【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文 文獻(xiàn)綜述 開題報(bào)告】一些不等式的證明及推廣

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1、【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文+文獻(xiàn)綜述+開題報(bào)告】一些不等式的證明及推廣 〔20_ _屆〕 本科畢業(yè)論文 一些不等式的證明及推廣 摘要：本文主要介紹了柯西不等式、Young不等式、赫爾德不等式和閔可斯基不等式的根本形式以及它們的證明，此外還對(duì)這幾個(gè)重要不等式的推廣做了比擬系統(tǒng)的綜述，并舉例說明了這些不等式在各個(gè)方面的具體應(yīng)用。 關(guān)鍵字：柯西不等式；Young不等式；赫爾德不等式；閔可斯基不等式 The Proof And Generalization of Some Important Inequalitie

2、s Abstract: This paper summarized the basic form of several important inequalities and their proof, such as Cauchy inequality, Young inequality, Holder inequality and Minkowski inequality. In addition, this article introduces some generalizations of these inequalities and some applications in every

3、 aspect by taking examples. Key words: Cauchy inequality; Young inequality; Holder inequality; Minkowski inequality; 目錄 1 引言 1 2 柯西不等式 3 2.1 柯西不等式的定義 3 2.2 柯西不等式的幾種證明方法 3 3 柯西不等式的推廣及應(yīng)用 8 3.1 在實(shí)數(shù)域上柯西不等式的幾個(gè)推廣結(jié)論 8 3.2 柯西不等式的推廣形式 8 3.3 柯西不等式在歐氏空間的推廣形式

4、10 3.4 證明不等式 10 3.5 用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù) 12 4 Young不等式 14 4.1 Young不等式的定義 14 4.2 Young不等式的幾種證明方法 14 4.3 帶項(xiàng)的Young不等式 15 4.4 Young不等式〔積分形式〕的定義 16 4.5 Young不等式〔積分形式〕的幾種證明方法 16 4.6 Young逆向不等式 17 4.7 Young不等式與Young逆不等式的推廣 18 5 赫爾德積分不等式 20 5.1 赫爾德積分不等式 20 5.2 赫爾德積分不等式的幾種證明方法 20 5.3 赫爾德不等式的推廣 2

5、3 結(jié)論 26 致謝 27 參考文獻(xiàn) 28 1 引言 不等關(guān)系是自然界中存在著的根本數(shù)學(xué)關(guān)系。近幾年來，不等式在中學(xué)教學(xué)中得到廣泛的重視。不管是幾何、數(shù)論、函數(shù)或組合數(shù)學(xué)中的許多問題，都可能與不等式有關(guān)，這就使得不等式的問題〔特別是有關(guān)不等式的證明〕在數(shù)學(xué)競賽中顯得尤為重要。而且，不等式在數(shù)學(xué)研究中也起著相當(dāng)重要的作用。它的應(yīng)用非常廣泛，在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都有重要的意義。特別是20世紀(jì)90年代，不等式的研究空前活潑，研究的深度和廣度都在迅速擴(kuò)大。 近年來，這些重要不等式一直受到廣泛的關(guān)注，不少學(xué)者對(duì)他們進(jìn)行了較深入的研究與推廣。本文主要是總結(jié)歸納相關(guān)的研究成果。如柯西不等式、

6、Young不等式、赫爾德不等式和閔可斯基不等式的根本形式以及相關(guān)證明，此外本文還對(duì)這幾個(gè)重要不等式的推廣做了比擬系統(tǒng)的綜述，并舉例說明了重要不等式在各個(gè)方面的具體應(yīng)用。 柯西不等式是著名的不等式之一，且不失為至善至美的重要不等式。它不僅是數(shù)學(xué)分析的重要工具，還和物理學(xué)中的矢量、高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)積空間、賦范空間有著密切的聯(lián)系，這使得不等式的研究成了當(dāng)前數(shù)學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)。它不僅是數(shù)學(xué)分析的重要工具，還和物理學(xué)中的矢量、高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)積空間、賦范空間有著密切的聯(lián)系?？挛鞑坏仁绞怯纱髷?shù)學(xué)家柯西Cauchy〕在研究數(shù)學(xué)分析中的流數(shù)問題時(shí)得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為Cauchy-Bunia

