特征值與特征向量及其應用.doc

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I 摘 要 特征值與特征向量是代數(shù)中一個重要的部分，并在理論和學習和實際生活， 特別是現(xiàn)代科學技術方面都有很重要的作用.本文主要討論并歸納了特征值與特 征向量的性質(zhì)，通過實例展現(xiàn)特征值與特征向量的優(yōu)越性，探討特征值與特征 向量及其應用有著非常重要的價值. 正文共分四章來寫，其中第一章介紹了寫作背景以及研究目的.第二章介紹 了特征值與特征向量的定義以及性質(zhì)，并且寫出了線性空間中線性變換的特征 值、特征向量與矩陣的特征值、特征向量之間的關系.第三章介紹了特征值與特 征向量的幾種解法：利用特征方程求特征值進而求特征向量、列行互逆變換法、 利用矩陣的初等變換求特征值和特征向量.第四章重點介紹了特征值特征向量的 應用，如 n 階矩陣的高次冪的求解以及矩陣特征值反問題的求解等等.本文充分 利用特征值與特征向量的特性求解相關問題，這帶有一定的技巧性，但并不難 想象，特別是跟其它方法相比，計算顯得非常簡潔，在解決具體問題上具有很 大的優(yōu)越性. 當然關于矩陣的特征值和特征向量的內(nèi)容很廣，本文僅就特征向量的性質(zhì) 以及一些應用展開研究. 關鍵詞：特征值；特征向量；矩陣；遞推關系；初等變換 II Abstract As an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life, especially in modern science and technology. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples.It has a very important value of exploring eigenvalue and eigenvector and its application. The text is divided into four chapters to write,Among them,the first chapter presents the background and research purposes.The second chapter presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenvector of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix. The third chapter presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector:the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector;the method of reversible transform on Rows and columns;the elementary transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors. The fourth chapter introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matrix ,dealing with the inverse problem of matrix eigenvalues and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigenvector to solve related issues, this approach needs certain skills，but it is not hard to imagine that it has the great superiority in sovling specific issues, comparing with other methods. Of course, the content about matrix eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with the properties of eigenvector and some application. Key words:eigenvalue； eigenvector；matrix ；recursive relations；elementary；transformation 目 錄 摘 要 .I AbstractII 1 引 言 1 1.1 研究背景 1 1.2 研究現(xiàn)狀 1 1.3 本文研究目的及意義 2 2 特征值與特征向量 3 2.1 特征值與特征向量的定義和性質(zhì) 3 2.1.1 線性變換的特征值與特征向量 3 2.1.2 n 階方陣的特征值與特征向量 .3 2.2 ??,Vp中線性變換 ?