廣東省2013年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題一 常以客觀題形式考查的幾個問題第1講 集合與常用邏輯用語 理

專題一　常以客觀題形式考查的幾個問題第1講　集合與常用邏輯用語 真題試做 1．(2012·重慶高考，理7)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的(　　)． A．既不充分也不必要的條件 B．充分而不必要的條件 C．必要而不充分的條件 D．充要條件 2．(2012·廣東高考，理2)設(shè)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，則UM＝(　　)． A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6} 3．(2012·山東高考，理3)設(shè)a＞0，且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 4．(2012·湖北高考，理2)命題“x0∈RQ，x∈Q”的否定是(　　)． A．x0RQ，x∈Q B．x0∈RQ，xQ C．xRQ，x3∈Q D．x∈RQ，x3Q 5．(2012·天津高考，理11)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝，且A∩B＝(－1，n)，則m＝__________，n＝__________. 考向分析 本部分內(nèi)容在高考題中主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，集合在高考中主要考查三方面內(nèi)容：一是考查集合的概念、集合間的關(guān)系；二是考查集合的運算和集合語言的運用，常以集合為載體考查不等式、解析幾何等知識；三是以創(chuàng)新題型的形式考查考生分析、解決集合問題的能力．對邏輯用語的考查，主要是對命題真假的判斷、命題的四種形式、充分必要條件的判斷、全稱量詞和存在量詞的應(yīng)用等． 熱點例析 熱點一　集合的概念與運算 【例1】已知A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2,4}，則logab＝(　　)． A．－1 B．0 C．1 D．2 規(guī)律方法 解答集合間的運算關(guān)系問題的思路：先正確理解各個集合的含義，認(rèn)清集合元素的屬性、代表的意義，再根據(jù)元素的不同屬性采用不同的方法對集合進(jìn)行化簡求解． 確定(應(yīng)用)集合間的包含關(guān)系或運算結(jié)果，常用到以下技巧：①若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；②若已知的集合是點集，用數(shù)形結(jié)合法求解；③若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解；④注意轉(zhuǎn)化關(guān)系(RA)∩B＝BBRA，A∪B＝BAB，U(A∩B)＝(UA)∪(UB)，U(A∪B)＝(UA)∩(UB)等． 變式訓(xùn)練1 設(shè)全集U＝R，集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝3－2x}，則圖中陰影部分表示的集合是(　　)． A. B. C. D. 熱點二　命題的真假與否定 【例2】給出下列四個結(jié)論： ①命題“若α＝β，則cos α＝cos β”的逆否命題； ②“x0∈R，使得x2－x＞0”的否定是：“x∈R，均有x2－x＜0”； ③命題“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要條件； ④p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}，p且q為真命題． 其中正確結(jié)論的序號是__________．(填寫所有正確結(jié)論的序號) 規(guī)律方法 1.命題真假的判定方法： (1)一般命題p的真假由涉及的相關(guān)知識辨別； (2)四種命題的真假的判斷根據(jù)：一個命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個命題的真假無此規(guī)律； (3)形如p∨q，p∧q，p命題的真假根據(jù)真值表判定； (4)全稱命題與特稱命題的真假的判定：全稱命題p：x∈M，p(x)，其否定形式是x0∈M，p(x0)；特稱命題p：x0∈M，p(x0)，其否定形式是x∈M，p(x)． 2．命題的否定形式有： 原語句 是 都是 至少有一個 至多有一個 ＞ x∈A，使p(x)真 否定形式 不是 不都是 一個也沒有 至少有兩個 ≤ x0∈A，使p(x0)假 變式訓(xùn)練2 已知命題p：“x∈[1,2]，x2－a≥0”；命題q：“x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命題“p∧q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)． A．a(chǎn)≤－2或a＝1 B．a(chǎn)≤－2或1≤a≤2 C．a(chǎn)≥1 D．－2≤a≤1 熱點三　充分條件、必要條件、充要條件的判定 【例3】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．若p是q的必要而不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍． 規(guī)律方法 (1)對充分、必要條件的判斷要注意以下幾點： ①要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A. ②要善于舉出反例：當(dāng)從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進(jìn)行時，可以通過舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明． (2)判斷命題的充要關(guān)系有三種方法： ①定義法：1°分清條件和結(jié)論：分清哪個是條件，哪個是結(jié)論；2°找推式：判斷“pq”及“qp”的真假；3°下結(jié)論：根據(jù)推式及定義下結(jié)論． ②等價法：即利用AB與BA；BA與AB；AB與BA的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運用等價法． ③利用集合間的包含關(guān)系判斷：若AB，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件． 變式訓(xùn)練3 (2012·山東濟(jì)南一模)設(shè)p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)． A. B. C．(－∞，0]∪ D．(－∞，0)∪ 思想滲透 1．補集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困難，可先求A的補集，再由A的補集的補集是A求出A.