7、kowsky-Schwarz不等式，正是后兩位數(shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步?？挛鞑坏仁椒浅Ｖ匾?，閔可夫斯基不等式是由閔可夫斯基Minkowski〕于1896年證明的，它的出現(xiàn)對(duì)于促進(jìn)泛函空間理論的飛速開展起到了至關(guān)重要的作用閔可夫斯基的主要工作在數(shù)論、代數(shù)和數(shù)學(xué)物理上。在數(shù)論，他對(duì)進(jìn)行了重要的研究。在1881年法國大獎(jiǎng)中，閔可夫斯基深入鉆研了、和等人的論著。因?yàn)樵谘芯堪岩粋€(gè)整數(shù)分解為三個(gè)平方數(shù)之和時(shí)用了二元二次型的性質(zhì)，閔可夫斯基前人的工作把一個(gè)整數(shù)分解為五個(gè)平方數(shù)之和的方法與四元二次型有關(guān)。由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理論體系。這樣一

8、來，就很容易從更一般的理論中得出，閔可夫斯基交給法國科學(xué)院的論文長達(dá)140頁，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了原題的范圍。閔可夫斯基此后繼續(xù)研究n元二次型的理論。他透過三個(gè)不變量刻畫了有理系數(shù)二次型有理系數(shù)下的等價(jià)性，完成了實(shí)系數(shù)正定二次型的約化理論，現(xiàn)稱Minkowski約化理論。當(dāng)閔可夫斯基用幾何方法研究n元二次型的約化問題時(shí)，獲得了十分精彩而清晰的結(jié)果。他把用這種方法建立起來的關(guān)于數(shù)的理論為數(shù)的幾何，其中包括著名的閔克夫斯基原理。由這里又引導(dǎo)出他在凸體幾何方面的研究，這項(xiàng)研究的副產(chǎn)品就是著名的閔克夫斯基不等式Y(jié)oung不等式及與之相關(guān)的赫爾德不等式閔克夫斯基不等式都是非常重要的不等式，在分析數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)

9、用，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開展起到了非常重要的作用。Young不等式可以赫爾德不等式，進(jìn)而閔克夫斯基不等式。雖然赫爾德于1889年便在其著作中證明了赫爾德不等式，但是現(xiàn)在的絕大局部書籍用Young不等式做為引理來證明它。在數(shù)學(xué)分析、調(diào)和函數(shù)、泛函分析和偏微分方程等學(xué)科中上述三個(gè)不等式的身影處處可見，是使用得最為頻繁，最為廣泛的知識(shí)工具 2 柯西不等式 2.1 柯西不等式 設(shè)有兩組實(shí)數(shù)和，那么 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。 柯西不等式的幾種證明方法 證明1〔簡捷證明〕設(shè)，，，那么 ， 即。證畢。 證明2〔配方法〕

10、 。 證畢。 證明3〔判別式法〕設(shè)為任意實(shí)數(shù)，那么 。 上述不等式的右邊是關(guān)于的一元二次多項(xiàng)式，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)都是非負(fù)的，那么 ， 即。證畢。 證明4〔參數(shù)法〕 假設(shè)或，結(jié)論顯然成立。 假設(shè)且，令 。 那么由，可知： 從而：，于是有： 證畢。 證明5〔向量法〕 設(shè)n維向量，那么 又，故 ， 即所證結(jié)論成立。 證明6〔凸函數(shù)法〕 設(shè)函數(shù)那么有知，在為嚴(yán)格下凸函數(shù)，從而對(duì)任意一組實(shí)數(shù)及，有：

11、 〔2.1〕 現(xiàn)設(shè)為任意一組實(shí)數(shù)，記那么將之帶入〔2.1〕得： 即。 令那么由的任意性可知可取任意實(shí)數(shù)，且有： 于是： ， 即所證結(jié)論成立。 證明7〔數(shù)學(xué)歸納法〕 當(dāng)時(shí)，等號(hào)顯然成立。 假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即那么當(dāng)時(shí)， ， 即當(dāng)時(shí)結(jié)論成立。 綜上可知：對(duì)任意的自然數(shù)n，有： ， 即所證結(jié)論成立。 證明8〔利用Jensen總和不等式〕 考察函數(shù)故是上的凸函數(shù)，由Jensen總和不等式〔其中〕，得 。 取，那么

12、 ， 證畢。 證明9〔利用行列式〕因?yàn)? ， 所以。 證明10〔利用二次型正定性〕因?yàn)? ， 那么 ， 故為正定，從而二次型矩陣正定。因此，即 。 從而。當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，證畢。 3 柯西不等式的推廣 3.1 在實(shí)數(shù)域上柯西不等式的幾個(gè)推廣結(jié)論 命題3.1 設(shè)，為定義在上的連續(xù)函數(shù)，那么 。 命題3.2 設(shè)，，，那么 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 命題3.3 設(shè)，那么

13、 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 命題3.4 設(shè)，那么 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 命題3.5 設(shè)，，，那么 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 3.2 柯西不等式的推廣形式 定理3.1〔柯西積分不等式〕 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，那么 ， 等號(hào)成立的充要條件是：或，使得或成立。 定理3.2 設(shè)，，，是組實(shí)數(shù)，那么有 ， 等號(hào)成立的

