《電磁場與電磁波》第一章 矢量分析

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1、第一章 矢量分析主要內(nèi)容：矢量的基本概念、代數(shù)運(yùn)算場論基礎(chǔ)（梯度、矢量場的散度和旋度）矢量場的亥姆霍茲定理1-1 標(biāo)量與矢量標(biāo)量：僅具有大小特征的量。例如長度、溫度、面積、體積等。矢量：具有大小和方向特征的量。例如速度、力、電場強(qiáng)度等。場是一個標(biāo)量或一個矢量的位置函數(shù)，即場中任一個點(diǎn)都有一個確定的標(biāo)量值或矢量。例如,在直角坐標(biāo)下,標(biāo)量場)()(),(222z2y1x45zyx 矢量場zy2x2xyzzxxy2)z,y,x(eeeA形象描繪場分布的工具-場線矢量場-矢量線標(biāo)量場-等值線(面).constzyxh),(其方程為0d lA其方程為矢量線等值線1-2 矢量的代數(shù)運(yùn)算若矢量A與矢量B大小

2、與方向均相同，則A=B。加法運(yùn)算符合結(jié)合律和交換律。ABBA交換律：)()(CBACBA結(jié)合律：標(biāo)量乘矢量：zzyyxeAeAeAAx1-3 矢量的標(biāo)積和矢積一、矢量的標(biāo)積zzyyxxAAAeeeAxxyyzzBBBBeee矢量A與矢量B的標(biāo)積定義為：zzyyxxBABABABA矢量A的模為：222zyxAAAA AcoscoscoszyxzzyyxxaeeeeAeAeAAAAAAeA的單位矢量其中 、為矢量A的方向余弦。coscoscos顯然，兩矢量的標(biāo)積是一個標(biāo)量。則：coscoscosAAAeAAzyxaeee標(biāo)積的幾何意義標(biāo)積的幾何意義ABxy設(shè)xeAAyyxxeBeBBcosBxBc

3、os()sin2yBBB其中所以cosBABA 可見，標(biāo)積AB等于矢量A的模與矢量B在矢量A方向投影大小的乘積。顯然BABABABA/0二、矢量的矢積zzyyxxAAAeeeAxxyyzzBBBBeee矢量A與矢量B的矢積定義為：xyzxyzxyzeeeAAABBBAB顯然，矢量的矢積不滿足交換律。兩個矢量的矢積仍是矢量。矢積的幾何意義矢積的幾何意義設(shè)xeAAyyxxeBeBB則顯然0/A BABA BA BAABxyzBsinBAeBAz 可見，矢積AB的方向與矢量A及矢量B構(gòu)成的平面垂直，由A旋轉(zhuǎn)到B成右手螺旋關(guān)系；大小為 。sinBA1-4 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù) 標(biāo)量場在某

4、點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場在該點(diǎn)沿某一方向的變化率。PllP 例如標(biāo)量場 在 P 點(diǎn)沿 l 方向上的方向?qū)?shù) 定義為Pl 0()()limlPPPll二、梯度(gradient)1dxdydzlxyzdldldzedldyedldxezeyexezyxzyxcoscoscoszyx)cos,cos,(cos為 的方向余弦。l在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù) 可寫為：l(,),xyzG)cos,cos,(cosle設(shè)lGel則有:矢量G稱為標(biāo)量場 的梯度，以grad 表示，即zeyexezyxgradG可見，標(biāo)量場的梯度是一個矢量場。哈密頓算子xyzeeexyz 式中當(dāng) ,即 與 方向一致時,為最大.(,)

