第一章 矢量分析

1矢量分析 1. 在球面坐標(biāo)系中，當(dāng)中與'無關(guān)時，拉普拉斯方程的通解為：（ ）。 2. 我們討論的電磁場是具有確定物理意義的（ ），這些矢量場在一定的區(qū)域 內(nèi)具有一定的分布規(guī)律，除有限個點(diǎn)或面以外，它們都是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。 在閉合面 3. 矢量場 的通量定義為 4.矢量場 在閉合路徑 的環(huán)流定義為 ,它是一個標(biāo)量；矢量場的旋度是一個 5.標(biāo)量場u(r)中，( )的定義為 其中n為 變化最快的方向上的單位矢 量。 6.矢量分析中重要的恒等式有 任 標(biāo)量的梯度的旋度恒為（）。 任 矢量的旋度的散度恒為（） 7.算符▽是一個矢量算符，在直角坐標(biāo)內(nèi)， ，所以 是個（），而 是個（）， 是個（）。 8. 亥姆霍茲定理總結(jié)了矢量場的基本性質(zhì)，分析矢量場總要從它的散度和旋度 開始著手，（）方程和（）方程組成了矢量場的基本微分方程。 9. （）坐標(biāo)、（）坐標(biāo)和球坐標(biāo)是電磁理論中常用的坐標(biāo) 10. 標(biāo)量：（ ）。如電壓U、電荷量Q、電流I、面積S等。 11. 矢量：（ ）。如電場強(qiáng)度矢量、磁場強(qiáng)度矢量、作用力矢量、速度矢量 12. 標(biāo)量場：在指定的時刻，空間每一點(diǎn)可以用一個標(biāo)量（）地描述，則該 標(biāo)量函數(shù)定出標(biāo)量場。例如物理系統(tǒng)中的溫度、壓力、密度等可以用標(biāo)量場來表 示。 13. 矢量場：在指定的時刻，空間每一點(diǎn)可以用一個矢量（）地描述，則該 矢量函數(shù)定出矢量場。例如流體空間中的流速分布等可以用矢量場來表示。 14. 旋度為零的矢量場叫做（） 15. 標(biāo)量函數(shù)的梯度是（），如靜電場 16. 無旋場的（）不能處處為零 17. 散度為零的矢量場叫做（） 18. 矢量的旋度是（），如恒定磁場 19. 無散場的（）不能處處為零 20. 一般場：既有（），又有（） 21. 任一標(biāo)量的梯度的旋度恒為（） 22. 任一矢量的旋度的散度恒為（ ）。 23. 給定三個矢量 求：⑴ , ⑵ , ⑶ , ⑷ , 上的分量: ⑹ , ⑺ , (4, 1,—3)和 (6, 2, 5)。 ⑴判斷 (2)求三角形的面積。 是否為一直角三角形。 25. 求 ( 一 3, 1, 4)點(diǎn)到 P(2,一2, 3）點(diǎn)的距離矢量 及的方向。 ，求 26.給定兩矢量 上的分量。 27.如果給定一未知矢量與已知矢量的矢量積，那么便可以確定該未知矢量。 為一矢量， ，而 , 和 已知，試求 28. 在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由 定 出， 求該點(diǎn)在(1)直角坐標(biāo)中；(2)球坐標(biāo)中的坐標(biāo)。 29. 用球坐標(biāo)表示的場 (1)求在直角坐標(biāo)系中點(diǎn)(一3, 4, 5)處的 與矢量 構(gòu)成的夾角。 ）和 30. 球坐標(biāo)中兩個點(diǎn)（ ）定出兩個位置矢量 。證明 間夾角的余弦為 提示: ，在直角坐標(biāo)中計算 31. 一球面S的半徑為5,球心在原點(diǎn)上，計算: 的值。 32. 在由r=5,z=0和z=4圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量 驗(yàn)證散度定理。 33.求（1）矢量 的散度; ⑵求 的積分; 對中心在原點(diǎn)的一個單位立方體 ⑶求 度定理。 對此立方體表面的積分，驗(yàn)證散 34.計算矢量 對一個球心在原點(diǎn)，半 對球體積 徑為a的球表面的積分，并求 的部分。 2的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與x軸和y軸相重合。再求 對此回路所包圍的表面積分，驗(yàn)證斯托 克斯定理。 的線積分，再計算 對此圓面積的積分。 37.證明：（1） (3) ，其中 為一常矢量。 38. 