14、充要條件為。 證明 不妨設(shè)，，， ，，，，。由幾何平均值不等式，有 。 對(duì)上式累次求和，可得 ， 即 。 〔3.1〕 由于，，，，這樣式 3.1 為 。 〔3.2〕 在給式〔3.2〕兩邊同時(shí)m次方冪，得 。 故原不等式成立。 3.3 柯西不等式在歐氏空間的推廣形式 在抽象的歐氏空間中，柯西不等式可以表達(dá)為：設(shè)是歐氏空間，假設(shè)、，那么 。 上述等號(hào)成立的充要條件是線性相關(guān)。 這個(gè)不

15、等式也稱為柯西-施瓦茲不等式，從這里我們可猜測：如果歐氏空間是有限空間，即，不取的標(biāo)準(zhǔn)正交基，而取的任意一個(gè)基柯西不等式的坐標(biāo)形式又是怎樣的？ 設(shè) ，那么 同樣有。于是得到n維歐氏空間一般坐標(biāo)形式的柯西不等式： 這樣表示書寫較繁，為了方便起見，還可用矩陣的形式把它書寫簡潔化：令 ，，， 其中為正定矩陣。設(shè)為的轉(zhuǎn)置陣，那么可將上式寫為： 。 3.4 證明不等式 例3-1 設(shè)那么 , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 證明 由柯西不等式，得 ， 化簡整理得。 例3-2 設(shè)，那么有 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 證明 ,化簡整理得。 例3-3 對(duì)任意參數(shù)，那么

16、 , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 證明 。 例3-4 設(shè)，那么 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 證明 由柯西不等式有，那么 ， 所以 。 3.5 用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù) 在?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)?一書中，在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，那么相關(guān)程度越小?，F(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)。 現(xiàn)記，，那么， ， 由柯西不等式有，。 當(dāng)時(shí)， 此時(shí)，

17、，為常數(shù)。點(diǎn) 均在直線上。 當(dāng)時(shí)， ， 即 。 而 ，， 因此，，其中為常數(shù)。此時(shí)，，其中為常數(shù)， 點(diǎn)均在直線附近，所以越接近于1，相關(guān)程度越大。 當(dāng)時(shí)，不具備上述特征，從而，找不到適宜的常數(shù)，使得點(diǎn)都在直線附近。所以，越接近于0，那么相關(guān)程度越小。 4 Young不等式 4.1 Young不等式 設(shè)，，且，那么 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立。 4.2 Young不等式的幾種證明方法 證明1〔導(dǎo)數(shù)求極值法〕考察函數(shù)，，我們有： 。 可見在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，于是是的極大值點(diǎn)。那么

18、 ， 。 令，，并記，代入上式得 ， 化簡即是。 將與表示為與，與分別表示為與，然后記，，上式又可寫成 。 證畢。 證明2〔凸函數(shù)法〕由于在上， ， 故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。 證明3〔利用中值定理〕令，，在閉區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理得： ，〔其中〕， 從而當(dāng)時(shí)，有 ， 并且等式僅在時(shí)成立。假設(shè)，令，可得：

19、 。 整理得 。 令，那么，于是 ， 當(dāng)且僅當(dāng)在時(shí)等號(hào)成立。假設(shè)，令可得： ， 整理得： 。 令，那么，于是 。 4.3 帶項(xiàng)的Young不等式 設(shè)，，，，使得 證明 利用Young不等式，得 4.4 Young不等式〔積分形式〕

20、設(shè)是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，，為的反函數(shù)，那么對(duì)于任意的，，有 ， 〔4.1〕 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 4.5 Young不等式〔積分形式〕的幾種證明方法 證明1〔面積法證明〕根據(jù)函數(shù)和其反函數(shù)的圖形特性，及曲線與軸和軸所圍面積， ， ， 比擬矩形面積與，便知 。 證明2 〔分析法 第一步：我們先證明 ， 〔4.2〕 由在上是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，得在上是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，故〔4.2〕式中積分有意義

21、，將區(qū)間做等分劃，記分點(diǎn)為，相應(yīng)的點(diǎn)，，構(gòu)成區(qū)間的一個(gè)分劃，因在上連續(xù)，故在上一致連續(xù)，故時(shí)，對(duì)于此分劃來講，有 ， 故 ， 〔4.2〕式得證。 第二步：由〔4.2〕式可知，假設(shè)，那么〔4.1〕式中等號(hào)成立。 第三步：假設(shè)，那么由的連續(xù)性可知，，使，于是 。 第四步：假設(shè)， 。 第五步：綜上可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，〔4.1〕中的等號(hào)成立。 4.6 Young逆向不等式 設(shè)和是兩個(gè)正數(shù)序列，，，那么當(dāng)時(shí)， ； 〔4.