5、0lG eleGl三、梯度的物理意義|cos(,)llGeGG el方向?qū)?shù)l 標(biāo)量場在某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)。l標(biāo)量場的梯度是矢量場，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。l 梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向.因此l標(biāo)量場的梯度函數(shù)建立了標(biāo)量場與矢量場的聯(lián)系，這一聯(lián)系使得某一類矢量場可以通過標(biāo)量函數(shù)來研究，或者說標(biāo)量場可以通過矢量場的來研究。梯度的物理意義例1 三維高度場的梯度 三維高度場的梯度高度場的梯度 與過該點(diǎn)的等高線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；指向地勢升高的方向。例2 電位場的梯度 電位場的梯度電位場的梯度 與過該點(diǎn)的等位線垂

6、直；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。四、梯度運(yùn)算的基本公式 0cccff 例例 計算計算 及及 。這里。這里 R 為空間為空間 P 點(diǎn)與點(diǎn)與 點(diǎn)之間的距離點(diǎn)之間的距離,，如下圖示。，如下圖示。P 點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，表示對表示對 x,y,z 運(yùn)算，運(yùn)算，表示對表示對 運(yùn)算。運(yùn)算。R1R1P),(zyxzyx,0RP),(zyxzxyr OP(x,y,z)r r r P(x,y,z)zyxzyxeeerzyxzyxeeer解解zyxzzyyxxeeeR)()()(222)()()(zzyyxxRzyxzyxeeezyxzyxeee31RRRRR1131

7、RRR表示源點(diǎn)，表示源點(diǎn)，P 表示場點(diǎn)。表示場點(diǎn)。P1-5 矢量場的通量、散度與散度定理一、通量 dSAS 矢量 A A 沿某一有向曲面 S S 的面積分稱為矢量 A A 通過該有向曲面 S S 的通量，以標(biāo)量 表示，即 矢量場的通量 物理意義：若S 為閉合曲面,則矢量A A通過面S S的通量 反映了閉合面中源的性質(zhì):SdSA=0(無源)0(有正源)由物理得知，真空中的電場強(qiáng)度 E 通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電量 q 與真空介電常數(shù) 0 之比，即可見，當(dāng)閉合面中存在正電荷時，通量為正。當(dāng)閉合面中存在負(fù)電荷時，通量為負(fù)。在電荷不存在的無源區(qū)中，穿過任一閉合面的通量為零。S

8、q 0dSE 通量僅能表示閉合面中源的總量，不能顯示源的分布特性。為此需要研究矢量場的散度。二、散度(divergence)如果包圍點(diǎn)P的閉合面S S所圍區(qū)域V V以任意方式縮小為點(diǎn)P 時,矢量A A通過該閉合面的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場A A在該點(diǎn)的散度，以divA A表示，即VSVd limdiv 0SAA上式表明，散度是一個標(biāo)量，它可理解為通過包圍單位體積閉合面的通量。直角坐標(biāo)系中，散度可表示為：divyxzAAAxyzAA三、散度的物理意義 矢量的散度是一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；散度代表矢量場的通量源的分布特性 A A=0(無源）A A=0 (正源)A A=0(

9、負(fù)源)在矢量場中，若 A=0，稱之為有源場，稱為(通量)源密度；若矢量場中處處 A=0，稱之為無源場。四、高斯定理（散度定理）散度定理Sv10vdSAAlimdiv 由于 是通量源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，對 體積分后，為穿出閉合面S S的通量AAV1nn0VnSdVVlimdnAASAVSdVdASA高斯定理 建立了矢量函數(shù)面積分與標(biāo)量函數(shù)體積分的互換。該公式表明了區(qū)域V 中場A與邊界S上的場A之間的關(guān)系。五、散度的運(yùn)算公式div0divdivdivdivC 為常矢量為常數(shù)CCCCAAAAAABAB例例 求空間任一點(diǎn)位置矢量求空間任一點(diǎn)位置矢量 r 的散度的散度。3zzyyxx

10、r求得求得zyxzyxeeer已知已知解解Oxzyrxzy1-6矢量場的環(huán)量、旋度與旋度定理一、環(huán)量與漩渦源 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的矢量線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場與電流的關(guān)系。sLdz,y,xIdz,y,xsJLB00環(huán)量表示閉合曲線內(nèi)存在另一種源漩渦源。電流是磁場的漩渦源。例：流速場 流速場水流沿平行于水管軸線方向流動=0，無渦旋運(yùn)動流體做渦旋運(yùn)動0，有產(chǎn)生渦旋的源環(huán)量：矢量場A沿有向閉合曲線l的

