx0-2=0, 得x0=,所以=, 化簡,得24k2-25k+6=0,解得k=或k=. (2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,知點(diǎn)A,B到線段EF的距離分別為h1=,h2=, 又EF=, 所以四邊形AEBF的面積為 S=EF(h1+h2)= =2=2 =2≤2, 當(dāng)且僅當(dāng)4k=,即k=時(shí),取等號, 所以四邊形AEBF面積的最大值為2. 熱點(diǎn)二 定點(diǎn)、定值問題 1.由直線方程確定定點(diǎn),若得到了直線方程的點(diǎn)斜式:y-y0=k(x-x0),則直線必過定點(diǎn)(x0,y0);若得到了直線方程的斜截式:y=kx+m,則直線必過定點(diǎn)(0,m). 2.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等與題目中的參數(shù)無關(guān),不依參數(shù)的變化而變化,而始終是一個(gè)確定的值. 例2 如圖,曲線Γ由兩個(gè)橢圓T1:+=1(a>b>0)和橢圓T2:+=1 (b>c>0)組成,當(dāng)a,b,c成等比數(shù)列時(shí),稱曲線Γ為“貓眼曲線”.若貓眼曲線Γ過點(diǎn)(0,-),且a,b,c的公比為. (1)求貓眼曲線Γ的方程; (2)任作斜率為k(k≠0)且不過原點(diǎn)的直線與該曲線相交,交橢圓T1所得弦的中點(diǎn)為M,交橢圓T2所得弦的中點(diǎn)為N,求證:為與k無關(guān)的定值; (3)若斜率為的直線l為橢圓T2的切線,且交橢圓T1于點(diǎn)A,B,N為橢圓T1上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)N與點(diǎn)A,B不重合),求△ABN面積的最大值. (1)解 b=,∴a=2,c=1, ∴T1:+=1,T2:+x2=1. (2)證明 設(shè)斜率為k的直線交橢圓T1于點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),線段CD中點(diǎn)M(x0,y0), ∴x0=,y0=, 由 得+=0. ∵k存在且k≠0,∴x1≠x2,且x0≠0. ∴=-,即kkOM=-. 同理,kkON=-2,∴=,得證. (3)解 設(shè)直線l的方程為y=x+m, 聯(lián)立 ∴(b2+2c2)x2+2mc2x+m2c2-b2c2=0. ∵Δ=0,∴m2=b2+2c2, l1:y=x+ ∴(b2+2a2)x2+2ma2x+m2a2-b2a2=0. ∵Δ=0,∴m2=b2+2a2, l2:y=x-. 兩平行線間距離: d=, ∴AB=, AB==, d==. △ABN的面積最大值為 S==. 思維升華 (1)動(dòng)線過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法 ①動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題,解法:設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y=kx+t,由題設(shè)條件將t用k表示為t=mk,得y=k(x+m),故動(dòng)直線過定點(diǎn)(-m,0). ②動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題,解法:引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程,再根據(jù)其對參變量恒成立,令其系數(shù)等于零,得出定點(diǎn). (2)求解定值問題的兩大途徑 ①→ ②先將式子用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參數(shù)表示,再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值. 跟蹤演練2 已知拋物線:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F在雙曲線:-=1的右準(zhǔn)線上,拋物線與直線l:y=k(x-2)(k>0)交于A,B兩點(diǎn),AF,BF的延長線與拋物線交于C,D兩點(diǎn). (1)求拋物線的方程; (2)若△AFB的面積等于3,求k的值; (3)記直線CD的斜率為kCD,證明:為定值,并求出該定值. 解 (1)雙曲線:-=1的右準(zhǔn)線方程為x=1, 所以F(1,0),則拋物線的方程為y2=4x. (2)設(shè)A(,y1),B(,y2), 由得ky2-4y-8k=0, Δ=16+32k2>0,y1+y2=,y1y2=-8. S△AFB=1|y1-y2|= =2=3,解得k=2. (3)設(shè)C(,y3),則=(-1,y1),=(-1,y3), 因?yàn)锳,F(xiàn),C共線, 所以(-1)y3-y1(-1)=0, 即y+(-y1)y3-4=0. 解得:y3=y(tǒng)1(舍)或y3=-, 所以C(,-),同理D(,-), kCD==-=2k, 故=2(定值). 熱點(diǎn)三 探索性問題 1.解析幾何中的探索性問題,從類型上看,主要是存在類型的相關(guān)題型,解決這類問題通常采用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化.其步驟為:假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在,用待定系數(shù)法設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組,若方程組有實(shí)數(shù)解,則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在;否則,元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在. 2.反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題常用的方法. 