（課標(biāo)專用）天津市2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練9 三角變換與解三角形

專題能力訓(xùn)練9　三角變換與解三角形 　專題能力訓(xùn)練第24頁　  一、能力突破訓(xùn)練 1.若sin α=13,則cos 2α=(　　) A.89 B.79 C.-79 D.-89 答案:B 解析:cos2α=1-2sin2α=1-2×132=79. 2.(2019全國Ⅱ,理10)已知α∈0,π2,2sin 2α=cos 2α+1,則sin α=(　　) A.15 B.55 C.33 D.255 答案:B 解析:∵2sin2α=cos2α+1,∴4sinαcosα=2cos2α. ∵α∈0,π2,∴cosα>0,sinα>0, ∴2sinα=cosα. 又sin2α+cos2α=1, ∴5sin2α=1,即sin2α=15. ∵sinα>0,∴sinα=55. 故選B. 3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,則角B的值為(　　) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 答案:D 解析:由(a2+c2-b2)tanB=3ac,得a2+c2-b22ac=32·cosBsinB, 即cosB=32·cosBsinB,則sinB=32. ∵0<B<π,∴角B為π3或2π3.故選D. 4.在△ABC中,∠ABC=π4,AB=2,BC=3,則sin∠BAC等于(　　) A.1010 B.105 C.31010 D.55 答案:C 解析:在△ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BCcos∠ABC=(2)2+32-2×2×3cosπ4=5,解得AC=5. 由正弦定理BCsin∠BAC=ACsin∠ABC,得sin∠BAC=BC·sin∠ABCAC=3×sinπ45=3×225=31010. 5.已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,C=120°,a=2b,則tan A=　　　　　.  答案:32 解析:由正弦定理可得sinA=2sinB,因為B=180°-A-120°=60°-A, 所以sinA=2sin(60°-A), 即sinA=3cosA-sinA, 所以2sinA=3cosA,故tanA=32. 6.(2019浙江,14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點D在線段AC上.若∠BDC=45°,則BD=　　　　,cos∠ABD=　　　　.  答案:1225　7210 解析:如圖所示, 設(shè)CD=x,∠DBC=α,則AD=5-x,∠ABD=π2-α,在△BDC中,由正弦定理得3sinπ4=xsinα=32?sinα=x32.在△ABD中,由正弦定理得5-xsin(π2-α)=4sin3π4=42?cosα=5-x42.由sin2α+cos2α=x218+(5-x)232=1,解得x1=-35(舍去),x2=215?BD=1225.在△ABD中,由正弦定理得0.8sin∠ABD=4sin(π-π4)?sin∠ABD=210?cos∠ABD=7210. 7.在△ABC中,a2+c2=b2+2ac. (1)求B的大小; (2)求2cos A+cos C的最大值. 解:(1)由余弦定理及題設(shè)得cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22. 又因為0<B<π,所以B=π4. (2)由(1)知A+C=3π4. 2cosA+cosC=2cosA+cos3π4-A =2cosA-22cosA+22sinA =22cosA+22sinA=cosA-π4. 因為0<A<3π4, 所以當(dāng)A=π4時,2cosA+cosC取得最大值1. 8.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=23,且(23+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C. (1)求角A的大小; (2)求△ABC面積的最大值. 解:(1)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=23,且(23+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC. 整理得,(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC, 利用正弦定理得,a2-b2=c2-bc, 即cosA=b2+c2-a22bc=12, 由于0<A<π,解得A=π3. (2)因為a=23,A=π3, 所以a2=b2+c2-2bccosA, 整理得12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc, 所以S△ABC=12bcsinA≤12×12×32=33. 當(dāng)且僅當(dāng)b=c時,△ABC的面積有最大值33. 9.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角. (1)證明:B-A=π2; (2)求sin A+sin C的取值范圍. (1)證明由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sinB=cosA,即sinB=sinπ2+A. 又B為鈍角,因此π2+A∈π2,π, 故B=π2+A,即B-A=π2. (2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π-2A+π2=π2-2A>0,所以A∈0,π4,于是sinA+sinC=sinA+sinπ2-2A=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2sinA-142+98. 