5、os 2(B＋C)＝2cos2(B＋C)－1＝.
答案：
已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－.
(1)用α＋β，α－β表示2α；(2)求sin 2α，cos 2α的值．
[解] (1)2α＝(α－β)＋(α＋β)．
(2)因?yàn)?β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<.
又因?yàn)閏os(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝＝，cos(α＋β)＝－＝－.
所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－，
cos 2α＝cos[
6、(α－β)＋(α＋β)]
＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)
＝×－×＝－.
三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值，常從角的差異入手，尋求條件與結(jié)論之間的關(guān)系，通過(guò)三角恒等變換消除差異，使問(wèn)題獲解．
已知sin＝，則sin＋sin2的值為_(kāi)_______．
解析：sin＋sin2＝sin ＋sin2＝sin＋sin2＝.
答案：
(2012·南通第一次調(diào)研)在斜三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.
(1)若2sin Acos C＝sin B，求的值；
(2)若sin(2A＋B)＝3sin B，求的值．
[解] (1)由
7、正弦定理得＝.
從而2sin Acos C＝sin B可化為2acos C＝b.
由余弦定理得2a×＝b.
整理得a＝c，即＝1.
(2)在斜三角形ABC中，A＋B＋C＝π，
所以sin(2A＋B)＝3sin B可化為sin[π＋(A－C)]＝3sin[π－(A＋C)]，
即－sin(A－C)＝3sin(A＋C)．
故－sin Acos C＋cos Asin C＝3(sin Acos C＋cos Asin C)．
整理得4sin Acos C＝－2cos Asin C，
因?yàn)椤鰽BC是斜三角形，所以cos Acos C≠0，
所以＝－.
解三角形常用的工具是正弦定理和
8、余弦定理，要熟悉它們的使用的條件，合理選用．解三角形常與三角恒等變換、三角求值綜合考查，要注意三角形中角的限制條件．
在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若1＋＝，則角A的大小為_(kāi)_______．
解析：由1＋＝，得＝，
即cos A＝，故A＝.
答案：
(2012·安徽高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c；則下列命題正確的是________．
①若ab>c2，則C<；
②若a＋b>2c，則C<；
③若a3＋b3＝c3，則C<；
④若(a＋b)c<2ab，則C>；
⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，則C>.
[解析]?、賏
9、b>c2?cos C＝>＝?C<；
②a＋b>2c?cos C＝>≥?C<；
③當(dāng)C≥時(shí)，c2≥a2＋b2?c3≥a2c＋b2c>a3＋b3與a3＋b3＝c3矛盾；
④取a＝b＝2，c＝1滿足(a＋b)c<2ab得C<；
⑤取a＝b＝2，c＝1滿足(a2＋b2)c2<2a2b2得C<.
[答案]?、佗冖?
利用正、余弦定理可實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)化，常用方法是：①化邊為角結(jié)合內(nèi)角和定理求解；②化角為邊結(jié)合勾股定理、三邊關(guān)系求解．
在△ABC中，sin A＝，判斷這個(gè)三角形的形狀．
解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得a＝，所以b(a2－b2)＋c(a2－c2)＝bc(b＋c
10、)．
所以(b＋c)a2＝(b3＋c3)＋bc(b＋c)．
所以a2＝b2－bc＋c2＋bc.所以a2＝b2＋c2.
所以△ABC是直角三角形．
(1)在三角化簡(jiǎn)、求值、證明中，表達(dá)式往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中的角，使問(wèn)題獲解．如角的變形：
15°＝45°－30°＝60°－45°＝，α＝(α＋β)－β＝－，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝－.
特別地，＋α與－α為互余角，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化，在三角變形中使用頻率高．
(2)兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的
11、重視，通過(guò)向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識(shí)應(yīng)用的實(shí)例．另外，利用正弦定理解三角形時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角”定理及幾何作圖來(lái)幫助理解．
1．(2012·連云港調(diào)研)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a2＝b2＋bc，sin C＝2sin B，則A＝________.
解析：由sin C＝2sin B，得c＝2b.又a2＝b2＋bc，所以cos A＝＝＝＝，所以A＝.
答案：
2．設(shè)α∈，β∈，cos＝，sin＝，則sin(α＋β)＝________.
解析：α
12、∈，α－∈，
又cos＝，
∴sin＝.∵β∈，∴＋β∈，sin＝，∴cos＝－.
∴sin(α＋β)＝sin
＝－cos
＝－cos·cos＋sin·sin＝－×＋×＝.
即sin(α＋β)＝.
答案：
3．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，則tan(α－2β)＝________.
解析：∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－.
