人教版八年級下冊數(shù)學期末單元復習課 第十六章二次根式

單元復習課 第十六章 二次根式 二次根式有意義的條件 1．(2021·襄陽中考)若二次根式 x＋3 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則 x 的取值范圍是(A) A．x≥－3 B．x≥3 C．x≤－3 D．x＞－3 2．(2021·衢州中考)若 x－1 有意義，則 x 的值可以是 __2(答案不唯一)__．(寫出一個即 可) 3．(2021·成都模擬)使代數(shù)式 x－3 x＋1  有意義的 x 的取值范圍為__x＞－1__． 方法·技巧 1．二次根式：被開方數(shù)為非負數(shù)． 2．分式：分母不為零. 提醒：若是上述幾種情況綜合考查，字母需要滿足每一種情況，不要遺漏其中一種情況． 二次根式的相關概念 1．(2020·上海中考)下列二次根式中，與 3 的被開方數(shù)相同的二次根式的是(C) A． 6 B． 9 C． 12 D． 18 - 1 - 2．下列各式中 15 ， 3a ， b2－1 ， a2＋b2 ， m2＋20 ， －144 ，二次根式的個數(shù)是(B) A．4 個 B．3 個 C．2 個 D．1 個 3．(2021·泉州質(zhì)檢)當 a＝__1__時，最簡二次根式 a＋2 與 5－2a 可以合并． 方法·技巧 1．最簡二次根式需滿足的兩個條件 (1)被開方數(shù)中不含分母和小數(shù)． (2)被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式． 2．能合并的二次根式的特點 將二次根式化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式能夠合并，被開方數(shù)不相同，則 不能合并． 提醒：判斷兩個二次根式是否能夠合并，必須化為最簡二次根式后再判斷． 二次根式的性質(zhì)及應用 1．(2021·杭州中考)下列計算正確的是(A) A． 22 ＝2 B． （－2）2 ＝－2 C． 22 ＝±2 D． （－2）2 ＝±2 2．(2021·婁底中考)2，5，m 是某三角形三邊的長，則 （m－3）2 ＋ （m－7）2 等于(D) A．2m－10 B．10－2m C．10 D．4 3．(2020·長沙期末)實數(shù) a，b 在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡( b )2＋ （b－a）2 －|a| 的結果是(B) A.2a B．2b C．－2b D．－2a 4．(2021·深圳質(zhì)檢)若 xy＞0，則二次根式 x  － y x2  化簡的結果為__－ －y __． 方法·技巧 利用二次根式的非負性求代數(shù)式的值 - 2 - x＋2    x＋2 (1)常見的三種非負數(shù)的形式：① a ；②a2；③|a|. (2)若這三種形式中的兩種或三種相加等于 0，則每一個都等于 0，列出方程組，求出字母的 值． 提醒：不要出現(xiàn) a2 ＝a 這樣的錯誤． 二次根式的運算 1 x2－1 【典例】(2020·福建中考)先化簡，再求值：(1－ )÷ ，其中 x＝ 2 ＋1. x＋2     （x＋1）（x－1） 【規(guī)范解答】原式＝ x＋2－1        x＋2 · ＝ x＋1 x＋2   （x＋1）（x－1）   x－1 x＋2 1 · ＝ ， 2 當 x＝ 2 ＋1 時，原式＝ 1        2 ＝   . 2＋1－1 【規(guī)避丟分】 (1)分式的化簡求值一定要注意先化簡再求值； (2)代入的數(shù)值必須滿足原分式有意義； (3)運算的結果必須是最簡二次根式； (4)運算的結果能合并的一定要合并． 1．(2021·重慶中考 B 卷)下列計算中，正確的是(C) A．5 7 －2 7 ＝21 B．2＋ 2 ＝2 2 C． 3 × 6 ＝3 2 D． 15 ÷ 5 ＝3 2．(2021·重慶中考 A 卷)計算 14 × 7 － 2 的結果是(B) A．7 B．6 2 C．7 2 D．2 7 3．(2021·河北中考)與 32－22－12 結果相同的是(A) A．3－2＋1 B．3＋2－1 C．3＋2＋1 D．3－2－1 4．(2021·天津中考)計算( 10 ＋1)( 10 －1)的結果等于 __9__． - 3 - 根號的由來 歷史背景 ” 古希臘有一位著名的數(shù)學家叫畢達哥拉斯，他對數(shù)學的研究是很深的，對數(shù)學的發(fā)展做出了 不可磨滅的貢獻。當時他成立“畢達哥拉斯學派”。其中有這樣一個觀點：“宇宙的一切事物 的度量都可用整數(shù)或整數(shù)的比來表示，除此之外，就再沒有什么了。 畢達哥拉斯的一個學生 西伯斯勤奮好學，善于觀察分析和思考。一天，他研究了這樣的問題：“邊長為 1 的正方形， 其對角線的長是多少呢？”他根據(jù)畢達哥拉斯定理，計算是 2 (當然，當時不會這樣表示 的)，并發(fā)現(xiàn) 2 既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比。他既高興又感到迷惑，根據(jù)老師的觀點， 2 是不應該存在的，但對角線又客觀地存在，他無法解釋，他把自己的研究結果告訴了老師， 并請求給予解釋。畢達哥拉斯思考了很久，都無法解釋這種“怪”現(xiàn)象，他驚駭極了，又不 敢承認 2 是一種新數(shù)，否則整個學派的理論體系將面臨崩潰，他忐忑不安，最后，他采取 了錯誤的方式：下令封鎖消息，也不準西伯斯再研究和談論此事。西伯斯在畢達哥拉斯的高 壓下，心情非常痛苦，在事實面前，通過長時間的思考，他認為 2 是客觀存在的，只是老 師的理論體系無法解釋它，這說明老師的觀點有問題。后來，他不顧一切地將自己的發(fā)現(xiàn)和 看法傳揚了出去，整個學派頓時轟動了，也使畢達哥拉斯惱羞成怒，畢達哥拉斯學派的打手 將他手腳捆綁，投入浩瀚無邊的大海之中。他為 2 的誕生獻出了自己寶貴的生命！然而， 真理是打不倒的， 2 的出現(xiàn)，使人類認識了一類新的數(shù)——無理數(shù)。也使數(shù)學本身發(fā)生了 質(zhì)的飛躍！人們會永遠記住西伯斯，他是真正的無理數(shù)之父，他的不畏權威，勇于創(chuàng)新，敢 于堅持真理的精神永遠激勵著后來人！ 閱讀收獲 對畢達哥拉斯提出疑問的學者名字叫什么？ 答：西伯斯． 2 是有理數(shù)還是無理數(shù)？答：無理數(shù)． - 4 -