（課標(biāo)通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 第1課時(shí) 正弦定理和余弦定理檢測(cè) 文

第7講 第1課時(shí) 正弦定理和余弦定理 [基礎(chǔ)題組練] 1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且b<c，則b＝(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．2 C．2 D. 解析：選C.由余弦定理b2＋c2－2bccos A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，因?yàn)閎<c＝2，所以b＝2.選C. 2．在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，則滿(mǎn)足條件的三角形有(　　) A．一個(gè) B．兩個(gè) C．0個(gè) D．無(wú)法確定 解析：選B.由正弦定理得sin B＝＝＝，因?yàn)閎>a，所以B＝60°或120°，故滿(mǎn)足條件的三角形有兩個(gè)． 3．△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，則sin B的值為(　　) A.－ B. C. D. 解析：選C.由正弦定理，得b2－a2＝ac，又c＝2a，所以b2＝2a2, 所以cos B＝＝，所以sin B＝. 4．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若＝＝，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 解析：選D.由正弦定理，得＝＝，即tan B＝tan C＝1，所以B＝C＝，所以A＝，所以△ABC為等腰直角三角形．故選D. 5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，則b＝________． 解析：由sin B＝，C＝，得B＝，A＝.由＝，解得b＝1. 答案：1 6．若△ABC的內(nèi)角A，B，C滿(mǎn)足6sin A＝4sin B＝3sin C，則cos B＝________. 解析：設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，因?yàn)?sin A＝4sin B＝3sin C，即＝＝，由正弦定理得＝＝，可設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k，k>0，由余弦定理得cos B＝＝. 答案： 7．(2019·蘭州模擬)已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且asin B＋bcos A＝0. (1)求角A的大??； (2)若a＝2，b＝2，求邊c的長(zhǎng)． 解：(1)因?yàn)閍sin B＋bcos A＝0， 所以sin Asin B＋sin Bcos A＝0， 即sin B(sin A＋cos A)＝0， 由于B為三角形的內(nèi)角， 所以sin A＋cos A＝0， 所以sin＝0，而A為三角形的內(nèi)角， 所以A＝. (2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcos A， 即20＝c2＋4－4c，解得c＝－4(舍去)或c＝2. 8．(2019·重慶質(zhì)量調(diào)研(一))在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sin －cos ＝. (1)求cos B的值； (2)若b2－a2＝ac，求的值． 解：(1)將sin －cos ＝兩邊同時(shí)平方得， 1－sin B＝，得sin B＝， 故cos B＝±， 又sin －cos ＝>0，所以sin >cos ，所以∈， 所以B∈， 故cos B＝－. (2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋ac， 所以a＝c－2acos B＝c＋a， 所以c＝a，故＝. [綜合題組練] 1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin2 B＝2sin Asin C，cos B＝，a>c，則＝(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析：選B.由正弦定理，得b2＝2ac，又cos B＝＝，即＝，整理得2－＋2＝0，又a>c，所以＝2，故選B. 2．在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cos A＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：選C.如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC.設(shè)BC＝a，則BC邊上的高AD＝a.又因?yàn)锽＝，所以BD＝AD＝a，AB＝a，DC＝a－BD＝a，所以AC＝＝a.在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝－. 3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知b＝a，A＝2B，則cos A＝________． 解析：因?yàn)锳＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B．因?yàn)閎＝a，所以由正弦定理可得＝＝＝＝2cos B，所以cos B＝，所以cos A＝cos 2B＝2cos2B－1＝2×－1＝. 答案： 4．在鈍角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝4，b＝3，則c的取值范圍是________． 解析：三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，據(jù)此可得1<c<7，?、? 若∠C為鈍角，則cos C＝＝<0，解得c>5，?、? 若∠A為鈍角，則cos A＝＝<0，解得0<c<，?、? 結(jié)合①②③可得c的取值范圍是(1，)∪(5，7)． 答案：(1，)∪(5，7) 5．(綜合型)(2019·安徽知名示范高中聯(lián)考)已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列，cos B＝. (1)求＋的值； (2)設(shè)·＝，求a＋c的值． 解：(1)由cos B＝，0<B<π得sin B＝＝， 因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2＝ac， 由正弦定理，可得sin2 B＝sin Asin C， 于是＋＝＋＝＝＝＝＝. (2)由·＝得cacos B＝， 而cos B＝，所以b2＝ac＝2， 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B， 所以a2＋c2＝5，所以(a＋c)2＝5＋2ac＝9， 所以a＋c＝3. 6．(綜合型)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cos B＝bcos A. (1)求cos B的值． (2)若a＝2，cos C＝－，求△ABC外接圓的半徑R. 解：(1)因?yàn)閏os B＝bcos A， 所以結(jié)合正弦定理，得cos B＝sin Bcos A， 所以sin Ccos B＝sin(A＋B)＝sin C．又因?yàn)閟in C≠0，所以cos B＝. (2)由(1)知，sin B＝＝. 因?yàn)閏os C＝－， 所以sin C＝＝， 所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝， 所以R＝·＝×＝. 6