（通用版）2020高考數(shù)學二輪復習 單科標準練2 理

單科標準練(二) (滿分：150分　時間：120分鐘) 第Ⅰ卷 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，則集合M∪N＝(　　) A．{－1,0,1}　　　　　　 B．{－2,0,2} C．{0} D．{－2，－1,0,1,2} D　[∵集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝2a，a∈M}＝{－2,0,2}，∴集合M∪N＝{－2，－1,0,1,2}故選D.] 2．已知a，b∈R，a－i＝，則a＋bi的共軛復數(shù)為(　　) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i A　[因為a－i＝＝－(b－2i)i＝－2－bi， 所以a＝－2，b＝1，因此a＋bi＝－2＋i的共軛復數(shù)為－2－i.故選A.] 3．高三第一學期甲、乙兩名同學5次月考的地理學科得分的莖葉圖如圖所示，其中兩豎線之間是得分的十位數(shù)，兩邊分別是甲、乙得分的個位數(shù)．則下列結(jié)論正確的是(　　) A．甲得分的中位數(shù)是78 B．甲得分的平均數(shù)等于乙得分的平均數(shù) C．乙得分的平均數(shù)和眾數(shù)都是75 D．乙得分的方差大于甲得分的方差 C　[由甲、乙兩名同學5次月考的地理學科得分的莖葉圖，得： 在A中，甲得分的中位數(shù)是76，故A錯誤；在B中，甲得分的平均數(shù)＝(56＋64＋76＋78＋86)＝72，乙得分的平均數(shù)2＝(62＋75＋75＋81＋82)＝75， ∴甲得分的平均數(shù)不等于乙得分的平均數(shù)，故B錯誤； 在C中，乙得分的眾數(shù)是75，平均數(shù)是75，故C正確；在D中，由莖葉圖的甲得分的分布相對分散， ∴乙得分的方差小于甲得分的方差，故D錯誤．故選C.] 4．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，a2＝3，S3＝13，則a6＝(　　) A．243或 B．81或 C．243 D. A　[∵a2＝3，S3＝13，∴＋3＋3q＝13，解得q＝3或q＝，∴a6＝a2q4＝243或，故選A.] 5.如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為線段BC，AD，BE的中點，則＝(　　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ D　[∵＝(＋)＝＋×＝＋×(＋)＝＋，故選D.] 6．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函數(shù)f(x)＝，則函數(shù)y＝[f(x)]的值域為(　　) A. B．(0,2] C．{0,1,2} D．{0,1,2,3} C　[因為f(x)＝，所以f(x)＝×＝， 又1＋2x＋1∈(1，＋∞)，所以f(x)∈， 由高斯函數(shù)的定義可得：函數(shù)y＝[f(x)]的值域為{0,1,2}，故選C.] 7.如圖，用與底面成45°角的平面截圓柱得一橢圓截線，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. A　[設圓柱底面圓的方程為x2＋y2＝R2，∵與底面成45°角的平面截圓柱，∴橢圓的半長軸長是R，半短軸長是R，∴c＝R，∴e＝＝＝.故選A.] 8．埃及數(shù)學中有一個獨特現(xiàn)象：除用一個單獨的符號表示以外，其他分數(shù)都要寫成若干個單位分數(shù)和的形式，例如＝＋.可以這樣理解：假定有兩個面包，要平均分給5個人，若每人分得一個面包的，不夠，若每人分得一個面包的，還余，再將這分成5份，每人分得，這樣每人分得＋.形如(n＝5,7,9,11，…)的分數(shù)的分解：＝＋，＝＋，＝＋，按此規(guī)律，＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ A　[根據(jù)分面包原理知，等式右邊第一個數(shù)的分母應是等式左邊數(shù)的分母加1的一半，第二個數(shù)的分母是第一個數(shù)的分母與等式左邊數(shù)的分母的乘積，兩個數(shù)的原始分子都是1，即＝＋＝＋.故選A.] 9．