高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明練習(xí) 北師大版選修1-2

第三章 推理與證明練習(xí) 北師大版選修1-2 　　　　　　　　　　　　　　1　合情推理的妙用 合情推理包括歸納推理和類比推理，在近幾年的高考試題中，關(guān)于合情推理的試題多與其他知識聯(lián)系，以創(chuàng)新題的形式出現(xiàn)在考生面前．下面介紹一些推理的命題特點(diǎn)，揭示求解規(guī)律，以期對同學(xué)們求解此類問題有所幫助． 一、歸納推理的考查 1．?dāng)?shù)字規(guī)律周期性歸納 例1　觀察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，則52 013的末四位數(shù)字為(　　) A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 解析　∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125， 58末四位數(shù)字為0625,59末四位數(shù)字為3125,510末四位數(shù)字為5625,511末四位數(shù)字為8125,512末四位數(shù)字為0625，…，由上可得末四位數(shù)字周期為4，呈規(guī)律性交替出現(xiàn)， ∴52 013＝54502＋5末四位數(shù)字為3125. 答案　A 點(diǎn)評　對于具有周期規(guī)律性的數(shù)或代數(shù)式需要多探索幾個才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，當(dāng)已給出事實(shí)與所求相差甚“遠(yuǎn)”時，可考慮到看是否具有周期性． 2．代數(shù)式形式歸納 例2　設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)，觀察： f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， …… 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)n∈N＋且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 解析　依題意，先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項系數(shù)所組成數(shù)列的通項公式，由1,3,7,15，…，可推知該數(shù)列的通項公式為an＝2n－1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項依次為2,4,8,16，…，故其通項公式為bn＝2n. 所以當(dāng)n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝. 答案　 點(diǎn)評　對于與數(shù)列有關(guān)的規(guī)律歸納，一定要觀察全面，并且要有取特殊值最后檢驗(yàn)的習(xí)慣． 3．圖表信息歸納 例3　古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，比如： 圖(1) 圖(2) 他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖(2)中的1,4,9,16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)． 下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是(　　) A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378 分析　將三角形數(shù)和正方形數(shù)分別視作數(shù)列，則既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的數(shù)字是上述兩數(shù)列的公共項． 解析　設(shè)圖(1)中數(shù)列1,3,6,10，…的通項公式為an， 其解法如下：a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…， an－an－1＝n. 故an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝. 而圖(2)中數(shù)列的通項公式為bn＝n2，因此所給的選項中只有1 225滿足a49＝＝b35＝352＝1 225. 答案　C 點(diǎn)評　此類圖形推理問題涉及的圖形構(gòu)成的元素一般為點(diǎn)．題目類型為已知幾個圖形，圖形中元素的數(shù)量呈現(xiàn)一定的變化，這種數(shù)量變化存在著簡單的規(guī)律性，如點(diǎn)的數(shù)目的遞增關(guān)系或遞減關(guān)系，依據(jù)此規(guī)律求解問題，一般需轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項公式或前n項和等． 二、類比推理的考查 1．類比定義 在求解類比某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時，可以借助原定義來求解． 例1　等和數(shù)列的定義是：若數(shù)列{an}從第二項起，以后每一項與前一項的和都是同一常數(shù)，則此數(shù)列叫作等和數(shù)列，這個常數(shù)叫作等和數(shù)列的公和．如果數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝1，a2＝3，則數(shù)列{an}的一個通項公式是________． 解析　由定義，知公和為4，且an＋an－1＝4，那么 an－2＝－(an－1－2)，于是an－2＝(－1)n－1(a1－2)． 因?yàn)閍1＝1，得an＝2＋(－1)n即為數(shù)列的一個通項公式． 