22、3〕 當(dāng)或時(shí)， 。 〔4.4〕 記 ， 〔4.3〕，〔4.4〕兩式等號(hào)取到當(dāng)且僅當(dāng)在序列中存在一個(gè)子列使得，，并且對(duì)于任意的有。 4.7 Young不等式與Young逆不等式的推廣 4.7.1 Young不等式的推廣 直接應(yīng)用Young不等式，即可給出赫爾德赫爾德閔克夫斯基赫爾德赫爾德閔克夫斯基 5 赫爾德積分不等式 5.1 赫爾德積分不等式 假設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上連續(xù)非負(fù)，且，，那么 5.2 赫爾德積分不等式的幾種證明方法 證明1

23、 設(shè)，，取，，由Young不等式，有 ， 兩邊對(duì)積分，得： ， 即 。 證明2 因?yàn)楹驮谏线B續(xù)非負(fù)，所以函數(shù)，與在上可積。應(yīng)用定積分的定義，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，分點(diǎn)為，，。取，。 令 ，， 于是 ， 。 由Young不等式，得： ， 即 ， 兩邊分別對(duì)求和，得 。 又因?yàn)椋?，分子分母同乘，? ， 即

24、 。 令，由定積分定義，有 。 證明3 作輔助函數(shù) 因?yàn)椤⒃谏线B續(xù)，所以在上可導(dǎo)，且 根據(jù)Young不等式，有 ， 因此在遞增。又因?yàn)椋?即 。 證明4 ，在上連續(xù)，將等分成幾個(gè)小區(qū)間，，取，因?yàn)?，在上非?fù)，由赫爾德不等式，有 。 又因?yàn)?，在不等?hào)兩邊同乘， ， 。 由與的連續(xù)性可得，與在上都可積，那么由定積分的定義， 當(dāng)時(shí)，有 。 證明5 先設(shè)。因?yàn)樵谏戏秦?fù)，由Young不等式，可得

25、 。 又因在上可積知、，在上都可積，兩邊積分得 。 一般地，令，，于是 。 由前面的證明可知，即 。 5.3 赫爾德不等式的推廣 赫爾德不等式在維及無窮維序列空間的離散形式的推廣及其任意測度空間上的積分形式推廣。 定理5.1 設(shè)，，；；，且 那么 〔5.1〕 證明 對(duì)任意取定的，對(duì)用數(shù)學(xué)

26、歸納法。當(dāng)時(shí)，此不待證。當(dāng)時(shí)，〔5.1〕式即為 〔5.2〕 設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，那么當(dāng)時(shí)，有，并且。 令，那么 ， 〔5.3〕 ， 〔5.4〕 據(jù)〔5.2〕及〔5.3〕式，得 由〔5.4〕式，知 即結(jié)論對(duì)也成立。據(jù)數(shù)學(xué)歸

27、納法原理，〔5.1〕式對(duì)成立。定理得證。 定理5.2 設(shè)是任意測度空間上的非負(fù)可測函數(shù)，，；，且滿足〔5.1〕式，那么 。 定理5.3 設(shè)，，，且，那么 。 定理5.4 設(shè)，，，。假設(shè)級(jí)數(shù)均收斂，那么 。 結(jié)論 本文主要闡述了柯西不等式、Young不等式、赫爾德不等式和閔克夫斯基不等式的一些證明方法及相關(guān)推廣。柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。它在證明不等式、解三

28、角形、求函數(shù)最值、解方程等方面有著廣泛的應(yīng)用。Young不等式、赫爾德不等式和閔克夫斯基不等式之間可以相互推導(dǎo)。這些重要不等式在數(shù)學(xué)分析、調(diào)和分析、泛函分析、偏微分方程等學(xué)科的研究中發(fā)揮了重要作用，使用的技巧靈活多樣，得到的結(jié)果極為深刻。然而，在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中赫爾德不等式的證明出現(xiàn)較晚，限制了它的早期傳播和實(shí)用的可能性。文獻(xiàn)給出了Young不等式和Young逆不等式的初等證明方法及這兩個(gè)不等式的等價(jià)性，進(jìn)而給出了赫爾德不等式的初等證明。本課題首先總結(jié)柯西不等式、Young不等式和赫爾德不等式的證明方法，在此根底上，總結(jié)并探討這些不等式的相關(guān)推廣。 參考文獻(xiàn) [1]李靜.Cauthy-Swh

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31、inly on the real line[J].International Journal of Mathematical Education in Science and Technology.2005,36 1 :35-41. [13]董小軍.從Young不等式的證明談起[J].景德鎮(zhèn)高專學(xué)報(bào).1997,2. [14]張?jiān)刚?Young不等式的證明及應(yīng)用[J].河南科學(xué).2004,2,22 1 . [15]曾韌英.Young不等式的證明[J].工科數(shù)學(xué).1992,12,18 4 . [16]馬統(tǒng)一,葉禮君.Young不等式的逆式及其應(yīng)用[J].河西學(xué)院學(xué)報(bào).2007,23 5 .