因為0<A<π4,所以0<sinA<22, 因此22<-2sinA-142+98≤98. 由此可知sinA+sinC的取值范圍是22,98. 10.設(shè)f(x)=sin xcos x-cos2x+π4. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若fA2=0,a=1,求△ABC面積的最大值. 解:(1)由題意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+π22=sin2x2-1-sin2x2=sin2x-12. 由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z; 由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,可得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z);單調(diào)遞減區(qū)間是π4+kπ,3π4+kπ(k∈Z). (2)由fA2=sinA-12=0,得sinA=12, 由題意知A為銳角,所以cosA=32. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA, 得1+3bc=b2+c2≥2bc, 即bc≤2+3,且當(dāng)b=c時等號成立. 因此12bcsinA≤2+34. 所以△ABC面積的最大值為2+34. 二、思維提升訓(xùn)練 11.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,則cosα+β2等于(　　) A.33 B.-33 C.539 D.-69 答案:C 解析:∵cosπ4+α=13,0<α<π2,∴sinπ4+α=223. 又cosπ4-β2=33,-π2<β<0, ∴sinπ4-β2=63, ∴cosα+β2=cosπ4+α-π4-β2=cosπ4+α·cosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2 =13×33+223×63=539. 12.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足csin A=acos C.當(dāng)3sin A-cosB+π4取最大值時,角A的大小為(　　) A.π3 B.π4 C.π6 D.2π3 答案:A 解析:由正弦定理,得sinCsinA=sinAcosC. 因為0<A<π,所以sinA>0,從而sinC=cosC. 又cosC≠0,所以tanC=1,則C=π4, 所以B=3π4-A. 于是3sinA-cosB+π4=3sinA-cos(π-A)=3sinA+cosA=2sinA+π6. 因為0<A<3π4, 所以π6<A+π6<11π12,從而當(dāng)A+π6=π2, 即A=π3時,2sinA+π6取最大值2.故選A. 13.在△ABC中,邊AB的垂直平分線交邊AC于點D,若C=π3,BC=8,BD=7,則△ABC的面積為　　　　　.  答案:203或243 解析:在△CDB中,設(shè)CD=t,由余弦定理得49=64+t2-2×8t×cosπ3, 即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5. 當(dāng)t=3時,CA=10,△ABC的面積S=12×10×8×sinπ3=203; 當(dāng)t=5時,CA=12,△ABC的面積S=12×12×8×sinπ3=243. 故△ABC的面積為203或243. 14.已知sinπ4+αsinπ4-α=16,α∈π2,π,則sin 4α的值為　　　　　.  答案:-429 解析:因為sinπ4+α =sinπ2-π4-α=cosπ4-α, 所以sinπ4+αsinπ4-α =sinπ4-αcosπ4-α=12sinπ2-2α =12cos2α=16,所以cos2α=13. 因為π2<α<π,所以π<2α<2π. 所以sin2α=-1-132=-223. 所以sin4α=2sin2αcos2α=-2×229=-429. 15.已知銳角三角形ABC的外接圓的半徑為1,A=π4,則△ABC的面積的取值范圍為　　　　　.  答案:1,2+12 解析:因為銳角三角形ABC的外接圓的半徑為1,A=π4, 所以由正弦定理可得,bsinB=csinC=a22=2,可得b=2sinB,c=2sin3π4-B, 所以S△ABC=12bcsinA =12×2sinB×2sin3π4-B×22 =sinB(cosB+sinB) =22sin2B-π4+12, 因為B,C為銳角,可得π4<B<π2,π4<2B-π4<3π4,可得sin2B-π4∈22,1, 所以S△ABC=22sin2B-π4+12∈1,2+12. 16.在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,π3<C<π2,且ba-b=sin2CsinA-sin2C. (1)判斷△ABC的形狀; (2)若|BA+BC|=2,求BA·BC的取值范圍. 解:(1)由ba-b=sin2CsinA-sin2C及正弦定理,得sinB=sin2C, ∴B=2C或B+2C=π. 若B=2C,∵π3<C<π2, ∴2π3<B<π,B+C>π(舍去). 若B+2C=π,又A+B+C=π, ∴A=C,∴△ABC為等腰三角形. (2)∵|BA+BC|=2, ∴a2+c2+2accosB=4. 又由(1)知a=c,∴cosB=2-a2a2. 而cosB=-cos2C,∴12<cosB<1, ∴1<a2<43. ∵BA·BC=accosB=a2cosB,且cosB=2-a2a2, ∴a2cosB=2-a2∈23,1. ∴BA·BC∈23,1. - 8 -