答案　an＝2＋(－1)n 點(diǎn)評　解題的前提是正確理解等和數(shù)列的定義，將問題轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列來求解． 2．類比性質(zhì) 從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題．求解時要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵． 例2　平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行．類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件： 充要條件①________________________________________________________________________； 充要條件②________________________________________________________________________. 解析　類比平行四邊形的兩組對邊分別平行可得，兩組相對側(cè)面互相平行是一個四棱柱為平行六面體的充要條件． 類比平行四邊形的兩組對邊分別相等可得，兩組相對側(cè)面分別全等是一個四棱柱為平行六面體的充要條件． 類比平行四邊形的一組對邊平行且相等可得，一組相對側(cè)面平行且全等是一個四棱柱為平行六面體的充要條件． 類比平行四邊形的對角線互相平分可得，主對角線互相平分是一個四棱柱為平行六面體的充要條件． 類比平行四邊形的對角線互相平分可得，對角面互相平分是一個四棱柱為平行六面體的充要條件． 點(diǎn)評　由平行四邊形的性質(zhì)類比到平行六面體的性質(zhì)，注意結(jié)論類比的正確性． 3．類比方法 有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識的遷移． 例3　已知數(shù)列{an}的前n項的乘積Tn＝3n＋1，則其通項公式an＝________. 解析　類比數(shù)列前n項和Sn與通項an的關(guān)系an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得到數(shù)列前n(n≥2)項的乘積Tn與通項an的關(guān)系．注意對n＝1的情況單獨(dú)研究． 當(dāng)n＝1時，a1＝T1＝31＋1＝4. 當(dāng)n≥2時，an＝＝，a1不適合上式， 所以通項公式an＝. 答案　. 　　　　　　　　　　2　各有特長的綜合法與分析法 例1　已知a>b>c，求證：＋＋≥0. 分析　首先使用分析法尋找證明思路． 證法一　(分析法)要證原不等式成立， 只需證＋≥. 通分，得≥， 即證≥. 因?yàn)閍>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>0. 只需證(a－c)2≥4(a－b)(b－c)成立． 由上面思路可得如下證題過程． 證法二　(綜合法)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.∴4(a－b)(b－c)≤[(a－b)＋(b－c)]2＝(a－c)2. ∴≥，即－≥0. ∴＋＋≥0. 從例題不難發(fā)現(xiàn)，分析法和綜合法各有其優(yōu)缺點(diǎn)：從尋求解題思路來看，分析法“執(zhí)果索因”，常常根底漸近，有希望成功；綜合法“由因?qū)Ч?，往往枝?jié)橫生，不容易奏效．從表達(dá)過程而論，分析法敘述繁瑣，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰．也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)．因此，在實(shí)際解題時，把分析法和綜合法孤立起來運(yùn)用是脫離實(shí)際的，兩者結(jié)合，互相彌補(bǔ)才是應(yīng)該提倡的；先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表達(dá)解題過程． 最后，提醒一下，對于一些較復(fù)雜的問題，不論是從“已知”推向“未知”，還是由“未知”靠攏“已知”，都是一個比較長的過程，單靠分析法或綜合法顯得較為困難．為保證探索方向準(zhǔn)確及過程快捷，人們常常把分析法與綜合法兩者并列起來使用，即常采取同時從已知和結(jié)論出發(fā)，尋找問題的一個中間目標(biāo)的“兩頭湊”的方法去尋求證明途徑：先從已知條件出發(fā)，看可以得出什么結(jié)果，再從要證明的結(jié)論開始尋求，看它成立需具備哪些條件，最后看它們的差距在哪里，從而找出正確的證明途徑． 例2　設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函數(shù)f(x＋1)與f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱．求證：f(x＋)為偶函數(shù)． 證明　方法一　要證f(x＋)為偶函數(shù)， 只需證f(x＋)的對稱軸為x＝0， 只需證－－＝0，只需證a＝－b. 因?yàn)楹瘮?shù)f(x＋1)與f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱， 即x＝－－1與x＝－關(guān)于y軸對稱， 所以－－1＝－， 所以a＝－b，所以f(x＋)為偶函數(shù)． 方法二　要證f(x＋)是偶函數(shù)， 只需證f(－x＋)＝f(x＋)． 因?yàn)閒(x＋1)與f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱， 而f(x)與f(－x)的圖像關(guān)于y軸對稱， 所以f(－x)＝f(x＋1)， f(－x＋)＝f(－(x－))＝f((x－)＋1) ＝f(x＋)，所以f(x＋)是偶函數(shù)． 