例3 已知點(diǎn)P是橢圓C上的任一點(diǎn),P到直線l1:x=-2的距離為d1,到點(diǎn)F(-1,0)的距離為d2,且=. (1)求橢圓C的方程; (2)如圖,直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B(A,B都在x軸上方),且∠OFA+∠OFB=180. (ⅰ)當(dāng)A為橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線l的方程; (ⅱ)是否存在一個(gè)定點(diǎn),無論∠OFA如何變化,直線l總過該定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 解 (1)設(shè)P(x,y), 則d1=|x+2|,d2=, ==, 化簡得:+y2=1, ∴橢圓C的方程為+y2=1. (2)(ⅰ)由(1)知A(0,1),又F(-1,0), ∴kAF=1,∵∠OFA+∠OFB=180, ∴kBF=-1, ∴直線BF方程為y=-1(x+1)=-x-1, 代入+y2=1,得3x2+4x=0, 解得x=0或x=-, ∴B(-,),kAB=. ∴直線AB的方程為y=x+1. (ⅱ)由于∠OFA+∠OFB=180,∴kAF+kBF=0. 設(shè)直線AB方程為y=kx+b, 代入+y2=1, 得:(k2+)x2+2kbx+b2-1=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=-,x1x2=, ∴kAF+kBF=+ =+ ==0. ∴(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1) =2kx1x2+(k+b)(x1+x2)+2b =2k-(k+b)+2b=0. ∴b-2k=0,∴直線AB方程為y=k(x+2). ∴直線l總經(jīng)過定點(diǎn)(-2,0). 思維升華 解決探索性問題的注意事項(xiàng): 存在性問題,先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確則存在,若結(jié)論不正確則不存在. (1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí),要分類討論. (2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí),先假設(shè)成立,再推出條件. (3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)方法解題很難時(shí),要思維開放,采取另外的途徑. 跟蹤演練3 (2015四川)如圖,橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率是,點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上,且=-1. (1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)λ,使得+λ為定值?若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由. 解 (1)由已知,點(diǎn)C,D的坐標(biāo)分別為(0,-b),(0,b), 又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),且=-1, 于是解得a=2,b=, 所以橢圓E的方程為+=1. (2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2), 聯(lián)立得(2k2+1)x2+4kx-2=0, 其判別式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0, 所以x1+x2=-,x1x2=-, 從而,+λ =x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)] =(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = =--λ-2. 所以當(dāng)λ=1時(shí),--λ-2=-3, 此時(shí)+λ=-3為定值. 當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),直線AB即為直線CD, 此時(shí),+λ=+λ =-2-1=-3. 故存在常數(shù)λ=1,使得+λ為定值-3.                     已知橢圓C1:+=1(a>0)與拋物線C2:y2=2ax相交于A,B兩點(diǎn),且兩曲線的焦點(diǎn)F重合. (1)求C1,C2的方程; (2)若過焦點(diǎn)F的直線l與橢圓分別交于M,Q兩點(diǎn),與拋物線分別交于P,N兩點(diǎn),是否存在斜率為k(k≠0)的直線l,使得=2?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由. 押題依據(jù) 本題將橢圓和拋物線聯(lián)合起來設(shè)置命題,體現(xiàn)了對直線和圓錐曲線位置關(guān)系的綜合考查.關(guān)注知識(shí)交匯,突出綜合應(yīng)用是高考的特色. 解 (1)因?yàn)镃1,C2的焦點(diǎn)重合, 所以=, 所以a2=4. 又a>0,所以a=2. 于是橢圓C1的方程為+=1, 拋物線C2的方程為y2=4x. (2)假設(shè)存在直線l使得=2, 則可設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4). 由可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 則x1+x4=,x1x4=1, 所以PN= =. 由可得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 則x2+x3=,x2x3=, 所以MQ= =. 若=2, 則=2, 解得k=. 故存在斜率為k=的直線l,使得=2.                     A組 專題通關(guān) 1.平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是________________. 