甲、乙二人約定7：10在某處會面，甲在7：00～7：20內(nèi)某一時刻隨機到達，乙在7：05～7：20內(nèi)某一時刻隨機到達，則甲至少需等待乙5分鐘的概率是(　　) A. B. C. D. C　[由題意知本題是一個幾何概型，設甲和乙到達的分別為7時＋x分、7時＋y分， 則10≤x≤20,5≤y≤20，甲至少需等待乙5分鐘，即y－x≥5，則試驗包含的所有區(qū)域是Ω＝{(x，y)|0≤x≤20,5≤y≤20}，甲至少需等待乙5分鐘所表示的區(qū)域為 A＝{(x，y)|0≤x≤20,5≤y≤20，y－x≥5}，如圖： 正方形的面積為20×15＝300，陰影部分的面積為×15×15＝， ∴甲至少需等待乙5分鐘的概率是＝＝，故選C.] 10．已知函數(shù)f(x)＝x3－2ax2＋a2x的極小值點是x＝－1，則a＝(　　) A．0或－1 B．－3或－1 C．－1 D．－3 D　[∵函數(shù)f(x)＝x3－2ax2＋a2x， ∴f′(x)＝3x2－4ax＋a2，∵f(x)極小值點是x＝－1， ∴f′(－1)＝3＋4a＋a2＝0，解得a＝－3或a＝－1， 當a＝－1時，f(x)＝x3＋2x2＋x，f′(x)＝3x2＋4x＋1， 由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞－， 由f′(x)＜0，得－1＜x＜－， f(x)增區(qū)間為(－∞，－1)，，減區(qū)間為， ∴x＝－1是f(x)的極大值點． 當a＝－3時，f(x)＝x3＋6x2＋9x，f′(x)＝3x2＋12x＋9， 由f′(x)＞0，得x＜－3或x＞－1， 由f′(x)＜0，得－3＜x＜－1， f(x)增區(qū)間為(－∞，－3)，(－1，＋∞)，減區(qū)間為(－3，－1)， ∴x＝－1是f(x)的極小值點． 綜上，函數(shù)f(x)＝x3－2ax2＋a2x的極小值點是x＝－1， 則a＝－3.故選D.] 11．已知函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)，x∈[0，π]的值域為，則ω的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(0，＋∞) C　[函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)，x∈[0，π]， 則ωx－∈， 函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)的值域為， 所以ωx－∈，解得ω∈，故選C.] 12．已知正三棱錐P­ABC(頂點在底面的射影是底面正三角形的中心)的側(cè)面是頂角為30°腰長為2的等腰三角形，若過A的截面與棱PB，PC分別交于點D和點E，則截面△ADE周長的最小值是(　　) A. B．2 C. D．2 D　[此正三棱錐的側(cè)面展開圖如圖所示． 則△ADE的周長為AD＋DE＋EA1， 由于兩點之間線段最短， ∴當D、E處于如圖位置時，截面△ADE的周長最小，即為AA1的長； 又∠APB＝30°，則 ∠APA1＝90°，在等腰三角形PAB中，PA＝PB＝2， ∴PA＝PA1＝2，∠APA1＝90°， ∴截面△ADE周長的最小值是： AA1＝＝＝2.故選D.] 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13～21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13．設實數(shù)x、y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值和最大值的和為________． 14　[作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示．由z＝2x＋y得y＝－2x＋z.平移直線y＝－2x＋z，由圖象可知當直線y＝－2x＋z經(jīng)過點A(3,4)時，直線y＝－2x＋z的截距最大，z＝10. 直線y＝－2x＋z經(jīng)過點B(1,2)時，直線y＝－2x＋z的截距最小，此時z最?。磟＝2x＋y的最小值為：z＝4.則z＝2x＋y的最小值和最大值的和為14.] 14．以拋物線y2＝8x的焦點為圓心，且與直線y＝x相切的圓的方程為________． (x－2)2＋y2＝2　[依題意可知拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)，到直線y＝x的距離即圓的半徑為＝，故圓的標準方程為(x－2)2＋y2＝2.] 