高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第3部分 幾何證明選講考點(diǎn)整合 選修4-1 文

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選修4－1　幾何證明選講 考點(diǎn)整合 1．(1)相似三角形的判定定理 判定定理1：對于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似． 判定定理2：對于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似． 判定定理3：對于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似． (2)相似三角形的性質(zhì) ①相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比； ②相似三角形周長的比等于相似比； ③相似三角形面積的比等于相似比的平方． (3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影與斜邊的比例中項(xiàng)；斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)． 2．(1)圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半． (2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)． 3．(1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理： ①圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)； ②圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角． (2)圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個(gè)四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓． 4．(1)圓的切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑． (2)圓的切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． (3)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角． (4)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等． (5)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)． 類型一　三角形相似及應(yīng)用 [例1]　(2016高考全國甲卷)如圖，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上(不與端點(diǎn)重合)，且DE＝DG，過D點(diǎn)作DF⊥CE，垂足為F. (1)證明：B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓； (2)若AB＝1，E為DA的中點(diǎn)，求四邊形BCGF的面積． 解：(1)證明：因?yàn)镈F⊥CE，所以△DEF∽△CDF，則有∠GDF＝∠DEF＝∠FCB， ＝＝， 所以△DGF∽△CBF， 由此可得∠DGF＝∠CBF， 因此∠CGF＋∠CBF＝180，所以B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． (2)由B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，CG⊥CB知FG⊥FB.如圖，連接GB.由G為Rt△DFC斜邊CD的中點(diǎn)，知GF＝GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG，因此，四邊形BCGF的面積S是△GCB面積S△GCB的2倍， 即S＝2S△GCB＝21＝. [解后反思]　本題在證明四點(diǎn)共圓之后，不要試圖在已知圖形中畫出圓，而要通過想象圓的位置，利用圓的性質(zhì)進(jìn)行解題，否則可能會(huì)由于圖形過于復(fù)雜而影響解題思路． 1．如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點(diǎn)，PO交圓O于B，C兩點(diǎn)，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分線與BC和圓O分別交于D和E兩點(diǎn)． (1)求證：＝； (2)求ADAE的值． 解：(1)證明：∵PA為圓O的切線， ∴∠PAB＝∠ACP，又∵∠P為公共角， ∴△PAB∽△PCA， ∴＝. (2)∵PA為圓O的切線，PC是過點(diǎn)O的割線， ∴PA2＝PBPC，即102＝5PC， ∴PC＝20，∴BC＝15. 又∵∠CAB＝90，∴AC2＋AB2＝BC2＝225. 又由(1)知＝＝，∴AC＝6，AB＝3， 如圖， 連接EC，則∠AEC＝∠ABC， 又∵∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB， ∴＝，∴ADAE＝ABAC＝36＝90. 類型二　圓的有關(guān)性質(zhì) [例2]　(2016高考全國乙卷)如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120.以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓． (1)證明：直線AB與⊙O相切； (2)點(diǎn)C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，證明：AB∥CD. 證明：(1)如圖，設(shè)E是AB的中點(diǎn)，連接OE. 因?yàn)镺A＝OB，∠AOB＝120， 所以O(shè)E⊥AB，∠AOE＝60. 在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直線AB的距離等于⊙O的半徑，所以直線AB與⊙O相切． (2)連接OD，因?yàn)镺A＝2OD，所以O(shè)不是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心．設(shè)O′是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心，作直線OO′. 由已知得O在線段AB的垂直平分線上，又O′在線段AB的垂直平分線上，所以O(shè)O′⊥AB. 同理可證OO′⊥CD 所以AB∥CD. [解后反思]　解此類題的關(guān)鍵：一是熟記直線與圓相關(guān)的性質(zhì)，解題才有路；二是注意數(shù)形結(jié)合思想的轉(zhuǎn)化． 2．(2016高考全國丙卷)如圖，⊙O中的中點(diǎn)為P，弦PC，PD分別交AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)． (1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大??； (2)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點(diǎn)G，證明OG⊥CD. 解：如圖，連接PB，BC，則∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD. 因?yàn)?，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD， 所以∠BFD＝∠PCD. 又∠PFB＋∠BFD＝180，∠PFB＝2∠PCD， 所以3∠PCD＝180，因此∠PCD＝60. (2)證明：因?yàn)椤螾CD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180，由此知C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，其圓心既在CE的垂直平分線上，又在DF的垂直平分線上，故G就是過C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)的圓的圓心，所以G在CD的垂直平分線上．又O也在CD的垂直平分線上，因此OG⊥CD.