概率論chapter01習(xí)題.pdf

汕大數(shù)學(xué)系林小蘋 PROBABILITY P AB P A P B A= 全概率公式 () ( | ) ( ); ii i P APABPB=? ∑ 定義： ( | )()()PB A PAB PA= 公式 () 1 ();P APA=? 逆公式 () ();AB PA PB?? ≤包含公式 ( ) () () ( )P A B PA PB PAB= +?∪ 和公式 (有無序,有無放回, 排列/組合) 汕大數(shù)學(xué)系林小蘋 10. 在11張卡片上分別寫上Probability這11個字母，從 中任意連抽7張，求其排列結(jié)果為ability的概率。 7 11 11 7 "" A ability 隨機試驗是從 張卡片中隨機連續(xù)抽 張， 樣本空間所含樣本點總數(shù)為 ，而排列結(jié)果 為 這一事件所含樣 解： 本點總數(shù)為 ，41111221 = 6 4 2.40 10 1663200 p ? ==故： 作業(yè)講解 汕大數(shù)學(xué)系林小蘋 11. 將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯 子中球的最大數(shù)分別為1，2，3的概率。 34將 個球隨機地放入 個解： 杯子中， 作業(yè)講解 共有 ( 1,2,3), i Aii=記 為事件“杯子里球的最大個數(shù)為 ” 1 A事件 表示每個杯子最多放一只球， 3 4 A共有 種放法， 33 14 3 () /4 8 PA A= =故 3 3A事件 表示 只球都放在一只杯子中，共有 1 4 C 種放法， 13 34 1 () /4 16 PA C==故 2 ()PA = 13 31 9 1()()1 816 16 PA PA??=??= 或 2 ()PA = 211 3 343 /4 9/16CCC = 2 232 43 A事件 表示有一個杯子放 只球，故在 個球中任取 球放在 只杯子中的一只，而另一球放在其余 個杯子中的一只， 3 4 種放法。 汕大數(shù)學(xué)系林小蘋 18. 某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字， 因而他隨意地撥號。求他撥號不超過三次而接通所需 電話的概率。若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概 率是多少？ (1,2,3), i Ai i=記 為事件“第次接通電話” 則撥號不超過三次接通所需電話 解1： 這一事件為 1 A ∪ 作業(yè)講解 12 A A 123 A AA∪ 112123 () ( ) ( )P PA PAA PAAA++故所求概率 = 1121 () ()( | )PA PA PA A+ += 121312 ()( | )( | )P APA APA AA , 141431 3 5545435 P =++= 當已知最后一位數(shù)字是奇數(shù)時所求概率為 1919813 10 10 9 10 9 8 10 =++= 汕大數(shù)學(xué)系林小蘋 18. 某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字， 因而他隨意地撥號。求他撥號不超過三次而接通所需 電話的概率。若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概 率是多少？ 解2： 作業(yè)講解 3“撥號不超過 次就接通”的 對立事件 是 3“撥號 次都未通” 123 1( )P PAAA=? 1=? 121312 ()( | )( | )P APA APA AA 10 3 8 7 9 8 10 9 1 =?= 432 3 1 543 5 P =?= 當已知最后一位數(shù)是奇數(shù)時，所求概率 汕大數(shù)學(xué)系林小蘋 35. 解：記A i 表示事件“在情況C發(fā)生時，第i只開關(guān)閉 合”，i＝1，2，…，n，則當n＝2時，系統(tǒng)的可靠性為 12 1- ( )pPAA=或 p＝P(A 1 UA 2 )＝P（A 1 ）+P(A 2 ) －P（A 1 A 2 ） ＝0.96+0.96－(0.96) 2 ＝0.9984 ＝P（A 1 ）＋P（A 2 ）－P(A 1 )P(A 2 ) 12 1()()P APA=? 