15．分別標有1,2,3,4的4張卡片，放入分別標號為1,2,3,4的4個盒中，每盒不空，且3號卡片不能放入3號盒中，則有________種不同的方法． 18　[根據(jù)題意，分2步進行分析： ①3號卡片不能放入3號盒中，則3號卡片可以放入1、2、4號盒子中，有3種放法； ②將剩下的3張卡片全排列，放入剩下的3個盒子中，有A＝6種放法；故有3×6＝18種不同的放法．] 16. Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知an＞0,4Sn＝(an＋3)(an－1)，(n∈N*)，則{an}的首項a1＝________，通項公式an＝________. 3　2n＋1　[由4Sn＝(an＋3)(an－1)＝a＋2an－3， 可知4Sn＋1＝a＋2an＋1－3， 兩式相減得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)， ∵an＞0，∴an＋1－an＝2，又∵a＋2a1＝4a1＋3， ∴a1＝－1(舍)或a1＝3 ， ∴數(shù)列{an}是首項為3，公差d＝2的等差數(shù)列， ∴數(shù)列{an}的通項公式an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.] 三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分12分)已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，＋＝－1. (1)求∠A的大小； (2)若a＝4，c＝12.求△ABC的面積S. [解]　(1)因為＋＝－1， 所以由正弦定理得＋＝－1 整理得b2＋c2－a2＝－bc， 所以cos A＝＝－， 因為0＜A＜π，所以A＝. (2)因為a＝4，c＝12，A＝. 所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得208＝b2＋144－2×12bcos ， 解得b＝4或b＝－16(舍)． 所以S＝bcsin A＝×12×4×sin ＝12. 18. (本小題滿分12分)如圖，等腰直角△ABC中，∠B＝90°，平面ABEF⊥平面ABC,2AF＝AB＝BE，∠FAB＝60°，AF∥BE. (1)求證：BC⊥BF； (2)求二面角F­CE­B的正弦值． [解]　(1)證明：∵在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB， ∵平面ABEF⊥平面ABC， 平面ABEF∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABEF， ∵BF?平面ABEF，∴BC⊥BF. (2)由(1)知BC⊥平面ABEF， 故以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系B­xyz， 設2AF＝AB＝BE＝2，∵∠FAB＝60°，AF∥BE. ∴B(0,0,0)，C(0,2,0)，F(xiàn)，E(－1,0，)，＝(1,2，－)，＝，＝(0,2,0)，設平面CEF的一個法向量n＝(x，y，z)， 則 即 令x＝，得n＝(，2，5)， 設平面BCE的一個法向量m＝(x，y，z)， 則 即 取x＝，得m＝(，0,1)， 設二面角F­CE­B的平面角為θ. 則|cos θ|＝＝＝， ∴sin θ＝， ∴二面角F­CE­B的正弦值為. 19．(本小題滿分12分)已知拋物線C：x2＝4y，過點(2,3)的直線l交C于A、 B兩點，拋物線C在點A、B處的切線交于點P. (1)當點A的橫坐標為4時，求點P的坐標； (2)若Q是拋物線C上的動點，當|PQ|取最小值時，求點Q的坐標及直線l的方程． [解]　(1)∵點A的橫坐標為4，∴A(4,4)，易知此時直線l的方程為y＝x＋2 ，聯(lián)立 解得或∴B(－2,1)． 由y＝得y′＝，所以kPA＝2， 所以直線PA的方程為y＝2x－4, 同理可得直線PB的方程為y＝－x－1, 聯(lián)立可得 故點P的坐標為(1，－2). (2)設A，B， 由y＝得y′＝，所以kPA＝， 所以直線PA的方程為y－＝(x－x1)， 即y＝x－， 同理PB的方程為y＝x－， 聯(lián)立解得P， 依題意直線l的斜率存在，不妨設直線l的方程為y－3＝k(x－2)， 由得x2－4kx＋8k－12＝0, 易知Δ＞0，因此x1＋x2＝4k，x1x2＝8k－12， ∴P(2k,2k－3)， ∴點P在直線x－y－3＝0上，當|PQ|取得最小值時， 即拋物線C：x2＝4y上的點Q到直線x－y－3＝0的距離最小. 