11、線積分稱為矢量場A沿該曲線的環(huán)量，以表示為 環(huán)量的計算llA d物理意義：矢量沿閉合曲線的環(huán)量反映了閉合曲線內(nèi)源的性質(zhì)。二、旋度（rotation）過點(diǎn)P作一微小曲面S,它的邊界曲線記為L,面的法線方與曲線繞向成右手 螺旋法則。當(dāng)S點(diǎn)P時,存在極限LdS1dSdPSllim 此極限稱為矢量A A在P點(diǎn)對于方向e en的環(huán)量密度，或環(huán)量強(qiáng)度。同一點(diǎn)不同方向上環(huán)量密度不同。1.環(huán)量密度en1en2en2.旋度 矢量A A的旋度是一個矢量，其模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向，以符號curl表示，即maxn0curl=limSdS lAlAe它與環(huán)量密度的關(guān)系為curl nddSA

12、e在直角坐標(biāo)系下curlxyzxyzxyzAAAeeeAA即某點(diǎn)環(huán)量密度的大小為矢量A在該點(diǎn)的旋度在環(huán)量密度方向的投影。三、旋度的物理意義 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。在矢量場中，若A=J0,稱之為旋度場(或旋渦場)，J 稱為旋度源(或旋渦源)；若矢量場處處A=0，稱之為無旋場。四、斯托克斯定理（旋度定理）斯托克斯定理iiddilSAAl)(是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路的環(huán)量，因此取面積微元 ，包圍其的閉合曲線為 則有AidSidl對于包圍面積S的閉合曲線l，有l(wèi)AlASdSd上式稱為斯托克斯定理或

13、旋度定理。式中 的方向與 的方向符合右手螺旋關(guān)系。Sdl d 矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。該公式表明了區(qū)域S中場A與邊界L上的場A之間的關(guān)系。在電磁場理論中，Gauss公式和 Stockes公式是兩個非常重要的公式。五、旋度的有關(guān)公式GFFGGFGFGFFFFCCCCfffff為常矢量0例例 試證任何矢量場試證任何矢量場 A 均滿足下列等式均滿足下列等式SVV d d)(SAA式中式中S 為包圍體積為包圍體積 V 的閉合表面，此式又稱為的閉合表面，此式又稱為矢量矢量斯托克斯定理。斯托克斯定理。證證根據(jù)高斯定理，上式左端應(yīng)為根據(jù)高斯定理，上式左端應(yīng)為ACACCAAC)(VVVV d d)(A

14、CACSVV d)(d)(SACACSS d )d(SACSAC設(shè)設(shè) C 為任一為任一常常矢量，則矢量，則那么對于任一體積那么對于任一體積 V，得，得SVV d d)(SACAC求得求得SVAne1-7 無散場與無旋場 散度處處為零的矢量場稱為無散場，旋度處處為零的矢量場稱為無旋場?？梢宰C明，下列兩個重要公式成立：0)(A0)(上式表明，任一矢量場 A 的旋度的散度一定等于零。因此，任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度，或者說，任何旋度場一定是無散場。上式表明，任一標(biāo)量場 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無旋場可以表示為一個標(biāo)量場的梯度，或者說，任何梯度場一定是無旋場。設(shè)任意兩個標(biāo)量場 及，

15、若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，如下圖示。SV,ne 那么，可以證明該兩個標(biāo)量場 及 滿足下列等式SVSnV 2dd)(根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成式中S 為包圍V 的閉合曲面，為標(biāo)量場 在 S 表面的外法線 en 方向上的偏導(dǎo)數(shù)。nSVV 2d)(d)(S上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。1-8 格林定理SVSnnV 22dd)(SVV 22d d)(S基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。設(shè)任意兩個矢量場 P P 與 Q Q，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場 P P 及 Q Q 滿足下列等式SVV d d)()(SQPQPQP式中 S

