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1、
人教版九下數(shù)學 中考專題復習 專題3 動態(tài)變化問題
1. 如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=3,點 P 是 AD 邊上一個動點,連接 BP,作點 A 關于直線 BP 的對稱點 A1,連接 A1C,設 A1C 的中點為 Q,當點 P 從點 A 出發(fā),沿邊 AD 運動到點 D 時停止運動,點 Q 的運動路徑長為 .
2. 如圖所示,點 A 是雙曲線 y=2x 在第一象限分支上的一個動點,連接 AO 并延長交另一分支于點 B,以 AB 為邊作等邊三角形 ABC,點 C 在第二象限,隨著點 A 的運動,點 C 的位置也不斷變化,但點 C 始終在雙曲線 y=kx 上運
2、動,則 k 的值為 ??
A. -8 B. -6 C. -4 D. -2
3. 如圖所示,在平面直角坐標系中,點 O 為坐標原點,△ABC 是邊長為 16 的正三角形,點 A,B 分別在 x 軸的正半軸,y 軸的正半軸上滑動,點 C 在第一象限,連接 OC,則線段 OC 的長的最大值是 .
4. 如圖所示,△ABC 中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC 于點 E,D 是線段 BE 上的一個動點,則 CD+55BD 的最小值是 ??
A. 25 B. 45 C. 53 D. 10
5. 如圖所示,在 Rt△ABC 中,∠C
3、=90°,AB=10,AC=8,D 是 AC 的中點,點 E 在邊 AB 上,將 △ADE 沿 DE 翻折,使得點 A 落在點 A? 處,當 A?E⊥AB 時,則 A?A= .
6. 如圖,在平面直角坐標系中,已知 A(-3,-2),B(0,-2),C(-3,0),點 M 是線段 AB 上的一個動點,連接 CM,過點 M 作 MN⊥MC 交 y 軸于點 N 若點 M,N 在直線 y=kx+b 上,則 b 的最大值是
A. -78 B. -34 C. -1 D. 0
7. 如圖所示,AB 是 ⊙O 的直徑,M,N 是 AB(異于 A,B)上兩點,C
4、 是 MN 上一動點,∠ACB 的平分線交 ⊙O 于點 D,∠BAC 的平分線交 CD 于點 E.當點 C 從點 M 運動到點 N 時,C,E 兩點的運動路徑長的比值是 ??
A. 2 B. π2 C. 32 D. 52
8. 如圖,點 A 是雙曲線 y=-6x 在第二象限分支上的一個動點,連接 AO 并延長交另一分支于點 B,以 AB 為底作等腰 △ABC,且 ∠ACB=120°,點 C 在第一象限,隨著點 A 的運動,點 C 的位置也不斷變化,但點 C 始終在雙曲線 y=kx 上運動,則 k 的值為 ??
A.1 B.2 C.3 D.4
9. 如圖所
5、示,在矩形 ABCD 中,AB=4,∠DCA=30°,點 F 是對角線 AC 上的一個動點,連接 DF,以 DF 為斜邊作 ∠DFE=30° 的直角三角形 DEF,使點 E 和點 A 位于 DF 兩側,點 F 從點 A 到點 C 的運動過程中,點 E 的運動路徑長是 .
10. 如圖所示,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=2,M 是 AD 邊的中點,N 是 AB 邊上的動點,將 △AMN 沿 MN 所在直線折疊,得到 △A?MN,連接 A?C,則 A?C 的最小值是 .
11. 如圖所示,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=7,點 P 是直線 BC 上一動
6、點,若將 △ABP 沿 AP 折疊,使點 B 落在平面上的點 E 處,連接 AE,PE.若 P,E,D 三點在一條直線上,則 BP= .
12. 如圖所示,平行四邊形 ABCD 中,∠DAB=60°,AB=6,BC=2,P 為邊 CD 上的一動點,則 PB+32PD 的最小值等于 .
13.