設Q，Q到直線x－y－3＝0的距離 d＝＝＝＋， 所以當x0＝2時，d取最小值，此時Q(2,1), 易知過點Q且垂直于x－y－3＝0的直線方程為y＝－x＋3, 由解得P(3,0)，k＝，所以直線l的方程為y＝x， 綜上，點Q的坐標為(2,1)，直線l的方程為y＝x. 20．(本小題滿分12分)某醫(yī)藥公司研發(fā)生產(chǎn)一種新的保健產(chǎn)品，從一批產(chǎn)品中隨機抽取200盒作為樣本，測量產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，該指標值越高越好．由測量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖： (1)求a，并試估計這200盒產(chǎn)品的該項指標值的平均值； (2)①由樣本估計總體，結(jié)合頻率分布直方圖認為該產(chǎn)品的該項質(zhì)量指標值ξ服從正態(tài)分布N(μ，102)，計算該批產(chǎn)品該項指標值落在(180,220]上的概率； ②國家有關(guān)部門規(guī)定每盒產(chǎn)品該項指標值不低于150均為合格，且按該項指標值從低到高依次分為：合格、優(yōu)良、優(yōu)秀三個等級，其中(180,220]為優(yōu)良，不高于180為合格，高于220為優(yōu)秀，在①在條件下，設該公司生產(chǎn)該產(chǎn)品的1萬盒的成本為15萬元，市場上各等級每盒該產(chǎn)品的售價(單位：元)如表，求該公司每萬盒的平均利潤． 等級 合格 優(yōu)良 優(yōu)秀 售價 10 20 30 附：若ξ～N(μ，δ2)，則P(μ－δ＜ξ≤μ＋δ)≈0.682 7，P(μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)≈0.954 5. [解]　(1)由10×(2×0.002＋0.008＋0.009＋0.022＋0.024＋a)＝1，解得a＝0.033， 則平均值＝10×0.002×170＋10×0.009×180＋10×0.022×190＋10×0.033×200＋10×0.024×210＋10×0.008×220＋10×0.002×230＝200，即這200盒產(chǎn)品的該項指標值的平均值約為200. (2)①由題意可得μ＝＝200，δ＝10，則P(μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)＝P(180＜ξ≤220)≈0.954 5，則該批產(chǎn)品指標值落在(180,220]上的概率為0.954 5. ②設每盒該產(chǎn)品的售價為X元，由①可得X的分布列為 X 10 20 30 P 0.022 75 0.954 5 0.022 75 則每盒該產(chǎn)品的平均售價為E(X)＝10×0.022 75＋20×0.954 5＋30×0.022 75＝20，故每萬盒的平均利潤為20－15＝5(萬元)． 21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝(x2＋a)ekx，e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)． (1)若k＝－1，a∈R，判斷函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性； (2)令a＝0，k＝1，若0＜m≤2e，求證：方程f(x)－m(x＋1)ln x＝0無實根． [解]　(1)由已知k＝－1，所以f(x)＝(x2＋a)e－x＝， 所以f′(x)＝＝ ＝. ①若a≥1，在R上恒有u(x)＝－(x－1)2＋1－a≤0， 所以f′(x)＝≤0， 所以f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞減， ②若a＜1，u(x)＝－(x－1)2＋1－a圖象與x軸有兩個不同交點． 設u(x)＝－(x－1)2＋1－a＝0的兩根分別為x1＝1－，x2＝1＋. (ⅰ)若0＜a＜1,0＜x1＜1，x2＞1， 所以當0＜x＜x1時，u(x)＜0；當x1＜x＜x2時，u(x)≥0；當x＞x2時，u(x)＜0. 