答案 (-∞,-1)∪(1,+∞) 解析 根據(jù)拋物線的概念可得機(jī)器人在以點(diǎn)F(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線y2=4x上,由題意可得直線y=k(x+1)與拋物線y2=4x沒有交點(diǎn),聯(lián)立直線與拋物線 消元可得y=k+k?y2-y+k=0, 即該方程無根,則k≠0且Δ=1-k2<0?k<-1或k>1, 所以k的取值范圍為(-∞,-1)∪(1,+∞). 2.已知橢圓+=1(0<b<2)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),若BF2+AF2的最大值為5,則b的值是________. 答案  解析 由橢圓的方程,可知長半軸長a=2;由橢圓的定義,可知AF2+BF2+AB=4a=8,所以AB=8-(AF2+BF2)≥3.由橢圓的性質(zhì),可知過橢圓焦點(diǎn)的弦中,通徑最短,即=3,可求得b2=3,即b=. 3.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓+=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最大值為________. 答案 6 解析 由題意得F(-1,0),設(shè)點(diǎn)P(x0,y0), 則y=3(1-)(-2≤x0≤2). =x0(x0+1)+y=x+x0+y =x+x0+3(1-) =(x0+2)2+2. 又因?yàn)椋?≤x0≤2,所以當(dāng)x0=2時(shí),取得最大值,最大值為6. 4.已知拋物線y2=2px(p>0),△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)△ABC三條邊AB,BC,AC的中點(diǎn)分別為M,N,Q,且M,N,Q的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,y3.若直線AB,BC,AC的斜率之和為-1,則++的值為______. 答案?。? 解析 設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC), 則 三個(gè)式子兩兩相減得 即 即 所以++=-. 5.若P為橢圓+=1上任意一點(diǎn),EF為圓(x-1)2+y2=4的任意一條直徑,則的取值范圍是________. 答案 [5,21] 解析 因?yàn)椋?-)(-) =-(+)+2 =-||||cos π-0+||2=-4+NP2. 又因?yàn)闄E圓+=1的a=4,b=,c=1, N(1,0)為橢圓的右焦點(diǎn),∴NP∈[a-c,a+c]=[3,5], ∴∈[5,21]. 6.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,A,B為左,右頂點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線C在第一象限的任意一點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線PA,PB,PO的斜率分別為k1,k2,k3,記m=k1k2k3,則m的取值范圍為________. 答案 (0,2) 解析 ∵雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,∴e==,∴b=a, 設(shè)P(x,y),∵點(diǎn)P為雙曲線C在第一象限的任意一點(diǎn), ∴-=1,且x>0,y>0, ∵A,B為雙曲線C的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),PA,PB,PO的斜率分別為k1,k2,k3, ∴k1k2==2,k3=>0, 又∵雙曲線的漸近線為y=x, ∴0<k3<,∴0<m=k1k2k3<2. 7.已知A(1,2),B(-1,2),動(dòng)點(diǎn)P滿足⊥.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡沒有公共點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍是________. 答案 (1,2) 解析 設(shè)P(x,y),由題設(shè)條件, 得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為(x-1)(x+1)+(y-2)(y-2)=0, 即x2+(y-2)2=1,它是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓. 又雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=x,即bxay=0,由題意,可得>1,即>1, 所以e=<2,又e>1,故1<e<2. 8.在直線y=-2上任取一點(diǎn)Q,過Q作拋物線x2=4y的切線,切點(diǎn)分別為A、B,則直線AB恒過定點(diǎn)________. 答案 (0,2) 解析 設(shè)Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程變?yōu)閥=x2,則y′=x,則在點(diǎn)A處的切線方程為y-y1=x1(x-x1),化簡得,y=x1x-y1,同理,在點(diǎn)B處的切線方程為y=x2x-y2.又點(diǎn)Q(t,-2)的坐標(biāo)滿足這兩個(gè)方程,代入得:-2=x1t-y1,-2=x2t-y2,則說明A(x1,y1),B(x2,y2)都滿足方程-2=xt-y,即直線AB的方程為y-2=tx,因此直線AB恒過定點(diǎn)(0,2). 9.(2016北京)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面積為1. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn),直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證:ANBM為定值. (1)解 由已知=,ab=1. 又a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=. ∴橢圓C的方程為+y2=1. (2)證明 由(1)知,A(2,0),B(0,1). 設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0,y0),則+y=1. 