(1) 如圖 1,等邊三角形 ABC 的邊長為 4,兩頂點 B,C 分別在 y 軸的正半軸和 x 軸的正半軸上運動,顯然,當 OA⊥BC 于點 D 時,頂點 A 到原點 O 的距離最大,試求出此時線段 OA 的長.
(2) 如圖 2,在 Rt△ACB 中,∠A
7、CB=90°,AC=3,BC=4,兩頂點 B,C 分別在 x 軸的正半制和 y 軸的正半軸上運動,求出頂點 A 到原點 O 的最大距離.
(3) 如圖 3,正六邊形 ABCDEF 的邊長為 4,頂點 B,C 分別在 x 軸正半軸和 y 軸正半軸上運動,直接寫出頂點 E 到原點 O 的距離的最大值和最小值.
14. 我們定義:如圖 1,在 △ABC 中,把 AB 繞點 A 順時針旋轉 α0°<α<180° 得到 AB?,把 AC 繞點 A 逆時針旋轉 β 得到 AC?,連接 B?C?.當 α+β=180° 時,我們稱 △AB?C? 是 △ABC 的“旋補三角形”,△AB?C?
8、邊 B?C? 上的中線 AD 叫做 △ABC 的“旋補中線”,點 A 叫做“旋補中心”.
(1) 特例感知:
在圖 2,圖 3 中,△AB?C? 是 △ABC 的“旋補三角形”.AD 是 △ABC 的“旋補中線”.
①如圖 2,當 △ABC 為等邊三角形時,AD 與 BC 的數(shù)量關系為 AD= BC;
②如圖 3,當 ∠BAC=90°,BC=8 時,則 AD 長為 .
(2) 猜想論證:
在圖 1 中,當 △ABC 為任意三角形時,猜想 AD 與 BC 的數(shù)量關系,并給予證明.
(3) 拓展應用
如圖 4,在四邊形 ABCD,∠C=90°,∠D=1
9、50°,BC=12,CD=23,DA=6.在四邊形內部是否存在點 P,使 △PDC 是 △PAB 的“旋補三角形”?若存在,給予證明,并求 △PAB 的“旋補中線”長;若不存在,說明理由.
答案
1. 【答案】 3π3
2. 【答案】B
【解析】 ∵ 雙曲線 y=2x 關于原點對稱,
∴ 點 A 與點 B 關于原點對稱,
∴OA=OB.
連接 OC,如圖所示.
∵△ABC 是等邊三角形,OA=OB,
∴OC⊥AB,∠BAC=60°,
∴tan∠OAC=OCOA=3,
∴OC=3OA.
過點 A 作 AE⊥x 軸,垂足為 E,過點 C 作 CF⊥
10、x 軸,垂足為 F,
∵AE⊥OE,CF⊥OF,OC⊥OA,
∴∠AEO=∠OFC,∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF,
∴△AEO∽△OFC,
∴AEOF=OECF=OAOC.
∵OC=3OA,
∴OF=3AE,F(xiàn)C=3EO.
設點 A 的坐標為 b,a,
∵ 點 A 在第一象限,
∴AE=a,OE=b.
∴OF=3AE=3a,F(xiàn)C=3EO=3b.
∵ 點 A 在雙曲線 y=2x 上,
∴ab=2.
∴FC?OF=3b?3a=3ab=6.
設點 C 的坐標為 x,y,
∵ 點 C 在第二象限,
∴FC=y,OF=-x,
∴FC
11、?OF=y?-x=-xy=6.
∴xy=-6.
∵ 點 C 在雙曲線 y=kx 上,
∴k=xy=-6.
3. 【答案】 8+83
【解析】取 AB 的中點 D,連接 OD,CD,如圖所示.
∵△AOB 為直角三角形,D 為 AB 的中點,
∴OD=12AB=8.
∵△ABC 是邊長為 16 的正三角形,D 為 AB 的中點,
∴CD=32AB=83.