點(diǎn)評　本題前半部分是用分析法證明，但尋找的充分條件不是顯然成立的，可再用綜合法證明，這種處理方法在推理證明中是常用的. 　　　　　　　　　　　　　3　體驗(yàn)反證法的獨(dú)到之處 反證法作為一種證明方法，在高考中，雖然很少單獨(dú)命題，但是有時運(yùn)用反證法的證明思路判斷、分析命題有獨(dú)到之處．下面舉例分析用反證法證明問題的幾個類型： 1．證明否定性問題 例1　平面內(nèi)有四個點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線．證明：以任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形． 分析　假設(shè)以四點(diǎn)中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形都是銳角三角形，先固定三點(diǎn)組成一個三角形，則第四點(diǎn)要么在此三角形內(nèi)，要么在此三角形外，且各個三角形的內(nèi)角都是銳角，選取若干個角的和與一些已知結(jié)論對照即得矛盾． 證明　假設(shè)以任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個三角形都是銳角三角形，四個點(diǎn)為A，B，C，D.考慮△ABC，則點(diǎn)D有兩種情況：在△ABC內(nèi)部和外部． (1)如果點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部(如圖(1))，根據(jù)假設(shè)知圍繞點(diǎn)D的三個角∠ADB，∠ADC，∠BDC都小于90，其和小于270，這與一個周角等于360矛盾． (2)如果點(diǎn)D在△ABC外部(如圖(2))，根據(jù)假設(shè)知∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC都小于90，即四邊形ABCD的內(nèi)角和小于360，這與四邊形內(nèi)角和等于360矛盾．綜上所述，可知假設(shè)錯誤，題中結(jié)論成立． 點(diǎn)評　結(jié)論本身是否定形式、證明唯一性或存在性命題時，常用反證法． 2．證明“至多”“至少”“唯一”“僅僅”等問題 例2　A是定義在[2,4]上且滿足如下兩個條件的函數(shù)φ(x)組成的集合： ①對任意的x∈[1,2]，都有φ(2x)∈(1,2)； ②存在常數(shù)L(0<L<1)，使得對任意的x1，x2∈[1,2]，都有|φ(2x1)－φ(2x2)|<L|x1－x2|. 設(shè)φ(x)∈A，試證：如果存在x0∈(1,2)，使得x0＝φ(2x0)，那么這樣的x0是唯一的． 證明　假設(shè)存在兩個x0，x′0∈(1,2)，x0≠x′0， 使得x0＝φ(2x0)，x′0＝φ(2x′0)， 則由|φ(2x0)－φ(2x′0)|<L|x0－x′0|， 得|x0－x′0|<L|x0－x′0|. 所以L>1.這與題設(shè)中0<L<1矛盾， 所以原假設(shè)不成立．故得證． 點(diǎn)評　若直接證明，往往思路不明確，而運(yùn)用反證法則能迅速找到解題思路，從而簡便得證． 3．證明較復(fù)雜的問題 例3　如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則(　　) A．△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形 B．△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形 C．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形 D．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形 解析　因?yàn)檎抑翟?0，180)內(nèi)是正值，所以△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是銳角三角形．假設(shè)△A2B2C2也是銳角三角形，并設(shè)cos A1＝sin A2，則cos A1＝cos(90－A2)．所以A1＝90－A2. 同理設(shè)cos B1＝sin B2，cos C1＝sin C2，則有B1＝90－B2，C1＝90－C2.又A1＋B1＋C1＝180， ∴(90－A2)＋(90－B2)＋(90－C2)＝180，即A2＋B2＋C2＝90.這與三角形內(nèi)角和等于180矛盾，所以原假設(shè)不成立，故選D. 答案　D 例4　已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求證：a>0，b>0，c>0. 分析　若從正面證明，比較復(fù)雜，需要考慮的方面比較多，故采用反證法來證明． 證明　假設(shè)a<0，由abc>0，知bc<0. 由a＋b＋c>0，知b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0.這與已知矛盾．又若a＝0，則abc＝0，與abc>0矛盾．故a>0.同理可證b>0，c>0. 點(diǎn)評　至于什么情況下用反證法，應(yīng)依問題的具體情況而定，切忌濫用反證法．一般說來，當(dāng)非命題比原命題更具體、更明確、更簡捷，易于推出矛盾時，才便于用反證法． 運(yùn)用反證法證題時，還應(yīng)注意以下三點(diǎn)： 1．必須周密考察原結(jié)論，防止否定有所遺漏； 2．推理過程必須完全正確，否則，不能肯定非命題是錯誤的； 3．在推理過程中，可以使用已知條件，推出的矛盾必須很明確，毫不含糊． 另外，反證法證題的首要環(huán)節(jié)就是對所證結(jié)論進(jìn)行反設(shè)，因此大家必須掌握一些常見關(guān)鍵詞的否定形式. 關(guān)鍵詞 否定 是 不是 都是 不都是 等于(＝) 不等于(≠) 大于(>) 不大于(≤) 小于(<) 不小于(≥) 能 不能 至少有一個 一個也沒有 至多有一個 至少有兩個 至少有n個 至多有n－1個 至多有n個 至少有n＋1個 任意 存在 存在 任意