（江蘇專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章第1課時(shí) 數(shù)列的概念課時(shí)闖關(guān)（含解析）

（江蘇專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章第1課時(shí) 數(shù)列的概念 課時(shí)闖關(guān)（含解析） [A級(jí)　雙基鞏固] 一、填空題 1．?dāng)?shù)列－1，，－，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是________． 解析：將首項(xiàng)寫為－，分子3＝22－1,8＝32－1,15＝42－1,24＝52－1，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·＝(－1)n. 答案：an＝(－1)n 2．已知數(shù)列、、、…，則5是數(shù)列的第________項(xiàng)． 解析：易知數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝， 令＝5，即＝， ∴4n－1＝75，故n＝19. 答案：19 3．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，則an＝________. 解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝n2－(n－1)2＝2n－1， ∴an＝ 答案： 4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，那么這個(gè)數(shù)列取到最小項(xiàng)時(shí)的n＝________. 解析：an－an－1＝－＝>0.則此數(shù)列為遞增數(shù)列，故a1為最小項(xiàng)． 答案：1 5．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，則a2013＝________，－3是此數(shù)列的第________項(xiàng)． 解析：∵an＝＝＝－， ∴a2013＝－， 令an＝－3，即－＝－3， 則n＝9， ∴－3是此數(shù)列的第9項(xiàng)． 答案：－　9 6．(2011·高考江西卷改編)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋Sm＝Sn＋m且a1＝1，那么a10＝________. 解析：∵Sn＋Sm＝Sn＋m且a1＝S1＝1， 可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝1，即當(dāng)n≥1時(shí)，an＋1＝1， ∴a10＝1. 答案：1 7．根據(jù)下面一組等式可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝________. S1＝1 S2＝2＋3＝5 S3＝4＋5＋6＝15 S4＝7＋8＋9＋10＝34 S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65 解析：從已知數(shù)表得S1＝1，S1＋S3＝16＝24，S1＋S3＋S5＝81＝34. 由此可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4. 答案：n4 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，則連乘積a1a2a3…a2011a2012的值為________． 解析：∵a1＝2，an＋1＝， ∴a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2， ∴數(shù)列{an}的周期為4，且a1a2a3a4＝1， ∴a1a2a3a4…a2011a2012＝1. 答案：1 二、解答題 9．(2012·徐州調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2＝4，且滿足＝an＋1(n∈N*)． (1)求a1，a3，a4的值，并猜想出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (2)設(shè)bn＝(－1)nan，請(qǐng)利用(1)的結(jié)論，求數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)和T15. 解：(1)令n＝1,2S1＝a1＋1，又S1＝a1，得a1＝1； 令n＝3，＝a3＋1，得a3＝7； 令n＝4，＝a4＋1，得a4＝10. 猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2. (2) bn＝(－1)nan＝(－1)n(3n－2)， T15＝b1＋b2＋b3＋…＋b15＝(－1)＋4＋(－7)＋10＋…＋(－37)＋40＋(－43)＝－22. 10．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝，問：是否存在正整數(shù)t，使得 b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 由已知得即解得 故an＝2n－1，Sn＝n2. (2)由(1)知bn＝. 要使b1，b2，bm成等差數(shù)列，必須2b2＝b1＋bm， 即2×＝＋，整理得m＝3＋， 因?yàn)閙，t為正整數(shù)，所以t只能取2,3,5. 當(dāng)t＝2時(shí)，m＝7；當(dāng)t＝3時(shí)，m＝5；當(dāng)t＝5時(shí)，m＝4. 故存在正整數(shù)t，使得b1，b2，bm成等差數(shù)列． [B級(jí)　能力提升] 一、填空題 1．已知an＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是________． 