則tan α＝－.由tan(π－β)＝，可得tan β＝－，
tan 2β＝＝＝－.
tan(α－2β)＝＝＝.
答案：
4.如圖，l1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，正三
13、角形ABC的三頂點(diǎn)分別在l1、l2、l3上，則△ABC的邊長(zhǎng)是________．
解析：因?yàn)閘1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，所以過(guò)A作l2的垂線，交l2、l3分別于點(diǎn)D、E，如圖，則∠BAD＝∠BAC＋∠CAE，即∠BAD＝60°＋∠CAE，記正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，兩邊取余弦得＝cos 60°·cos ∠CAE－sin 60°sin ∠CAE，即＝×－×整理得，＝1，解之得，a＝.
答案：
5．已知α∈，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，則2α－β的值是________．
解析：tan α＝tan[(α
14、－β)＋β]＝＝，tan(2α－β)＝＝1.
∵tan β＝－，∴β∈，
∴2α－β∈.
∴2α－β＝－.
答案：－
6．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，如果a，b，c成等差數(shù)列，B＝30°，△ABC的面積為，那么b＝________.
解析：∵2b＝a＋c，∴a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝4b2－2ac.在△ABC中，B＝30°，△ABC的面積，所以acsin B＝，即ac＝6，于是a2＋c2＝4b2－12，由余弦定理得cos B＝＝，即＝，解得b2＝4＋2，于是b＝1＋.
答案：1＋
7．△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，tan C＝，s
15、in(B－A)＝cos C．則B＝________.
解析：因?yàn)閠an C＝，即＝，
所以sin Ccos A＋sin Ccos B＝cos Csin A＋cos Csin B，
即sin Ccos A－cos Csin A＝cos Csin B－sin Ccos B，
得sin(C－A)＝sin(B－C)，
所以C－A＝B－C或C－A＝π－(B－C)(不成立)．
即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝.
又因?yàn)閟in(B－A)＝cos C＝，
則B－A＝或B－A＝(舍去)，
得A＝，B＝.
答案：
8．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4
16、，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_______．
解析：如圖：連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積
S＝S△ABD＋S△CDB＝·AB·ADsin A＋·BC·CD·sin C.
∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C.
故S＝(AB·AD＋BC·CD)sin A＝(2×4＋6×4)·sin A＝16sin A.
由余弦定理，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝20－16cos A，
在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C＝52－48cos C，
∴20－16cos A＝52－48cos C．∵cos C＝－cos A，
∴6
17、4cos A＝－32，cos A＝－.
又0°
18、，
所以BP＝，從而＝，
∴x＝＝.
∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°＋2θ≤180°.
∴當(dāng)60°＋2θ＝90°，即θ＝15°時(shí)，sin(60°＋2θ)＝1，
此時(shí)x取得最小值＝(2－3)a，即AD最小，
∴AD∶DB＝2－3.
答案：2－3
10．(2012·江蘇高考)設(shè)α為銳角，若cos＝，則sin的值為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)棣翞殇J角，cos＝，所以sin＝，sin 2＝，cos 2＝，所以sin＝sin＝×＝.
答案：
11．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足A＋C＝2B.
＋＝－，求cos的值．
解：由題設(shè)條件知B＝60°，A＋C＝120°
19、設(shè)α＝，則A－C＝2α，可得A＝60°＋α，C＝60°－α，
所以＋＝＋
＝＋
＝＝，
依題設(shè)條件有＝，
又cos B＝，∴＝－2.
整理得4cos2α＋2cosα－3＝0，
即(2cos α－)(2cos α＋3)＝0.
∵2cos α＋3≠0，
∴2cos α－＝0.從而得cos＝.
12.(2012·蘇錫調(diào)研)如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝，·＝50.
(1)求cos ∠BAC的值；
(2)求sin ∠CAD的值；
(3)求△BAD的面積．
解：(1)因?yàn)椤ぃ絴 || |cos ∠BAC，
所以cos ∠BAC＝＝＝.
(2)在△ADC中，AC＝10，AD＝5，CD＝，
由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝.
因?yàn)椤螩AD∈(0，π)，
所以sin ∠CAD＝ ＝ ＝.
(3)由(1)知，cos ∠BAC＝＝.
因?yàn)椤螧AC∈(0，π)，
所以sin ∠BAC＝
＝ ＝.
從而sin ∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)
＝sin ∠BAC·cos ∠CAD＋cos ∠BACsin ∠CAD
＝×＋×＝.
所以S△BAD＝AB·AD·sin ∠BAD＝×13×5×＝28.
江蘇省2013屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題7 三角恒等變換與解三角形