在 △OCD 中,OC
12、B 于 M.
∵BE⊥AC,
∴∠AEB=90°.
∵tanA=BEAE=2,
設 AE=a,BE=2a,則有 100=a2+4a2,
∴a2=20,
∴a=25?或?-25(舍去),
∴BE=2a=45.
∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AB,
∴CM=BE=45(等腰三角形兩腰上的高相等).
∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA,
∴sin∠DBH=DHBD=AEAB=55,
∴DH=55BD,
∴CD+55BD=CD+DH,
∴CD+DH≥CM,
∴CD+55BD≥45,
∴CD+55BD 的最小值為 45.
5
13、. 【答案】 2825 或 425
【解析】如圖 1 所示,作 DF⊥AB 于 F,連接 AA?.
在 Rt△ACB 中,BC=AB2-AC2=6,
∵∠DAF=∠BAC,∠AFD=∠C=90°,
∴△AFD∽△ACB,
∴DFBC=ADAB=AFAC,
∴DF6=410=AF8,
∴DF=125,AF=165.
∵A?E⊥AB,
∴∠AEA?=90°.
由翻折不變性可知 ∠AED=45°,
∴EF=DF=125,
∴AE=A?E=125+165=285,
∴AA?=2825.
如圖 2 所示,作 DF⊥AB 于 F,
當 EA?⊥AB 時
14、,同法可得 AE=165-125=45,AA?=2AE=425.
6. 【答案】A
7. 【答案】A
【解析】如圖所示,連接 EB.
設 OA=r.
∵AB 是直徑,
∴∠ACB=90°.
∵E 是 △ACB 的內心,
∴∠AEB=135°.
作等腰直角三角形 ADB,AD=DB,∠ADB=90°,
以 D 為圓心,DA 為半徑的弧與 DM 交于點 G,與 DN 交于點 F,
則點 E 在以 D 為圓心 DA 為半徑的弧上運動,
運動軌跡是 GF,點 C 的運動軌跡是 MN,
∵∠MON=2∠GDF,設 ∠GDF=α,則 ∠MON=2α,
15、 ∴MN的長GF的長=2α?π?r180α?π?2r180=2.
8. 【答案】B
9. 【答案】 433
【解析】如圖所示,E 的運動路徑長是線段 EE? 的長.
∵AB=4,∠DCA=30°,
∴BC=433.
當 F 與 A 點重合時,
在 Rt△ADE? 中,AD=433,∠DAE?=30°,∠ADE?=60°,
∴DE?=233,∠CDE?=30°.
當 F 與 C 重合時,∠EDC=60°,
∴∠EDE?=90°,∠DEE?=30°,在 Rt△DEE? 中,EE?=433.
10. 【答案】 10-1
【解析】 ∵ 四邊
16、形 ABCD 是矩形,
∴AB=CD=3,BC=AD=2.
∵M 是 AD 邊的中點,
∴AM=MD=1.
∵ 將 △AMN 沿 MN 所在直線折疊,
∴AM=A?M=1,
∴ 點 A? 在以點 M 為圓心,AM 為半徑的圓上,
∴ 如圖所示,當點 A? 在線段 MC 上時,A?C 有最小值.
∵MC=MD2+CD2=10,
∴A?C 的最小值 =MC-MA?=10-1.
11. 【答案】 7+26 或 7-26
【解析】①如圖(1)所示,當點 P 在線段 BC 上,
若 P,E,D 三點在一條直線上,
由折疊得 AB=AE=5,BP=P
17、E,∠B=∠AEP=90°.
在 Rt△ADE 中,由勾股定理得 DE=AD2-AE2=72-52=26.
設 BP=x,則 PE=x,PC=7-x.
在 Rt△DCP 中,由勾股定理得 26+x2=7-x2+52,
解得 x=7-26,即 BP=7-26.
