（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題強(qiáng)化訓(xùn)練（二十）概率與統(tǒng)計(jì) 理

專題強(qiáng)化訓(xùn)練(二十)　概率與統(tǒng)計(jì) 1．[2019·天津卷]設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為，假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立． (1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率． 解：(1)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率均為，故X～B，從而P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3. 所以，隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×＝2. (2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，則Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由題意知事件{X＝3，Y＝1}與{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}與{Y＝1}，事件{X＝2}與{Y＝0}均相互獨(dú)立，從而由(1)知 P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P({X＝3})P({Y＝1})＋P({X＝2})P({Y＝0})＝×＋×＝. 2．[2019·合肥質(zhì)檢二]某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對一次性購買2臺機(jī)器的客戶，推出2種超過質(zhì)保期后2年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案， 方案一：交納延保金7 000元，在延保的2年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過2次每次收取維修費(fèi)2 000元； 方案二：交納延保金10 000元，在延保的2年內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過4次每次收取維修費(fèi)1 000元． 某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購買2臺這種機(jī)器．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保2年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表： 維修次數(shù) 0 1 2 3 臺數(shù) 5 10 20 15 以這50臺機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率．記X表示這2臺機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的2年內(nèi)共需維修的次數(shù)． (1)求X的分布列； (2)以方案一與方案二所需費(fèi)用(所需延保金及維修費(fèi)用之和)的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？ 解：(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6. P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝××2＝， P(X＝2)＝×＋××2＝， P(X＝3)＝××2＋××2＝， P(X＝4)＝×＋××2＝， P(X＝5)＝××2＝， P(X＝6)＝×＝， ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 6 P (2)選擇延保方案一，所需費(fèi)用Y1的分布列為 Y1 7 000 9 000 11 000 13 000 15 000 P EY1＝×7 000＋×9 000＋×11 000＋×13 000＋×15 000＝10 720(元)． 選擇延保方案二，所需費(fèi)用Y2的分布列為 Y2 10 000 11 000 12 000 P EY2＝×10 000＋×11 000＋×12 000＝10 420(元)． ∵EY1＞EY2，∴該醫(yī)院選擇延保方案二較合算． 3．[2019·石家莊一模]東方商店欲購進(jìn)某種食品(保質(zhì)期兩天)，此商店每兩天購進(jìn)該食品一次(購進(jìn)時，該食品為剛生產(chǎn)的)．根據(jù)市場調(diào)查，該食品每份進(jìn)價8元，售價12元，如果兩天內(nèi)無法售出，則食品過期作廢，且兩天內(nèi)的銷售情況互不影響，為了解市場的需求情況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)該產(chǎn)品在本地區(qū)100天的銷售量如下表： 銷售量(份) 15 16 17 18 天數(shù) 20 30 40 10 (視樣本頻率為概率) (1)根據(jù)該產(chǎn)品100天的銷售量統(tǒng)計(jì)表，記兩天中一共銷售該食品份數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望． (2)以兩天內(nèi)該產(chǎn)品所獲得的利潤期望為決策依據(jù)，東方商店一次性購進(jìn)32或33份，哪一種得到的利潤更大？ 解：(1)根據(jù)題意可得ξ的可能取值為30,31,32,33,34,35,36， P(ξ＝30)＝×＝， P(ξ＝31)＝××2＝， P(ξ＝32)＝××2＋×＝， P(ξ＝33)＝××2＋××2＝， P(ξ＝34)＝××2＋×＝， P(ξ＝35)＝××2＝， P(ξ＝36)＝×＝. ξ的分布列如下： ξ 30 31 32 33 34 35 36 P E(ξ)＝30×＋31×＋32×＋33×＋34×＋35×＋36×＝32.8. (2)當(dāng)購進(jìn)32份時，利潤為 32×4×＋(31×4－8)×＋(30×4－16)×＝107.52＋13.92＋4.16＝125.6(元)． 