解析：an＝＝， 由函數(shù)f(x)＝x＋上的單調(diào)性可知f(x)在(0，)上為減函數(shù)，在(，＋∞)上為增函數(shù)， ∴f(x)在x＝處取最小值，因?yàn)閚∈N*， ∴當(dāng)n＝12時(shí)，n＋＝25，當(dāng)n＝13時(shí)，n＋＝25， ∴(n＋)min＝25.∴(an)max＝a12和a13. 答案：第12和13項(xiàng) 2．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝. 若a1＝，則a2012的值等于________． 解析：∵a1＝，滿足≤a1<1，∴a2＝2×－1＝. 同理a3＝2×－1＝.∴a4＝2×＝. 故此數(shù)列為：，，，，，，…每三項(xiàng)就循環(huán)一次， 周期為3，故a2012＝a2＝. 答案： 3．如圖，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單位格的邊長(zhǎng)為1，由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項(xiàng)(如表所示)，按如此規(guī)律下去，則a2009＋a2010＋a2011＝________. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 解析：a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4等，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是奇數(shù)項(xiàng)為1，－1,2，－2,3，－3，…，偶數(shù)項(xiàng)為1,2,3，…，故a2009＋a2011＝0，a2010＝1005. 答案：1005 4．(2010·高考湖南卷)若數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意的n∈N*，只有有限個(gè)正整數(shù)m使得am<n成立，記這樣的m的個(gè)數(shù)為(an)*，則得到一個(gè)新數(shù)列{(an)*}．例如，若數(shù)列{an}是1,2,3，…，n，…，則數(shù)列{(an)*}是0,1,2，…，n－1，….已知對(duì)任意的n∈N*，an＝n2，則(a5)*＝________，((an)*)*＝________. 解析：∵an＝n2，(a5)*為am<5的m的個(gè)數(shù)．∴a1＝1<5，a2＝22＝4<5，a3＝9>5，∴m＝2. ∵an為1,4,9,16,25，…，(n－1)2，n2…， ∴(a1)*＝0，(a2)*＝1，(a3)*＝1，(a4)*＝1，(a5)*＝2，… (an2－1)*＝n－1，(an2)*＝n－1，(an2＋1)*＝n，…. ∴(an)*數(shù)列為0,1,1,1,2,2,2,2,2，…，n－1，n－1，…，(n－1)， ∴當(dāng)(n－1)2<k≤n2時(shí)，(ak)*＝n－1， ∴((an)*)*＝n2. 答案：2　n2 二、解答題 5．(2011·高考江蘇卷)設(shè)整數(shù)n≥4，P(a，b)是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，其中a，b∈{1,2,3，…，n}，a>b. (1)記An為滿足a－b＝3的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，求An； (2)記Bn為滿足(a－b)是整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，求Bn. 解：(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足條件：1≤b＝a－3≤n－3， 所以An＝n－3. (2)設(shè)k為正整數(shù)，記fn(k)為滿足題設(shè)條件以及a－b＝3k的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．只要討論fn(k)≥1的情形． 由1≤b＝a－3k≤n－3k知fn(k)＝n－3k，且k≤. 設(shè)n－1＝3m＋r，其中m∈N*，r∈{0,1,2}，則k≤m. 所以Bn＝n(k)＝(n－3k)＝mn－ ＝. 將m＝代入上式， 化簡(jiǎn)得Bn＝－. 所以Bn＝ 6．(2012·無錫質(zhì)檢)數(shù)列{an}滿足：na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an＝()n－1＋()n－2＋…＋＋1(n＝1,2,3，…，)． (1)求an的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝－(n＋1)an，試問是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有bn≤bk成立？證明你的結(jié)論． 解：(1)由na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an＝()n－1＋()n－2＋…＋＋1，得(n－1)a1＋(n－2)a2＋…＋an－1＝()n－2＋…＋＋1.兩式相減， a1＋a2＋…＋an＝()n－1＝Sn. ∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－()n－2， 即an＝. (2)由(1)知bn＝－(n＋1)an＝ .易知b1不是數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)， 假設(shè)存在k∈N*且k≠1，設(shè)bk是{bn}的最大項(xiàng)， 則即， 解之得8≤k≤9，又k∈N*， 故k＝8或9. ∴存在正整數(shù)k＝8或k＝9使對(duì)任意的正整數(shù)n都有bn≤bk成立．