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高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷文數(shù)文檔:第二部分 壓軸題三 Word版含解析

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高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷文數(shù)文檔:第二部分 壓軸題三 Word版含解析

壓軸題(三) 12.(2019·江西上饒重點(diǎn)中學(xué)六校第二次聯(lián)考)已知A(-2,0),B(2,0),若x軸上方的點(diǎn)P滿足對(duì)任意λ∈R,恒有|-λ|≥2成立,則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值為(  ) A. B. C.1 D.2 答案 D 解析 設(shè)P(x,y),則=(x+2,y),=(4,0),故-λ=(x+2-4λ,y),|-λ|≥2恒成立,即|-λ|2≥4恒成立,則(x+2-4λ)2+y2-4≥0,故y2-4≥0,又由題意可知y>0,所以y≥2, 即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值為2.故選D. 16.(2019·湖北宜昌元月調(diào)考)已知函數(shù)f(x)=x2+(a-1)x-a,若函數(shù)g(x)=f[f(x)]有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值集合為________. 答案 {-1} 解析 由題意得f(x)=x2+(a-1)x-a=(x+a)(x-1),令f(x)=t,則函數(shù)g(x)=f[f(x)]可化為y=f(t),令f(t)=0,解得t1=1或t2=-a,即f(x)=1或f(x)=-a,因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f[f(x)]有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),所以f(x)=1與f(x)=-a共有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,f(x)=-a可化為x2+(a-1)x=0,即f(x)=-a的根為x1=0或x2=1-a,要使得f(x)=1與f(x)=-a共有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則兩方程的根必須相同.即-a=1時(shí),才可以使得f(x)=-a的兩根與f(x)=1的兩個(gè)根相同,實(shí)數(shù)a的取值集合為{-1}. 20.已知過(guò)A(0,2)的動(dòng)圓恒與x軸相切,設(shè)切點(diǎn)為B,AC是該圓的直徑. (1)求C點(diǎn)軌跡E的方程; (2)當(dāng)AC不在y軸上時(shí),設(shè)直線AC與曲線E交于另一點(diǎn)P,該曲線在P處的切線與直線BC交于Q點(diǎn).求證:△PQC恒為直角三角形. 解 (1)設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則B點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)锳C是直徑,所以BA⊥BC,或C,B均在坐標(biāo)原點(diǎn), 因此·=0,而=,=, 故有-+2y=0,即x2=8y. 另一方面,設(shè)C是曲線x2=8y上一點(diǎn), 則有|AC|==, AC中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為==, 故以AC為直徑的圓與x軸相切. 綜上可知,C點(diǎn)軌跡E的方程為x2=8y. (2)證明:設(shè)直線AC的方程為y=kx+2, 由得x2-8kx-16=0, 設(shè)C(x1,y1),P(x2,y2),則有x1x2=-16. 由y=,對(duì)x求導(dǎo)知y′=, 從而曲線E在P處的切線斜率k2=, 直線BC的斜率k1==, 于是k1k2===-1. 因此QC⊥PQ,所以△PQC恒為直角三角形. 21.已知函數(shù)f(x)=aeln x和g(x)=x2-(a+e)x(a>0). (1)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)當(dāng)x∈時(shí),M為函數(shù)f(x)=aeln x圖象與函數(shù)m(x)=2-圖象的公共點(diǎn),且在點(diǎn)M處有公共切線,求點(diǎn)M的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)a的值. 解 (1)h(x)=aeln x+x2-(a+e)x(x>0), h′(x)=+x-(a+e)==. ①當(dāng)0<a<e時(shí), 在x∈(0,a)時(shí),h′(x)>0,函數(shù)h(x)在(0,a)上單調(diào)遞增, 在x∈(a,e)時(shí),h′(x)<0,函數(shù)h(x)在(a,e)上單調(diào)遞減; 在x∈(e,+∞)時(shí),h′(x)>0,函數(shù)h(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞增. ②當(dāng)a=e時(shí),在x∈(0,+∞)時(shí),h′(x)≥0,函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. ③當(dāng)a>e時(shí),在x∈(0,e)時(shí),h′(x)>0,函數(shù)h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增, 在x∈(e,a)時(shí),h′(x)<0,函數(shù)h(x)在(e,a)上單調(diào)遞減; 在x∈(a,+∞)時(shí),h′(x)>0,函數(shù)h(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增. 綜上: 當(dāng)0<a<e時(shí),函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,a)和(e,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是(a,e); 當(dāng)a=e時(shí),函數(shù)h(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞); 當(dāng)a>e時(shí),函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e)和(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,a). (2)設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),x0>,在點(diǎn)M(x0,y0)處有公共切線,設(shè)切線斜率為k, 因?yàn)閒′(x)=,m′(x)=, 所以k==,即ax0=1, 由M(x0,y0)是函數(shù)f(x)=aeln x與函數(shù)m(x)=2-圖象的公共點(diǎn),所以y0=aeln x0=2-, 化簡(jiǎn)可得aex0ln x0=2x0-e, 將ax0=1代入,得eln x0-2x0+e=0, 設(shè)函數(shù)u(t)=eln t-2t+e, u′(t)=-2=. 因?yàn)閠>,u′(t)<0,函數(shù)u(t)在上單調(diào)遞減, 因?yàn)閡=eln >0,u(e2)=eln e2-2e2+e=3e-2e2=e(3-2e)<0, 所以在t∈時(shí),u(t)=eln t-2t+e只有一個(gè)零點(diǎn). 由u(e)=eln e-2e+e=0, 知方程eln x0-2x0+e=0在x0∈上只有一個(gè)實(shí)數(shù)根為x0=e, 代入y0=aeln x0=aeln e=ae=1,所以M(e,1),此時(shí)a=.

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