32、 [17]唐小惠,王卓圣.Holder不等式與Minkowski不等式的推廣[J].蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào).2007,12,7 4 . [18]喬建斌.Young不等式的三種證明與三個(gè)經(jīng)典不等式的簡捷推導(dǎo)[J].新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào). 2021,2,26 1 . [19]林銀河.關(guān)于Minkowski不等式的討論[J].麗水師范專科學(xué)校學(xué)報(bào).2003,10,25 5 . [20]高麗.Holder積分不等式的幾種證明方法[J].延安大學(xué)學(xué)報(bào).1995,9,14 3 . [21]文開庭.Holder不等式的新推廣[J].畢節(jié)師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào).2002,3,20 1 . 文獻(xiàn)綜述 一些

33、不等式的證明及推廣　 一、前言局部〔說明寫作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說明有關(guān)主題爭論焦點(diǎn)〕 不等式是數(shù)學(xué)的根本內(nèi)容之一, 它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具, 在數(shù)學(xué)中有著重要的地位。數(shù)學(xué)家們給我們留下了一些經(jīng)典的不等式, 這些不等式在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇見。 本課題的主要任務(wù)是: 在查閱文獻(xiàn)的根底上, 總結(jié)一些重要不等式 如柯西不等式、赫爾德赫爾德赫爾德赫爾德閔可夫斯基閔可夫斯基柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西Cauchy〕在研究數(shù)學(xué)分析中的流數(shù)問題時(shí)得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，正是后兩位數(shù)學(xué)家彼此

34、獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步?？挛鞑坏仁椒浅Ｖ匾?，閔可夫斯基不等式是由閔可夫斯基Minkowski〕于1896年證明的，它的出現(xiàn)對(duì)于促進(jìn)泛函空間理論的飛速開展起到了至關(guān)重要的作用閔可夫斯基的主要工作在數(shù)論、代數(shù)和數(shù)學(xué)物理上。在數(shù)論，他對(duì)進(jìn)行了重要的研究。在1881年法國大獎(jiǎng)中，閔可夫斯基深入鉆研了、和等人的論著。因?yàn)樵谘芯堪岩粋€(gè)整數(shù)分解為三個(gè)平方數(shù)之和時(shí)用了二元二次型的性質(zhì)，閔可夫斯基前人的工作把一個(gè)整數(shù)分解為五個(gè)平方數(shù)之和的方法與四元二次型有關(guān)。由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理論體系。這樣一來，就很容易從更一般的理論中得出，閔可夫斯基交給法國科學(xué)

35、院的論文長達(dá)140頁，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了原題的范圍。閔可夫斯基此后繼續(xù)研究n元二次型的理論。他透過三個(gè)不變量刻畫了有理系數(shù)二次型有理系數(shù)下的等價(jià)性，完成了實(shí)系數(shù)正定二次型的約化理論，現(xiàn)稱Minkowski約化理論。當(dāng)閔可夫斯基用幾何方法研究n元二次型的約化問題時(shí)，獲得了十分精彩而清晰的結(jié)果。他把用這種方法建立起來的關(guān)于數(shù)的理論為數(shù)的幾何，其中包括著名的閔克夫斯基原理。由這里又引導(dǎo)出他在凸體幾何方面的研究，這項(xiàng)研究的副產(chǎn)品就是著名的閔克夫斯基不等式Y(jié)oung不等式及與之相關(guān)的赫爾德不等式閔克夫斯基不等式都是非常重要的不等式，在分析數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開展起到了非常重要的作用。Young不等