當(dāng)購進(jìn)33份時，利潤為 33×4×＋(32×4－8)×＋(31×4－16)×＋(30×4－24)×＝77.88＋30＋12.96＋3.84＝124.68(元)． 125．6＞124.68， 可見，當(dāng)購進(jìn)32份時，利潤更大． 4．[2019·長沙一模]某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計(jì)劃，收集了近6個月廣告投入量x(單位：萬元)和收益y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 廣告投入量/萬元 2 4 6 8 10 12 收益/萬元 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67 他們用兩種模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值： xiyi x 7 30 1 464.2 364 (1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由． (2)殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除： (ⅰ)剔除異常數(shù)據(jù)后，求出(1)中所選模型的回歸方程； (ⅱ)廣告投入量x＝18時，(1)中所選模型收益的預(yù)報(bào)值是多少？ 附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線＝x＋的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：＝＝，＝－. 解：(1)應(yīng)該選擇模型①，因?yàn)槟Ｐ廷俚臍埐铧c(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且模型①的帶狀區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域窄，所以模型①的擬合精度高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度高． (2)(ⅰ)剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)后，得 ＝×(7×6－6)＝7.2， ＝×(30×6－31.8)＝29.64. xiyi＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44， x＝364－62＝328. ＝＝＝＝3， ＝－＝29.64－3×7.2＝8.04. 所以y關(guān)于x的回歸方程為＝3x＋8.04. (ⅱ)把x＝18代入(ⅰ)中所求回歸方程得＝3×18＋8.04＝62.04， 故預(yù)報(bào)值約為62.04萬元． 5．[2019·福州質(zhì)檢]最近，中國房地產(chǎn)業(yè)協(xié)會主辦的中國房價行情網(wǎng)調(diào)查的一份數(shù)據(jù)顯示，2018年7月，大部分一線城市的房租租金同比漲幅都在10%以上．某部門研究成果認(rèn)為，房租支出超過月收入的租戶“幸福指數(shù)”低，房租支出不超過月收入的租戶“幸福指數(shù)”高．為了了解甲、乙兩小區(qū)租戶的幸福指數(shù)高低，隨機(jī)抽取甲、乙兩小區(qū)的租戶各100戶進(jìn)行調(diào)查．甲小區(qū)租戶的月收入以，，，， (單位：千元)分組的頻率分布直方圖如下圖： 乙小區(qū)租戶的月收入(單位：千元)的頻數(shù)分布表如下： 月收入 戶數(shù) 38 27 24 9 2 (1)設(shè)甲、乙兩小區(qū)租戶的月收入相互獨(dú)立，記M表示事件“甲小區(qū)租戶的月收入低于6千元，乙小區(qū)租戶的月收入不低于6千元”．把頻率視為概率，求M的概率； (2)利用頻率分布直方圖，求所抽取甲小區(qū)100戶租戶的月收入的中位數(shù)； (3)若甲、乙兩小區(qū)每戶的月租費(fèi)分別為2千元、1千元．請根據(jù)條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并說明能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“幸福指數(shù)高低與租住的小區(qū)”有關(guān). 幸福指數(shù)低 幸福指數(shù)高 總計(jì) 甲小區(qū)租戶 乙小區(qū)租戶 總計(jì) 附：臨界值表 P 0.10 0.010 0.001 k 2.706 6.635 10.828 參考公式：K2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)記A表示事件“甲小區(qū)租戶的月收入低于6千元”，記B表示事件“乙小區(qū)租戶的月收入不低于6千元”， 甲小區(qū)租戶的月收入低于6千元的頻率為 (0.060＋0.160)×3＝0.66， 故P(A)的估計(jì)值為0.66； 乙小區(qū)租戶的月收入不低于6千元的頻率為 ＝0.35， 故P(B)的估計(jì)值為0.35； 因?yàn)榧住⒁覂尚^(qū)租戶的月收入相互獨(dú)立， 事件M的概率的估計(jì)值為P(M)＝P(A)P(B)＝0.66×0.35＝0.231. (2)設(shè)甲小區(qū)所抽取的100戶的月收入的中位數(shù)為t，則0.060×3＋(t－3)×0.160＝0.5， 解得t＝5. (3)設(shè)H0：幸福指數(shù)高低與租住的小區(qū)無關(guān)， 幸福指數(shù)低 幸福指數(shù)高 總計(jì) 甲小區(qū)租戶 66 34 100 乙小區(qū)租戶 38 62 100 總計(jì) 104 96 200 根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)， 得到K2的觀測值k＝≈15.705>10.828， 所以能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“幸福指數(shù)高低與租住的小區(qū)”有關(guān)． 6．[2019·廣州調(diào)研]某企業(yè)對設(shè)備進(jìn)行升級改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在[20,40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品，圖1是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖，表1是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表． 