一徑向矢量場用 表示，如果 ，那么函數(shù) 會有什么特點(diǎn)呢? 39.給定矢量函數(shù) ，試：(1)沿拋物 ;(2)沿連接該兩點(diǎn)的直線分別計 算從點(diǎn) 的線積分 的值，這個 是保守場嗎? 40.求標(biāo)量函數(shù) 的梯度及 再一個指定方向的方向?qū)?shù)。此方向由 單位矢量 定出；求（2, 3, 1）點(diǎn)的導(dǎo) 數(shù)值。 41. 試采用與推導(dǎo)式（1, 3, 8）相似的方法計算圓柱坐標(biāo)下 的計算式。 42. 方程 上任意一點(diǎn)的單位法向矢量。 給出一橢球族。求橢球表面 43. 現(xiàn)有三個矢量場 問：（1）哪些矢量可以由一個標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以用一個矢量 的旋度表示？ （2）求出這些矢量的源分布。 44.利用直角坐標(biāo)證明: 45.證明: 46.利用直角坐標(biāo)證明: 47.利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明 ，試證明之。 48. 求數(shù)量場6 =(x+y)2-z通過點(diǎn)M(1, 0, 1)的等值面方程。 49. 求矢量場A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程 50. x 2 + y 2 求數(shù)量場U = 丁 在點(diǎn)M(1, 1, 2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。 51. 設(shè)標(biāo)量函數(shù)r是動點(diǎn)M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即 gradr = - = r。. r =52 + y2 + z2 ,證明： - 52. 求r在M(1, 0, 1)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù) 53. 已知位于原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷q在點(diǎn)M(x, y, z)處產(chǎn)生的電位為蝦版，其中 矢徑r為r=xex+yey+zey，且已知電場強(qiáng)度與電位的關(guān)系是E=-V^，求電場強(qiáng) 度E。 54. 已知矢量場r=xex+yey+zez，求由內(nèi)向外穿過圓錐面x2+y2=z2與平面z=H 所圍封閉曲面的通量。 55. 在坐標(biāo)原點(diǎn)處點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場，在此電場中任一點(diǎn)處的電位移矢量為 D=/?°(r=ye,=zez，r="r°=C)求穿過原點(diǎn)為球心、R為半徑的球面的電通量 D = -^r=^r 56. 原點(diǎn)處點(diǎn)電何q產(chǎn)生的電位移矢量 4兀r2 4兀r3，試求電位移矢量D的 散度。 57. 球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為r=xex+yey+zez，求Jg■dS 58. 求矢量A=-yex+xey+cez(c是常數(shù))沿曲線(x-2)2+y2=R2, z=0的環(huán)量 59. 求矢量場 A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez 在點(diǎn) M(1，0， 1)處的旋度以及 沿n=2ex+6ey+3ez方向的環(huán)量面密度。 60. 在坐標(biāo)原點(diǎn)處放置一點(diǎn)電荷q，在自由空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為 E = ―——r = ―—— (xe + ye + ze ) 4丸* 4g3 x y z求自由空間任意點(diǎn)(r尹0)電場強(qiáng)度的旋度VXE。 61. 在一對相距為l的點(diǎn)電荷+q和-q的靜電場中，當(dāng)距離r>>l時，其空間電位 ®(r, 0,6) = ―—1— cos 0 的表達(dá)式為 4冗叩2 求其電場強(qiáng)度E(r, 0, 6)。 