36、式可以赫爾德不等式，進(jìn)而閔克夫斯基不等式。雖然赫爾德于1889年便在其著作中證明了赫爾德不等式，但是現(xiàn)在的絕大局部書籍用Young不等式做為引理來證明它。在數(shù)學(xué)分析、調(diào)和函數(shù)、泛函分析和偏微分方程等學(xué)科中上述三個(gè)不等式的身影處處可見，是使用得最為頻繁，最為廣泛的知識(shí)工具本文的目的是通過對(duì)Young不等式赫爾德不等式閔克夫斯基不等式及它們的逆不等式的相關(guān)內(nèi)容的歸納整理，使人們能夠更加清楚的認(rèn)識(shí)到它們的重要作用。，，。故 。 在文獻(xiàn)[5]中，作者還給出了柯西不等式的一個(gè)簡捷證明方法：記，，，那么 ， 即。 在文獻(xiàn)[8，9]中，作者給出了柯西不等式的應(yīng)用，主要有：〔1〕應(yīng)用柯西不等式證明其

37、它不等式；〔2〕應(yīng)用柯西不等式求函數(shù)的最值；〔3〕應(yīng)用柯西不等式求解方程組。 例如 設(shè)，，那么 ， 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立。 證明 由柯西不等式可得 ， 化簡整理得。 例如 在實(shí)數(shù)集內(nèi)求解方程組 解：由柯西不等式，得 。 1 因?yàn)? 及 ， 故 ， 即不等式〔1〕中只有等號(hào)成立 由柯西不等式中等號(hào)成立的條件，得。它與聯(lián)立，可得 ，，。 在文獻(xiàn)[10，11]中，作者用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)：在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，相關(guān)程度越小。 記，，那么 。 由柯西不等式有，。當(dāng)

38、時(shí)， 。 此時(shí)，，為常數(shù)。點(diǎn)均在直線上。當(dāng)時(shí)， ， 即。而 因此，即。從而為常數(shù)。此時(shí)，， 其中為常數(shù)。點(diǎn)均在直線附近，所以越接近于1，相關(guān)程度越大。 當(dāng)時(shí)，不具備上述特征。從而找不到適宜的常數(shù)，使得點(diǎn)都在直線附近。所以，越接近于0，那么相關(guān)程度越小。 在文獻(xiàn)[12]中，作者主要講述了柯西不等式在歐氏空間的推廣形式：設(shè)是歐氏空間，，那么 ， 當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立。 在文獻(xiàn)[13]中，作者總結(jié)了柯西不等式的證明方法及相關(guān)的一些不等式的證明。 在文獻(xiàn)[14]中，作者給出了柯西不等式的一般證明?？挛鞑坏仁降臉?biāo)準(zhǔn)證明是用內(nèi)積的齊次性質(zhì)，然而，一般證明采用了內(nèi)積的可加性代

39、替齊次性。 在文獻(xiàn)[15，16，17]中，作者介紹了Young不等式及它的證明方法，主要有：〔1〕導(dǎo)數(shù)求極值法；〔2〕凸函數(shù)法；〔3〕利用中值定理。最后，作者應(yīng)用凸函數(shù)的理論將Young不等式推廣到n個(gè)正數(shù)的情形。 Young不等式 設(shè)，，且，那么 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立。 在文獻(xiàn)[18，19]中，作者主要講述了積分形式的Young不等式及它的證明方法，主要有：〔1〕面積法；〔2〕分析法；〔3〕利用定積分的定義。 Young不等式〔積分形式〕 設(shè)是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，，為的反函數(shù)，那么對(duì)于任意的，，有 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 面

40、積法證明 根據(jù)函數(shù)和其反函數(shù)的圖形特性，及曲線與軸和軸所圍面積， ， ， 比擬矩形面積與，便知。 在文獻(xiàn)[20]中，作者結(jié)合數(shù)學(xué)分析和不等式理論證明了Young不等式多元情形的逆向不等式，并以大量經(jīng)典不等式的逆向不等式為例展示了其廣泛的應(yīng)用。 在文獻(xiàn)[21]中，作者給出了Young不等式的一些證明方法、Young逆不等式的證明方法以及它們的應(yīng)用。另外，作者給出了赫爾德閔克夫斯基赫爾德赫爾德赫爾德閔克夫斯基柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。在證明不等式解三角形求函數(shù)最值解方程等方面應(yīng)用。赫爾德閔克夫斯基赫爾德赫爾德赫爾德 四、參考文

41、獻(xiàn)〔根據(jù)文中參閱和引用的先后次序按序編排〕 [1]李靜.Cauthy-Swhwarz不等式的四種形式的證明及應(yīng)用[J].宿州學(xué)院學(xué)報(bào). 2021,12,23 6 . [2]方坤夫.Holder不等式在初等數(shù)學(xué)中的假設(shè)干應(yīng)用[J].湖州師專報(bào).1991,5. [3]林銀河.關(guān)于Minkowski不等式的討論[J].麗水師范專科學(xué)校學(xué)報(bào).2003,10,25 5 . [4]張偉,何衛(wèi).柯西-施瓦茨不等式的三種證明[J].重慶教育學(xué)院學(xué)報(bào).2007,20 3 . [5]徐麗君.柯西不等式的證明與推廣應(yīng)用[J].職校論壇.2021, 11 ． []徐秀娟.n元柯西〔Cauchy〕不等式的幾