②如圖(2)所示,當點 P 在 BC 的延長線上時,
由折疊得 AB=AE=5,BP=PE,∠B=∠AEP=90°,易證 △ADE≌△DPC,
∴AD=DP=7.
在 Rt△DCP 中,由勾股定理得 PC=72-52=26,
∴BP=BC+PC=7+26.
12. 【答案】 33
【解析】如圖所示,過
18、點 P 作 PE⊥AD,交 AD 的延長線于點 E.
∵AB∥CD,
∴∠EDP=∠DAB=60°,
∴sin∠EDP=EPDP,
∴EP=32PD,
∴PB+32PD=PB+PE,
∴ 當 B,P,E 三點共線且 BE⊥AD 時,PB+PE 有最小值,即最小值為 BE 的長.
∵sinA=BEAB=32,
∴BE=33.
13. 【答案】
(1) 如圖 1 中,
∵△ABC 是等邊三角形,
∴AB=BC=AC=4,∠ACD=60°,
∵AD⊥BC,
∴BD=CD,AD=AC?sin60°=23,
∴OD=12BC=2,
19、∴OA=2+23.
(2) 如圖 2? 中,
取 BC 的中點 K,連接 OK,AK,OA.
在 Rt△BOC 中,OK=12BC=2,
在 Rt△ACK 中,AK=32+22=13,
∵OA≤AK+OK,
∴O,K,A 共線時,OA 的值最大,最大值為 2+13.
(3) 最大值為 2+213,最小值為 213.
【解析】
(3) 如圖 3? 中,
取 BC 的中點 K,連接 OK,EK,OE.
則 OK=12BC=2,EC=43,∠ECK=90°,
在 Rt△ECK 中,EK=22+432=213,
∵OE≤OK+EK,
∴O,K,E 共線時,OE
20、 的值最大,最大值為 2+213.
當點 C 與 O 重合時,OE 的值最小,最小值為 213.
14. 【答案】
(1) ① 12;② 4
(2) 猜想:AD=12BC.
證明:如圖 1,延長 AD 至 E,使 DE=AD.
∵AD 是 △ABC 的“旋補中線”,
∴B?D=C?D.
∴ 四邊形 AB?EC? 是平行四邊形.
∴EC?∥B?A,EC?=B?A.
∴∠AC?E+∠B?AC?=180°.
由定義可知 ∠B?AC?+∠BAC=180°,B?A=BA,AC=AC?,
∴∠AC?E=∠BAC,EC?=BA.
在 △AC?E 和 △CA
21、B 中,
EC?=BA,∠AC?E=∠CAB,AC?=AC,
∴△AC?E≌△CABSAS.
∴AE=BC.
∵AD=12AE,
∴AD=12BC.
(3) 存在.
如圖 4,以 AD 為邊向四邊形 ABCD 的內部作等邊 △PAD,連接 PB,PC,延長 BP 交 AD 于點 F,
則有:∠ADP=∠APD=60°,PA=PD=AD=6.
∵∠CDA=150°,
∴∠CDP=90°.
過點 P 作 PG⊥BC 于點 G,
易知四邊形 PDGE 為矩形.
∴CG=PD=6.
∴tan∠1=CDPD=236=33.
∴∠1=30°,∠2=60
22、°.
∴BG=12-6=6=CG.
又 PG⊥BC,
∴PC=PB,∠3=∠2=60°.
∴∠APD+∠BPC=60°+120°=180°.
又 PA=PD,PB=PC,
∴△PDC 是 △PAB 的“旋補三角形”.
∵∠3=60°,∠DPG=90°,
∴∠DPF=30°.
∴BF⊥AD,AF=12AD=3,PF=33.
在 Rt△PBG 中,
PB=PG2+BG2=CD2+BG2=232+62=43.
∴BF=PB+PF=73.
在 Rt△ABF 中,AB=732+32=239.
∵△PDC 是 △PAB 的“旋補三角形”.
∴△PAB 的“旋補中線”長為 12AB=39.