所以，此時f(x)在(0，x1)上和(x2，＋∞)上分別單調(diào)遞減；在(x1，x2)上單調(diào)遞增； (ⅱ)若a≤0，x1＝1－≤0，x2＝1＋≥2. 所以，x∈(0，x2)上總有u(x)＞0；在當x＞x2上，u(x)＜0， 所以此時f(x)在(0，x2)上單調(diào)遞增，在(x2，＋∞)上單調(diào)遞減． 綜上：若a≥1，f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞減； 若0＜a＜1，f(x)在(0,1－)上和(1＋，＋∞)上分別單調(diào)遞減，在(1－，1＋)上單調(diào)遞增； 若a≤0，f(x)在(0,1＋)上單調(diào)遞增，在(1＋，＋∞)上單調(diào)遞減． (2)證明：由題知a＝0，k＝1，所以f(x)＝x2ex， 令g(x)＝ex－(x＋1)， 對任意實數(shù)x＞0，g′(x)＝ex－1＞0恒成立， 所以g(x)＝ex－(x＋1)＞g(0)＝0，即ex＞x＋1＞0， 則x2ex－m(x＋1)ln x＞x2(x＋1)－m(x＋1)ln x＝(x＋1)(x2－mln x)． 令h(x)＝x2－mln x， 所以h′(x)＝(x2－mln x)′＝2x－＝. 因為0＜m≤2e，所以h′(x)＝＝. 所以x∈時，h′(x)＜0，h′＝0；x∈時，h′(x)＞0， 所以h(x)＝x2－mln x在(0，＋∞)上有最小值， 所以h＝－mln＝ 因為0＜≤e，所以ln ≤1，所以1－ln ≥0， 所以≥0，即0＜m≤2e時，對任意x＞0，h(x)＝x2－mln x≥0. 所以x2ex－m(x＋1)ln x≥0， 所以方程f(x)－m(x＋1)ln x＝0無實根． 請考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題記分． 22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程] 已知平面直角坐標系xOy，直角l過點P(0，)，且傾斜角為α，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ2－4ρcos－1＝0. (1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的標準方程； (2)設直線l與圓C交于M、N兩點，若|PM|－|PN|＝，求直線l的傾斜角的α值． [解]　(1)因為直線l過點P(0，)，且傾斜角為α， 所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 因為圓C的極坐標方程為ρ2－4ρcos－1＝0， 所以ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0， 所以圓C的普通方程為：x2＋y2－2x－2y－1＝0， 圓C的標準方程為：(x－1)2＋(y－)2＝5. (2)直線l的參數(shù)方程為代入圓C的標準方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝5， 整理得t2－2tcos α－4＝0. 設M、N兩點對應的參數(shù)分別為t1、t2，則t1＋t2＝2cos α， 所以|PM|－|PN|＝|t1＋t2|＝|2cos α|＝，即cos α＝±. 因為0≤α＜π，所以α＝或. 23．(本小題滿分10分)[選修4－5：不等式選講] 已知a＞0，b＞0，c＞0，函數(shù)f(x)＝|a－x|＋|x＋b|＋c. (1)當a＝b＝c＝2時，求不等式f(x)＜8的解集； (2)若函數(shù)f(x)的最小值為1，證明：a2＋b2＋c2≥. [解]　(1)當a＝b＝c＝2時，f(x)＝|x－2|＋|x＋2|＋2， 所以f(x)＜8? 或或 所以不等式的解集為{x|－3＜x＜3}． (2)因為a＞0，b＞0，c＞0， 所以f(x)＝|a－x|＋|x＋b|＋c≥|a－x＋x＋b|＋c＝|a＋b|＋c＝a＋b＋c. 因為f(x)的最小值為1，所以a＋b＋c＝1. 所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1， 因為2ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,2ac≤a2＋c2， 所以1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤3(a2＋b2＋c2)， 所以a2＋b2＋c2≥. - 13 -