42、種證明方法[J].河北理工學(xué)院學(xué)報(bào).2006,28 3 ． []湯茂林.柯西不等式的幾種新證法[J].職大學(xué)報(bào).2021, 4 ． []趙朋軍.柯西不等式的多種證法推廣及其應(yīng)用[J].南洛師范專科學(xué)校學(xué)報(bào).2004,18 1 . [9]李永新,李德祿.中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法[M].東北師大出版社. [10]盛聚,謝式千,潘承毅.概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].高等教育出版. [11]竺歡樂[12]陳亞萍.柯西不等式的證明與推廣應(yīng)用[J].黔南民族師專學(xué)報(bào).1999,19 6 . [13] S.S.Dragomir.A survey on Cauchy-Bunyakovsky-S

43、chwarz type discrete inequalities[J]. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics.2003,4 3 , Article 63. [14]W.Ramasinghe.The Cauchy-Schwarz inequality and the induced metrics on real vector spaces mainly on the real line[J].International Journal of Mathematical Education in Science an

44、d Technology.2005,36 1 :35-41. [15]董小軍.從Young不等式的證明談起[J].景德鎮(zhèn)高專學(xué)報(bào).1997,2. “原型〞談起[J].南昌高專學(xué)報(bào).1997,4. [17]喬建斌.Young不等式的三種證明與三個(gè)經(jīng)典不等式的簡捷推導(dǎo)[J].新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào). 2021,2,26 1 . [18]張?jiān)刚?Young不等式的證明及應(yīng)用[J].河南科學(xué).2004,2,22 1 . [19]曾韌英.Young不等式的證明[J].工科數(shù)學(xué).1992,12,18 4 . [20]馬統(tǒng)一,葉禮君.Young不等式的逆式及其應(yīng)用[J].河西學(xué)院學(xué)報(bào).2007,23 5

45、. [21]刑家省,蘇克勤,陶鵬飛.Young不等式與Young逆不等式的應(yīng)用[J].周口師范學(xué)院學(xué)報(bào).2007,3,24 2 . [22]高麗.Holder積分不等式的幾種證明方法[J].延安大學(xué)學(xué)報(bào).1995,9,14 3 . [23]文開庭.Holder不等式的新推廣[J].畢節(jié)師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào).2002,3,20 1 . [24]唐小惠,王卓圣.Holder不等式與Minkowski不等式的推廣[J].蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào).2007,12,7 4 . 開題報(bào)告 一些不等式的證明及推廣　 一、選題的背景、意義〔所選課題的歷史背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和開展趨勢(shì)〕

46、 柯西不等式是著名的不等式之一，且不失為至善至美的重要不等式。它不僅是數(shù)學(xué)分析的重要工具，還和物理學(xué)中的矢量、高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)積空間、賦范空間有著密切的聯(lián)系?？挛鞑坏仁绞怯纱髷?shù)學(xué)家柯西Cauchy〕在研究數(shù)學(xué)分析中的流數(shù)問題時(shí)得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，正是后兩位數(shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步?？挛鞑坏仁椒浅Ｖ匾h可夫斯基不等式是由閔可夫斯基Minkowski〕于1896年證明的，它的出現(xiàn)對(duì)于促進(jìn)泛函空間理論的飛速開展起到了至關(guān)重要的作用在1881年法國大獎(jiǎng)中，閔可夫斯基深入鉆研

47、了、和等人的論著。因?yàn)樵谘芯堪岩粋€(gè)整數(shù)分解為三個(gè)平方數(shù)之和時(shí)用了二元二次型的性質(zhì)，閔可夫斯基前人的工作把一個(gè)整數(shù)分解為五個(gè)平方數(shù)之和的方法與四元二次型有關(guān)。由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理論體系。這樣一來，就很容易從更一般的理論中得出，閔可夫斯基交給法國科學(xué)院的論文長達(dá)140頁，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了原題的范圍。閔可夫斯基此后繼續(xù)研究n元二次型的理論。他透過三個(gè)不變量刻畫了有理系數(shù)二次型有理系數(shù)下的等價(jià)性，完成了實(shí)系數(shù)正定二次型的約化理論，現(xiàn)稱Minkowski約化理論。當(dāng)閔可夫斯基用幾何方法研究n元二次型的約化問題時(shí)，獲得了十分精彩而清晰的結(jié)果。他把用這種方法建立起來的關(guān)于數(shù)的理論為數(shù)的幾