圖1：設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖 表1：設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表 質(zhì)量指標(biāo)值 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) 頻數(shù) 2 18 48 14 16 2 (1)請估計(jì)該企業(yè)在設(shè)備改造前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值． (2)該企業(yè)將不合格品全部銷毀后，對合格品進(jìn)行等級細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在[25,30)內(nèi)的定為一等品，每件售價240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在[20,25)或[30,35)內(nèi)的定為二等品，每件售價180元；其他的合格品定為三等品，每件售價為120元．根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率．現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解：(1)根據(jù)題圖1可知，設(shè)備改造前樣本的頻數(shù)分布表如下， 質(zhì)量指標(biāo)值 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) 頻數(shù) 4 16 40 12 18 10 4×17.5＋16×22.5＋40×27.5＋12×32.5＋18×37.5＋10×42.5＝3 020. 樣本產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)平均值為＝30.2. 根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計(jì)總體質(zhì)量指標(biāo)平均值為30.2. (2)根據(jù)樣本頻率分布估計(jì)總體分布，樣本中一、二、三等品的頻率分別為，，， 故從所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽一件，是一、二、三等品的概率分別為，，. 隨機(jī)變量X的取值為240,300,360,420,480. P(X＝240)＝×＝， P(X＝300)＝C××＝， P(X＝360)＝C××＋×＝， P(X＝420)＝C××＝， P(X＝480)＝×＝， 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 240 300 360 420 480 P 所以E(X)＝240×＋300×＋360×＋420×＋480×＝400. 7．[2019·福州質(zhì)檢]“工資條里顯紅利，個稅新政人民心” .隨著2019年新年鐘聲的敲響，我國自1980年以來，力度最大的一次個人所得稅(簡稱個稅)改革迎來了全面實(shí)施的階段.2019年1月1日實(shí)施的個稅新政主要內(nèi)容包括：(1)個稅起征點(diǎn)為5000元；(2)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點(diǎn)－專項(xiàng)附加扣除；(3)專項(xiàng)附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等． 新舊個稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計(jì)算方法及其對應(yīng)的稅率表如下： 舊個稅稅率表(個稅起征點(diǎn)3500元) 新個稅稅率表(個稅起征點(diǎn)5000元) 繳稅級數(shù) 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點(diǎn) 稅率(%) 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點(diǎn)－專項(xiàng)附加扣除 稅率(%) 1 不超過1 500元部分 3 不超過3 000元部分 3 2 超過1 500元至4 500元部分 10 超過3 000元至12 000元部分 10 3 超過4 500元至9 000元的部分 20 超過12 000元至25 000元的部分 20 4 超過9 000元至35 000元的部分 25 超過25 000元至35 000元的部分 25 5 超過35 000元至55 000元部分 30 超過35 000元至55 000元部分 30 … … … … … 隨機(jī)抽取某市1 000名同一收入層級的IT從業(yè)者的相關(guān)資料，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，預(yù)估他們2019年的人均月收入24 000元．統(tǒng)計(jì)資料還表明，他們均符合住房專項(xiàng)扣除；同時，他們每人至多只有一個符合子女教育扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是2∶1∶1∶1.此外，他們均不符合其他專項(xiàng)附加扣除．新個稅政策下該市的專項(xiàng)附加扣除標(biāo)準(zhǔn)為：住房1 000元/月，子女教育每孩1 000元/月，贍養(yǎng)老人2 000元/月等． 假設(shè)該市該收入層級的IT從業(yè)者都獨(dú)自享受專項(xiàng)附加扣除，將預(yù)估的該市該收入層級的IT從業(yè)者的人均月收入視為其個人月收入．根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，解決如下問題： (1)設(shè)該市該收入層級的IT從業(yè)者2019年月繳個稅為X元，求X的分布列和期望； (2)根據(jù)新舊個稅方案，估計(jì)從2019年1月開始，經(jīng)過多少個月，該市該收入層級的IT從業(yè)者各月少繳納的個稅之和就超過2019年的月收入？ 