16、S 為包圍 V 的閉合曲面，面元 dS S 的方向?yàn)?S S 的外法線方向，上式稱為矢量第一格林定理?；谏鲜竭€可獲得下式：SVV dd()(SPQQPQPPQ此式稱為矢量第二格林定理。無論何種格林定理，都是說明區(qū)域 V 中的場與邊界 S 上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。此外，格林定理說明了兩個標(biāo)量場或矢量場之間應(yīng)該滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一個場的分布特性，即可利用格林定理求解另一個場的分布特性。位于某一區(qū)域中的矢量場，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上場量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場被惟一地確定。已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場

17、的源，可見惟一性定理表明，矢量場被其源及邊界條件共同決定的。VSF(r)ntor and&FFFF1-9 矢量場的唯一性定理1-10 亥姆霍茲定理 若矢量場 F F(r r)在無限區(qū)域中處處是單值的，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域 V 中，則當(dāng)矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場 F F(r r)可以表示為 )()()(rArrFVVd)(41)(rrrFrVVd)(41)(rrrFrA式中l(wèi)任一矢量場均可表示為一個無旋場與一個無散場之和。V zxyr Or r r F(r)l無散且無旋的矢量場在無限空間中是不存在的。l有限空間中的矢量場由其散度、旋度唯一的確定。若矢量場F(r)位于區(qū)域V中

18、，則上述方程變?yōu)椋?()()(rArrF SrrrFrrrFrdVdVS4141 1144VSdVd F rF rA rSrrrr式中上式中的面積分分別代表了邊界S上場量的法向分量和切向分量。l有限空間中的矢量場由其散度、旋度和邊界條件唯一的確定。l若有限區(qū)域是無源的，則場僅決定于邊界條件。l矢量場的散度及旋度特性是研究矢量場的首要問題。1-11 正交曲面座標(biāo)系 一個正交曲面座標(biāo)系由u1=常數(shù)、u2=常數(shù)、u3=常數(shù)的三個正交坐標(biāo)曲面構(gòu)成，u1、u2、u3稱為坐標(biāo)變量。令eu1、eu2、eu3分別表示3個相應(yīng)坐標(biāo)變量的梯度方向的單位矢量，那么在三維正交座標(biāo)系（u1、u2、u3）中，矢量A可表示

19、為：332211uuueAeAeAA式中，A1、A2、A3分別為矢量A在相應(yīng)座標(biāo)軸上的座標(biāo)分量。直角直角(x,y,z)zxyz=z 0 x=x 0y=y 0P0zexeyeO123xyzAeA eA eA圓柱圓柱(r,z)yzxP0 0=0r=r0z=z 0rezeeO123rzAeA eA eAxzy=0 0 0球球(r,)r=r 0=0ereeP0O123rAeA eA eA微分單元的表示微分單元的表示球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系d sin d ddrrrreeeld dd d sin d d sind2rrrrrreeeSd d d sind2rrV 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系zrrzrdd ddeeel

20、d d d dd d drrzrzrzreeeSzrrVd d d d直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系zyxzyxddddeeelyxzxzyzyxddddd ddeeeSzyxVd d ddzzryrxsincoszzxyyxrarctan22坐標(biāo)變量轉(zhuǎn)換關(guān)系坐標(biāo)變量轉(zhuǎn)換關(guān)系cossinsincossinrzryrxxyzyxzyxrarctanarctan22222坐標(biāo)分量轉(zhuǎn)換關(guān)系坐標(biāo)分量轉(zhuǎn)換關(guān)系zyxzrAAAAAA 1000cossin0sincoszyxrAAAAAA 0cossinsinsincoscoscoscossinsincossinzrrAAAAAA 010sin0coscos0sin