62. 已知一矢量場F=axxy-ayzx,試求： (1) 該矢量場的旋度； (2) 該矢量沿半徑為3的四分之一圓盤的線積分， 如圖所示，驗(yàn)證斯托克斯定理。 63. 如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未 知矢量。設(shè)A為一己知矢量P = A?Xp = AxXp和P已知，試求X 64. 點(diǎn)電荷q在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為 M 0 v v - - “ / 、 D r, r = xx+ yy + zz, r = (x2 + y2 +x2)i/2 4兀,3 求任意點(diǎn)處電通量密度的散度 ▽?D,并求穿出r為半徑的球面的電通量 證明(D V(p(/(r)) = ^Vf(r) df v v v dA v 65. (2) VgA(/(r)) = —gVf(r) df v v v dA v (3) Vx A(/(r)) = -—xV/(r) df 66. 證明：標(biāo)量場在任一點(diǎn)的梯度垂直于過該點(diǎn)的等值面 V V V 67. 68. 求證：(1) Vg((pA) =(pVgA +AgVcp v v v (2) Vx (cpA) =(pVx A +Vcpx A v v v v VxVx ((pA) = V(px(Vx A)-AV2(p + (AgV)Vq) V V V +(pVx (Vx A) + (Vcp)VgA-(V(pgV)A r v f v v 69.證明 J (nxV)x = -J Axdl 70.證明: 其中：A為一常矢 71. 現(xiàn)有三個矢量場A, B, C 問：(1)哪些矢量可以由一個標(biāo)量函數(shù)的梯度表示; (2) 哪些矢量可以由一個矢量的旋度表示； (3) 求出這些矢量的源分布。 的散度; 72. (1)求矢量 (2) 求 對中心在原點(diǎn)的一個單位立方 體的積分； (3) 求A對此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。 73.求矢量 沿平面上的一個邊長為2 的正方形回路的線積分，此正方形的兩個邊分別與x軸和y軸相重合。再求 對此回路所包圍的表面積分，驗(yàn)證斯托 克斯定理。 ，試計算(1)沿拋 74.給定矢量函數(shù) 物線x = 2y2；(2)沿連接該兩點(diǎn)的直線從點(diǎn)P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的線積分 的值，這個E是保守場嗎？ 75.已知A、B和C為任意矢量，若A B = A C，則是否意味著B總等于C呢？ 試討論之；試證明：A @ x C)=B S x A)= C-(A xB)。 76. 給定三個矢量A、B和C如下: A = a + 2a - 3a B = -4a + a C = 5a - 2a . 求(1)矢量A的單位矢量氣； (2) 矢量A和B的夾角0食； (3) A -B和 A xB (4) A G xC)和(A xB)? C ； (5) A x(B xC)和(A xB)xC 77. 有一個二維矢量場F。)=氣(—>)+ "y 1),求其矢量線方程，并定性畫出該 矢量場圖形。 70 吉各人I人燈玄擊白打占P (— 3,1,4)知P G,—2,3)吉各人［人燈玄山中占P P 7 0. 直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)1 和2 '，且角坐標(biāo)系中與出點(diǎn)1、 2的 位置矢量1和；求點(diǎn)。到P2的距離矢量的大小和方向，求矢量I在r2的投影。 79. 寫出空間任一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的位置矢量表達(dá)式，并將此位置矢量分別變 換成在圓柱坐標(biāo)系中和球坐標(biāo)系中的位置矢量。 80. 求數(shù)量場寸=ln (2 + y 2+z2)通過點(diǎn)尸們2,3)的等值面方程。 81. 