逆向思維是從已有習(xí)慣思維的反方向去思考問題，在正向思維受阻時，逆向思維往往能起到“柳暗花明又一村”的效果，補集思想就是一種常見的逆向思維． 已知下列三個方程：①x2＋4ax－4a＋3＝0，②x2＋(a－1)x＋a2＝0，③x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，求實數(shù)a的取值范圍． 解：設(shè)已知的三個方程都沒有實根， 則 解得－＜a＜－1. 故所求a的取值范圍是a≥－1或a≤－. 2．特殊值法判斷命題真假的類型： (1)判斷全稱命題為假； (2)判斷特稱命題為真； (3)判斷一個命題不成立． 求解時注意的問題： (1)尋找特例時，應(yīng)使特例符合已知條件； (2)特例應(yīng)力求全面，不能以偏概全． 1．(2012·廣州一模，理2)已知全集U＝R，函數(shù)y＝的定義域為集合A，函數(shù)y＝log2(x＋2)的定義域為集合B，則集合(UA)∩B＝(　　)． A．(－2，－1) B．(－2，－1] C．(－∞，－2) D．(－1，＋∞) 2．(2012·廣東佛山二模，理4)已知a，b為實數(shù)，則“|a|＋|b|＜1”是“|a|＜且|b|＜”的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 3．(2012·廣東佛山一中期中，理2)下面四個條件中，使a＞b成立的充分而不必要的條件是(　　)． A．a(chǎn)＞b＋1 B．a(chǎn)＞b－1 C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3 4．已知命題p：x∈R，使sin x＝，命題q：x∈R，都有x2＋x＋1＞0.給出下列結(jié)論： ①命題“p∧q”是真命題； ②命題“p∧q”是假命題； ③命題“p∨q”是真命題； ④命題“p∨q”是假命題． 其中正確的是(　　)． A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③ 5．(2012·廣東粵西北九校聯(lián)考，理3)下列命題錯誤的是(　　)． A．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要條件 B．命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為“若x＝1，則x2－3x＋2≠0” C．對命題：“對k＞0，方程x2＋x－k＝0有實根”的否定是：“k＞0，方程x2＋x－k＝0無實根” D．若命題p：x∈A∪B，則p是xA且xB 6．已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題： p1：|a＋b|＞1θ∈ p2：|a＋b|＞1θ∈ p3：|a－b|＞1θ∈ p4：|a－b|＞1θ∈ 其中的真命題是(　　)． A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1．D　解析：若f(x)為[0,1]上的增函數(shù)，則f(x)在[－1,0]上為減函數(shù)，根據(jù)f(x)的周期為2可推出f(x)為[3,4]上的減函數(shù)；若f(x)為[3,4]上的減函數(shù)，則f(x)在[－1,0]上也為減函數(shù)，所以f(x)在[0,1]上為增函數(shù)，故選D. 2．C　解析：∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}， ∴UM＝{3,5,6}． 3．A　解析：由函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)可得0＜a＜1，由函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)可得a＜2，因為0＜a＜1a＜2，a＜20＜a＜1，所以題干中前者為后者的充分不必要條件，故選A. 4．D　解析：該特稱命題的否定為“x∈RQ，x3Q”． 5．－1　1　解析：A＝{x∈R||x＋2|＜3}，∴|x＋2|＜3. ∴－3＜x＋2＜3，∴－5＜x＜1. 又∵B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)， ∴－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根，n是區(qū)間(－5,1)的右端點， ∴m＝－1，n＝1. 精要例析·聚焦熱點 熱點例析 【例1】 B　解析：∵A∩B＝{1}，∴b＝1或a2＝1(不滿足題意，舍去)，∴b＝1. ∵A∪B＝{0,1,2,4}， ∴a＝2或a＝4(不滿足題意，舍去)，故logab＝log21＝0.選B. 【變式訓(xùn)練1】 B　解析：M＝{x|y＝}＝， N＝{y|y＝3－2x}＝{y|y＜3}． 因圖中陰影部分表示的集合的元素為N中元素除去M中元素，即＜x＜3，故選B. 【例2】 ①④　解析：對于①，因命題“若α＝β，則cos α＝cos β”為真命題，所以其逆否命題亦為真命題，①正確；對于②，命題“x0∈R，使得x2－x＞0”的否定應(yīng)是：“x∈R，均有x2－x≤0”，故②錯；對于③，因由“x2＝4”得x＝±2，所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分條件，故③錯；對于④，p，q均為真命題，由真值表判定p且q為真命題，故④正確． 【變式訓(xùn)練2】 A　解析：p：y＝x2在x∈[1,2]上遞增，最小值為1， ∴a≤1.q：Δ＝4a2－4(2－a)≥0， ∴a2＋a－2≥0，a≤－2或a≥1. 若命題“p∧q”是真命題，則p，q都為真． 由得a＝1或a≤－2，故選A. 【例3】 解：由題意知 qp，但pq.即pq，但qp. ∴或 解得m≥9. 【變式訓(xùn)練3】 A　解析：由|4x－3|≤1，得≤x≤1，p為x＜或x＞1； 由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，q為x＜a或x＞a＋1. 若p是q的必要不充分條件，應(yīng)有a≤且a＋1≥1，兩者不能同時取等號， 所以0≤a≤，故選A. 創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練 1．B　解析：由題意，得A＝(－1，＋∞)，B＝(－2，＋∞)． 所以UA＝(－∞，－1]． 所以(UA)∩B＝(－2，－1]． 故選B. 2．B　解析：因為|a|＋|b|＜1|a|＜且|b|＜， 而|a|＜且|b|＜|a|＋|b|＜1， 所以“|a|＋|b|＜1”是“|a|＜且|b|＜”的必要不充分條件，故選B. 3．A　解析：當(dāng)a＞b＋1時， ∵b＋1＞b， ∴a＞b，即a＞b＋1a＞b. 而a＞ba＞b＋1，故選A. 4．D　解析：命題p為假命題，命題q為真命題， 故①④錯誤，②③正確． 5．B　解析：命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”．故選B. 6．A　解析：由|a＋b|＞1得(a＋b)2＞1，即a2＋b2＋2a·b＞1，整理得cos θ＞－，又θ∈[0，π]，解得θ∈； 由|a－b|＞1得(a－b)2＞1，即a2＋b2－2a·b＞1，整理得cos θ＜，又θ∈[0，π]，解得θ∈. 綜上可知p1，p4正確，故選A.