人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微課小專題26 正方形的判定與性質(zhì)
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人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微課小專題26 正方形的判定與性質(zhì)
人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微課小專題26 正方形的判定與性質(zhì)
1. 如圖，已知四邊形 ABCD 是矩形，點 E 在對角線 AC 上，點 F 在邊 CD 上（點 F 與點 C，D 不重合），BE⊥EF，且 ∠ABE+∠CEF=45°．
(1) 求證：四邊形 ABCD 是正方形；
(2) 若 AE=2，EC=42，求 BE 的長．
2. 如圖，四邊形 ABCD 為正方形，點 E 為線段 AC 上一點，連接 DE，過點 E 作 EF⊥DE，交射線 BC 于點 F，以 DE，EF 為鄰邊作矩形 DEFG，連接 CG．
(1) 求證：矩形 DEFG 是正方形；
(2) 若 AB=2，CE=2，求 CG 的長度．
答案
1. 【答案】
(1) 如圖，過點 E 作 EM⊥BC 于點 M，
∵ 四邊形 ABCD 是矩形，
∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，
∴∠ABE=∠BEM，
∠BAC=∠CEM，
∵∠ABE+∠CEF=45°，
∴∠BEM+∠CEF=45°，
∵BE⊥EF，
∴∠CEM=45°=∠BAC，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∴ 矩形 ABCD 是正方形；
(2) ∵ 四邊形 ABCD 為正方形，
∴AC=2BC=AE+EC=52，
∴BC=5，
∵EM⊥BC，∠ACB=∠CEM=45°，
∴EC=2EM=2MC=42，
∴EM=MC=4，
∴BM=BC-MC=5-4=1．
∵EM⊥BC，
∴BE=EM2+BM2=17．
2. 【答案】
(1) 過點 E 作 EP⊥CD 于點 P，EQ⊥BC 于點 Q，
∵∠DCA=∠BCA=45°，
∴EQ=EP，∠PEC=∠CEQ=45°，
∴∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=90°-45°=45°，
∴∠QEF=∠PED，
在 Rt△EQF 和 Rt△EPD 中，∠QEF=∠PED，EQ=EP，∠EQF=∠EPD，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD，
∴EF=ED，
∴ 矩形 DEFG 是正方形．
(2) 在 Rt△ABC 中，AC=2AB=22，
∵EC=2，
∴AE=CE，
∵DA=DC，
∴DE⊥AC，
即 ∠DEC=90°=∠DEF，
∴ 點 F 與 C 重合，CG 與 FG 重合，
∴CG=FG=EF=EC=2．
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