用球坐標(biāo)表示的場『a「22， 求(1)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)(―3,4,—5)處的回和 (2) E與矢量B = 2氣—2ay+氣之間的夾角。 82. 試計算S' 'S的值，式中的閉合曲面S是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的單位立方體，,為 立方體表面上任一點(diǎn)的位置矢量。 83. 求標(biāo)量場wG,-z）=6^2>3+以在點(diǎn)尸G,-1,。）的梯度。 84. 在圓柱體"2 + >2 = 9和平面x=。、> =。、z =。及z = 2所包圍的區(qū)域，設(shè) 此區(qū)域的表面為S,求 （1）矢量場A沿閉合曲面S的通量，矢量場A的表達(dá)式為 A = a 3x2 + a (3y + z)+ a. Gz - x) （2）驗(yàn)證散度定理。 85.計算!*以從P（。,。,。）到qG，1，。），其中矢量場A的表達(dá)式為 A =氣4X — a J4'2曲線C沿下列路徑: (1) (2) 沿直線從（°，°，°）沿x軸到G，°，°），再沿x=1到G，1，。）； (3) 此矢量場為保守場嗎? 86. （1）若矢量場A = G + l6r2>z，在半徑為2和° -0-^ 2的半球面上計算 j A - dS 的值；（2）若矢量場A = 10cos2中氣，求穿過平面上半徑為2的圓面 j A - dS 的通量S 87.求矢量 x A = a x + ayxy2沿圓周x2 + y2 = a2的線積分，再求Vx A對此圓周 所包圍的表面積分， 驗(yàn)證斯托克斯定理。 88.在球坐標(biāo)系中 卜-cos。 已知標(biāo)量函數(shù) 4雙0"，其中Pe和£ 0均為常數(shù)，求矢 89. 求下列標(biāo)量場的梯度: （1）u = xyz + x2 ； （2） u = 4x2y + y2z - 4xz . 90. 求下列矢量場在給定點(diǎn)的散度: （1）A = axx3 + ayy3 + a Gz-x）在點(diǎn)尸G,0,—1）. （2）A = axx2y + a^^z+a,3z2在點(diǎn)尸G,1,0）。 91. 求下列矢量場的旋度: （1）A = a x2 + a y2 + a 3》 （2）A = a yz + a xz + a xy 92. 現(xiàn)有三個矢量場A、B和C，已知 A = a sin 0 cos 9+ a。cos 0 cos 9- a sin 9 B=a ^2 sin(p +a cos(p +a 2pzsin(p P <P z C =a -2x^+a 3x2 +a 2z X y z 求(1)哪些矢量場為無旋場、哪些矢量場為無散場？ (2) 哪些矢量場可以用一個標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示？哪些矢量場可以用一個 矢量函數(shù)的旋度來表示？ (3) 求出它們的源分布。 93. 已知直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)戶"乂 '和點(diǎn)Q 3, y'，z‘)求p點(diǎn)的位置矢量，和Q點(diǎn) V 一 的位置矢量，'；從尸點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離矢量A； Vxr和Vr. {RJ 94. 證明矢量場4 =氣°心2)+氣S-z)+“ ?-y + 2z)為有勢場。 95. 在直角坐標(biāo)中，證明V?J1)=WV?4 + A?VW 96. 在直角坐標(biāo)中，證明Vx(kA)=vVxA + (Vv)xA 97. 求函數(shù)'=3x2y — y2在點(diǎn)pG,3)處沿曲線y = X2-1朝X增大方向的方向?qū)?數(shù)。 98. 若矢量場* =氣* + 2z)+ %(3尤-2)+1 (裝-1)試在由半球面 h +廣+宇=4和平面式=°組成的閉合曲面上驗(yàn)證斯托克斯定理。 99. 在直角坐標(biāo)中，證明： 一個矢量場的旋度的散度恒等于零，即 V（VxA）=O 一個標(biāo)量場的梯度的旋度恒等于零，即Vx（0w）三0。 100. 試說明：滿足拉普拉斯方程程如=0的電位函數(shù)沒有極大值。 101. 給定兩矢量和，求它們之間的夾角和 上的分量。 102.證明：如果 ，則