解：(1)既不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除又不符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000－5 000－1 000＝18 000(元)， 月繳個稅X＝3 000×3%＋9 000×10%＋6 000×20%＝2 190； 只符合子女教育專項(xiàng)附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000－5 000－1 000－1 000＝17 000(元)， 月繳個稅X＝3 000×3%＋9 000×10%＋5 000×20%＝1 990； 只符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除但不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000－5 000－1 000－2 000＝16 000(元)， 月繳個稅X＝3 000×3%＋9 000×10%＋4 000×20%＝1 790； 既符合子女教育專項(xiàng)附加扣除又符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000－5 000－1 000－1 000－2 000＝15 000(元)， 月繳個稅X＝3 000×3%＋9 000×10%＋3 000×20%＝1 590. 所以X的可能值為2 190,1 990,1 790,1 590. 依題意，上述四類人群的人數(shù)之比是2∶1∶1∶1， 所以P(X＝2 190)＝，P(X＝1 990)＝， P(X＝1 790)＝，P(X＝1 590)＝. 所以X的分布列為 X 2 190 1 990 1 790 1 590 P 所以E(X)＝2 190×＋1 990×＋1 790×＋1 590×＝1 950. (2)因?yàn)樵谂f個稅政策下該市該收入層級的IT從業(yè)者2019年每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為24 000－3 500＝20 500(元)， 所以其月繳個稅為1 500×3%＋3 000×10%＋4 500×20%＋11 500×25%＝4 120(元)． 因?yàn)樵谛聜€稅政策下該市該收入層級的IT從業(yè)者2019年月繳個稅的均值為1 950元． 所以該收入層級的IT從業(yè)者每月少繳納的個稅為4 120－1 950＝2 170(元)． 設(shè)經(jīng)過x個月，該市該收入層級的IT從業(yè)者各月少繳納的個稅的總和就超過24 000元， 則2 170x>24 000，因?yàn)閤∈N，所以x≥12. 所以經(jīng)過12個月，該市該收入層級的IT從業(yè)者各月少繳納的個稅的總和就超過2019年的月收入． 8．[2019·太原一模]為方便市民出行，倡導(dǎo)低碳出行．某市公交公司推出利用支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，在推廣期內(nèi)采用隨機(jī)優(yōu)惠鼓勵市民掃碼支付乘車．該公司某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動推廣期第一周內(nèi)使用掃碼支付的情況，其中x(單位：天)表示活動推出的天數(shù)，y(單位：十人次)表示當(dāng)天使用掃碼支付的人次，整理后得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)表1和散點(diǎn)圖． 表1： x 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 y 7 12 20 33 54 90 148 (1)由散點(diǎn)圖分析后，可用y＝ebx＋a作為該線路公交車在活動推廣期使用掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程，根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，求此回歸方程，并預(yù)報(bào)第8天使用掃碼支付的人次(精確到整數(shù))． 表2： iyi izi 4 52 3.5 140 2 069 112 其中z＝lny，＝i. (2)推廣期結(jié)束后，該車隊(duì)對此期間乘客的支付情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表3. 表3： 支付方式 現(xiàn)金 乘車卡 掃碼 頻率 10% 60% 30% 優(yōu)惠方式 無優(yōu)惠 按7折支付 隨機(jī)優(yōu)惠(見下面統(tǒng)計(jì)結(jié)果) 統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，掃碼支付中享受5折支付的頻率為，享受7折支付的頻率為，享受9折支付的頻率為. 已知該線路公交車票價為1元，將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，記隨機(jī)變量ξ為在活動期間該線路公交車搭載乘客一次的收入(單位：元)，求ξ的分布列和期望． 參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線＝＋u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為 ＝，＝－. 參考數(shù)據(jù)：e5.3≈200.34，e5.5≈244.69，e5.7≈298.87. 解：(1)由題意得z＝lny＝lnebx＋a＝bx＋a， ∴＝＝＝0.5， ∴＝－＝3.5－0.5×4＝1.5， ∴z關(guān)于x的線性回歸方程為＝0.5x＋1.5， ∴y關(guān)于x的回歸方程為y＝e0.5x＋1.5， 當(dāng)x＝8時，＝e5.5≈244.69， ∴預(yù)報(bào)第8天使用掃碼支付的人次為2 447. (2)由題意得ξ的所有可能取值為0.5,0.7,0.9,1， P(ξ＝0.5)＝×30%＝0.10， P(ξ＝0.7)＝60%＋×30%＝0.75， P(ξ＝0.9)＝×30%＝0.05， P(ξ＝1)＝10%＝0.10， ∴ξ的分布列為 ξ 0.5 0.7 0.9 1 P 0.10 0.75 0.05 0.10 ∴E(ξ)＝0.5×0.10＋0.7×0.75＋0.9×0.05＋1×0.10＝0.72. 12