當(dāng)x0≠0時(shí),直線PA方程為y=(x-2), 令x=0得yM=. 從而BM=|1-yM|=. 直線PB方程為y=x+1. 令y=0得xN=. ∴AN=|2-xN|=. ∴ANBM= = = ==4. 當(dāng)x0=0時(shí),y0=-1,BM=2,AN=2, ∴ANBM=4. 故ANBM為定值. 10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)是橢圓C:+y2=1上一點(diǎn),從原點(diǎn)O向圓M:(x-x0)2+(y-y0)2=r2作兩條切線分別與橢圓C交于點(diǎn)P,Q,直線OP,OQ的斜率分別記為k1,k2. (1)若圓M與x軸相切于橢圓C的右焦點(diǎn),求圓M的方程; (2)若r=. ①求證:k1k2=-; ②求OPOQ的最大值. (1)解 因?yàn)闄E圓C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0),所以圓心M的坐標(biāo)為(,), 從而圓M的方程為 (x-)2+(y)2=. (2)①證明 因?yàn)閳AM與直線OP:y=k1x相切, 所以=, 即(4-5x0)2k+10x0y0k1+4-5y=0, 同理,有(4-5x)k+10x0y0k2+4-5y=0, 所以k1,k2是方程(4-5x)k2+10x0y0k+4-5y=0的兩根, 從而k1k2= = ==-. ②解 設(shè)點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2), 聯(lián)立 解得x=,y=, 同理,x=,y=, 所以O(shè)P2OQ2=(+)(+) = = ≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)k1=時(shí)取等號. 所以O(shè)POQ的最大值為. B組 能力提高 11.已知圓O1:(x-2)2+y2=16和圓O2:x2+y2=r2 (0<r<2),動(dòng)圓M與圓O1,圓O2都相切,動(dòng)圓圓心M的軌跡為兩個(gè)橢圓,這兩個(gè)橢圓的離心率分別為e1,e2 (e1>e2),則e1+2e2的最小值是__________. 答案  解析 ①當(dāng)動(dòng)圓M與圓O1,O2都相內(nèi)切時(shí), MO2+MO1=4-r=2a,故e1=. ②當(dāng)動(dòng)圓M與圓O1相內(nèi)切而與O2相外切時(shí), MO1+MO2=4+r=2a′,故e2=. 因此e1+2e2=+=, 令12-r=t (10<t<12),e1+2e2=2 ≥2==. 12.已知過定點(diǎn)(1,0)的直線與拋物線x2=y(tǒng)相交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則(x1-1)(x2-1)=________. 答案 1 解析 設(shè)過定點(diǎn)(1,0)的直線的方程為y=k(x-1), 代入拋物線x2=y(tǒng)可得x2-kx+k=0,故x1+x2=k,x1x2=k,因此(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=1. 13.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+=1 (a>b>0)的離心率e=,左頂點(diǎn)為A(-4,0),過點(diǎn)A作斜率為k (k≠0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E. (1)求橢圓C的方程; (2)已知P為AD的中點(diǎn),是否存在定點(diǎn)Q,對于任意的k (k≠0)都有OP⊥EQ,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由; (3)若過O點(diǎn)作直線l的平行線交橢圓C于點(diǎn)M,求的最小值. 解 (1)因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為A(-4,0), 所以a=4,又e=,所以c=2, 又因?yàn)閎2=a2-c2=12, 所以橢圓C的方程為+=1. (2)直線l的方程為y=k(x+4), 由 消元得,+=1. 化簡得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2-12]=0, 所以x1=-4,x2=. 當(dāng)x=時(shí),y=k(+4)=, 所以D(,). 因?yàn)辄c(diǎn)P為AD的中點(diǎn), 所以P的坐標(biāo)為(,), 則kOP=- (k≠0). 直線l的方程為y=k(x+4),令x=0, 得E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4k), 假設(shè)存在定點(diǎn)Q(m,n)(m≠0),使得OP⊥EQ, 則kOPkEQ=-1,即-=-1恒成立, 所以(4m+12)k-3n=0恒成立, 所以 即 因此定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-3,0). (3)因?yàn)镺M∥l,所以O(shè)M的方程可設(shè)為y=kx, 由 得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=, 由OM∥l,得 = == = =(+)≥2, 當(dāng)且僅當(dāng)=, 即k=時(shí)取等號, 所以當(dāng)k=時(shí),的最小值為2.

注意事項(xiàng)

本文(高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題六 解析幾何 第3講 圓錐曲線的綜合問題練習(xí) 文)為本站會(huì)員(san****019)主動(dòng)上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請立即通知裝配圖網(wǎng)(點(diǎn)擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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