0.9984= 2 10.04=? 作業(yè)講解 0.9999如果要求系統(tǒng)的可靠性至少為 ，則 12 1( )0.99 n PPAAA=? ≥null 4 1 (0.04) 0.9999,(0.04) 10 , nn? ?≥ ≤即 3 0.9999.故至少要 只開關(guān)關(guān)聯(lián)才能使系統(tǒng)的可靠性至少為 86.2 04.0lg 4 ≈ ? ≥n 汕大數(shù)學(xué)系林小蘋 解：記H j 為事件“輸入信道的分別是字母串“AAAA， BBBB，CCCC”，i＝1，2，3，G為事件“輸出的是 ABCA”，由貝葉斯公式 1 (|)PH G= 作業(yè)講解 ()PG 1 ()P GH 11 ()(| )P HPGH 3 1 ()(| ) ii i P HPGH = = ∑ 22 1 1 ( ) 2 p α α ? = 22 1 1 () 2 p α α ? + 3 1 () 2 α α ? 23 ()pp+ 1 ( 1 )p? 1 1 2 (3 1) 1 p p α α α = ? +? 40. 將A,B,C三個字母之一輸入信道，輸出為原 字母的概率為α，而輸出為其它一字母的概率都是 (1?α)/2. 今將字母串AAAA,BBBB,CCCC之一輸入信道, 輸 入AAAA,BBBB,CCCC的概率分別為p 1 , p 2 , p 3 (p 1 +p 2 +p 3 =1), 已知輸出為ABCA, 問輸入的是AAAA的概率是多少?（設(shè) 信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的） 汕大數(shù)學(xué)系林小蘋 B i =“第i次取到一等品” (i=1,2) 記A=“挑出的是第1箱”， 例 例 . 有兩箱同種類的零件 . 第一箱 裝 20 只，其中 5 只一等 品； 第二箱 裝 16 只，其中 6 只一等品 . 今從兩箱中任挑出 一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，不放回 . 求①第1次取到一等品的概率；②第1次取到一等品的條 件下, 第2次也取到一等品的概率. 解 解 : 11 (|)() (|)()PB P PBAA AP A=?+? 1 ()P B (1) 21 ( | )?PB B = (2) 5611 20 2 16 2 = ?+ ? 5 . 16 = 12 1 () () P BB PB 1 ()PB = 54 6511 20 19 2 16 15 2 5 16 ? ? ? +? ?? = 27 . 95 = 11 38 16 5 16 + = 12 12 (|)()(|)()PBB AA AP APBBP?+ ? 汕大數(shù)學(xué)系林小蘋 例在可靠性理論上的應(yīng)用: 如圖，1、2、3、4、5表 示繼電器觸點,假設(shè)每個觸點閉合的概率為p ,且各繼電 器接點閉合與否相互獨立，求L至R 是通路的概率. 解 解 :設(shè)A表示“L 至R 為通路”, (i =1,2,…5) A i 表示“第i 個繼電器通”, (1) (2) 3 ( | )P A A = 14 25 ()P AA AA∪ 24 2pp= ? 3 (| )P A A = 1245 {( )( )}P AAAA∪∪ 12 45 ()()P AAPAA= ∪∪ 22 (2 )pp=? 由全概率公式 ()P A = 33 33 (| )( ) (| )( )P AA PA PAAPA+ 2345 2252pppp=+?+ (1) (2) 汕大數(shù)學(xué)系林小蘋 6. 在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號紀念章， 任選3人記錄其紀念章的號碼。(1)求最小的號碼為5的 概率；(2)求最大的號碼為5的概率。 解：隨機試驗是觀察從10人中任取3人的紀念章號碼 數(shù)，樣本空間S的樣本點總數(shù)為 (1) 5 5 6~10 最小號碼為 是必須取到 號，而其余二人 從 號中任取，故樣本點數(shù)為： 3 10 .C 2 4 23 2410 (2) 5 , /1/20 C pCC== 同理, 最大號碼為 的樣本點總數(shù) 所求概率為： 2 5 C 23 1510 /1/12pCC==所求概率為：