48、何，其中包括著名的閔克夫斯基原理。由這里又引導(dǎo)出他在凸體幾何方面的研究，這項(xiàng)研究的副產(chǎn)品就是著名的閔克夫斯基不等式Y(jié)oung不等式及與之相關(guān)的赫爾德不等式閔克夫斯基不等式都是非常重要的不等式，在分析數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開展起到了非常重要的作用。Young不等式可以赫爾德不等式，進(jìn)而閔克夫斯基不等式。雖然赫爾德于1889年便在其著作中證明了赫爾德不等式，但是現(xiàn)在的絕大局部書籍用Young不等式做為引理來證明它。在數(shù)學(xué)分析、調(diào)和函數(shù)、泛函分析和偏微分方程等學(xué)科中上述三個(gè)不等式的身影處處可見，是使用得最為頻繁，最為廣泛的知識(shí)工具赫爾德 通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料，總結(jié)柯西不等式、Young

49、不等式和赫爾德 針對(duì)不同的不等式，采用最簡潔的證明方法，給出比擬好的推廣形式。 預(yù)期到達(dá)的目標(biāo)： 總結(jié)這些重要不等式的證明方法，探討這些不等式的相關(guān)推廣。全文思路清晰、行文流暢，對(duì)寫作中涉及的難點(diǎn)能有一定的突破。 四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排 1、第七學(xué)期第9周至第11周 論文選題查閱文獻(xiàn)2、第七學(xué)期第12周至第18周 ??收集整理、分析資料寫出文獻(xiàn)綜述及開題報(bào)告完成外文翻譯3、第八學(xué)期第1周至第3周 ??畢業(yè)論文的撰寫完成畢業(yè)論文的初稿? 4、第八學(xué)期第4周至第10周 對(duì)畢業(yè)論文的初稿進(jìn)行屢次修改5、第八學(xué)期第11周至第12周 ???對(duì)畢業(yè)論文的修改稿進(jìn)一步完善6、第八學(xué)期第12

50、周至第13周 ???對(duì)論文進(jìn)行深入研究彌補(bǔ)缺乏之處最后定稿準(zhǔn)備好辯論[5]徐麗君.柯西不等式的證明與推廣應(yīng)用[J].職校論壇.2021, 11 ． []徐秀娟.n元柯西〔Cauchy〕不等式的幾種證明方法[J].河北理工學(xué)院學(xué)報(bào).2006,28 3 ． []湯茂林.柯西不等式的幾種新證法[J].職大學(xué)報(bào).2021, 4 ． []趙朋軍.柯西不等式的多種證法推廣及其應(yīng)用[J].南洛師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào).2004,18 1 . [9]李永新,李德祿.中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法[M].東北師大出版社. [10]盛聚,謝式千,潘承毅.概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].高等教育出版. [11]竺歡

51、樂[12]陳亞萍.柯西不等式的證明與推廣應(yīng)用[J].黔南民族師專學(xué)報(bào).1999,19 6 . [13] S.S.Dragomir.A survey on Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz type discrete inequalities[J]. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics.2003,4 3 , Article 63. [14]W.Ramasinghe.The Cauchy-Schwarz inequality and the induced metrics on real vect

52、or spaces mainly on the real line[J].International Journal of Mathematical Education in Science and Technology.2005,36 1 :35-41. [15]董小軍.從Young不等式的證明談起[J].景德鎮(zhèn)高專學(xué)報(bào).1997,2. “原型〞談起[J].南昌高專學(xué)報(bào).1997,4. [17]喬建斌.Young不等式的三種證明與三個(gè)經(jīng)典不等式的簡捷推導(dǎo)[J].新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào). 2021,2,26 1 . [18]張?jiān)刚?Young不等式的證明及應(yīng)用[J].河南科學(xué).2004,2,22

53、 1 . [19]曾韌英.Young不等式的證明[J].工科數(shù)學(xué).1992,12,18 4 . [20]馬統(tǒng)一,葉禮君.Young不等式的逆式及其應(yīng)用[J].河西學(xué)院學(xué)報(bào).2007,23 5 . [21]刑家省,蘇克勤,陶鵬飛.Young不等式與Young逆不等式的應(yīng)用[J].周口師范學(xué)院學(xué)報(bào).2007,3,24 2 . [22]高麗.Holder積分不等式的幾種證明方法[J].延安大學(xué)學(xué)報(bào).1995,9,14 3 . [23]文開庭.Holder不等式的新推廣[J].畢節(jié)師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào).2002,3,20 1 . [24]唐小惠,王卓圣.Holder不等式與Minkowski不等式的推廣[J].蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào).2007,12,7 4 . 3 1 28