的特征值、特征向量與矩陣 R的特征值與特征向量之間 的關系 .3 3 特征值與特征向量的解法 5 3.1 求數(shù)字方陣的特征值與特征向量 5 3.2 列行互逆變換法 6 3.3 利用矩陣的初等變換解特征值特征向量 10 4 矩陣的特征值與特征向量的應用研究 15 4.1 n 階矩陣 ??1*,,,mkAabIAf??的特征值和特征向量. 15 4.2 n 階矩陣的高次冪的求解 .16 4.3 矩陣特征值反問題的求解 17 4.4 特征值與特征向量在線性遞推關系中的應用 18 4.5 特征值法求解二次型的條件最值問題 22 4.5.1 二次型的條件最值問題及求解該問題的特征值方法 22 4.5.2 應用舉例 25 4.6 特征值與特征向量在矩陣運算中的作用 26 4.6.1 特征值與特征向量在矩陣運算中使用的性質(zhì) 26 4.6.2 特征值與特征向量在矩陣運算中的應用 26 總 結(jié) 30 參考文獻 31 致 謝 32 1 1 引 言 1.1 研究背景 矩陣是數(shù)學中的一個重要的基本概念之一,是代數(shù)學的一個主要研究對象,也是數(shù) 學研究和應用的一個重要工具. 矩陣的特征值與特征向量問題是矩陣理論的重要組成 部分，它在高等代數(shù)和其他科技領域中占有重要的位置.同時它又貫穿了高等代數(shù)的 許多重要方面，對于該課題的研究加深了我們對高等代數(shù)各個部分的認識，從而使我 們更深刻的了解高等代數(shù)的相關理論. 對矩陣的特征值與特征向量的理論研究和及其 應用探究，不僅對提高高等代數(shù)以及相關課程的理解有很大幫助，而且在理論上也很 重要，可以直接用來解決實際問題.現(xiàn)在矩陣已成為獨立的一門數(shù)學分支，矩陣特征 值與特征向量的應用是多方面的，不僅在數(shù)學領域里，而且在力學、物理、科技方面 都有十分廣泛的應用. 1.2 研究現(xiàn)狀 在此之前已有很多專家學者涉足此領域研究該問題.吳江、孟世才、許耿在《淺 談中“特征值與特征向量”的引入》中從線性空間 V 中線性變換在不同基 下的矩陣具有相似關系出發(fā)引入矩陣的特征值與特征向量的定義.郭華、劉小明在 《特征值與特征向量在矩陣運算中的作用》中從方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)出發(fā)， 結(jié)合具體的例子闡述了特征值與特征向量在簡化矩陣運算中所起的作用.矩陣的特征 值與特征向量在結(jié)構(gòu)動力分析中有重要作用，矩陣迭代法是求矩陣的第一階特征值與 特征向量的一種數(shù)值方法,但是選取不同的初始向量使結(jié)果可能收斂于不同階的特征 值與特征向量，而不一定收斂與第一階,陳建兵在《矩陣迭代法求矩陣特征值與特征 向量初始向量選取的討論》中討論了初始向量的選取問題.特征值理論是線性代數(shù)中 的一個重要的內(nèi)容，當方陣階數(shù)很高時實際計算比較繁瑣，趙娜、呂劍峰在《特征值 問題的 MATLAB 實踐》中從實際案例入手，利用 MATLAB 軟件討論了求解特征值問題的 全過程.汪慶麗在《用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量》中研究了一種只 對矩陣作適當?shù)某醯刃凶儞Q就能求到矩陣的特征值與特征向量的方法，論證其方法的 合理性，并闡述此方法的具體求解步驟.岳嶸在《由特征值特征向量去頂矩陣的方法 證明及應用》中探究了已知 n 階對稱矩陣 A 的 k 個互不相等的特征值及 k-1 個特征 向量計算出矩陣 A 的計算方法.張紅玉在《矩陣特征值的理論及應用》中討論了通過 n 階方陣 A 的特征值得出一系列相關矩陣的特征值,再由特征值與正定矩陣的關系得 出正定矩陣的結(jié)論.劉學鵬、楊軍在《矩陣的特征值、特征向量和應用》一文中討論 了矩陣的特征值和特征向量的一些特殊情況，以及在矩陣對角化方面的應用.馮俊艷、 2 馬麗在《討論矩陣的特征值與行列式的關系》中討論了利用矩陣的特征值解決行列式 的問題. 1.3 本文研究目的及意義 在前人研究的基礎上，本文給出了特征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，特征值與 特征向量性質(zhì)是最基本的內(nèi)容，特征值與特征向量的討論使得這一工具的使用更加便 利，解決問題的作用更強有力，其應用也就更廣泛.在此基礎上，對矩陣的特征值與 特征向量的計算進行詳盡的闡述和說明. 利用特征方程求特征值進而求特征向量法、 列行互逆變換法、矩陣的初等變換求特征值和特征向量.由于特征值與特征向量的應 用是多方面的，本文重點介紹了對特征值與特征向量的應用探究,闡述了特征值和特 征向量在矩陣運算中的作用，利用特征值法求解二次型最值問題以及矩陣的高次冪和 反求解問題的應用.在例題解析中運用一些特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，可以使 問題更簡單，運算上更方便，是簡化有關復雜問題的一種有效途徑.本文就是通過大 量的例子加以說明運用特征值與特征向量的性質(zhì)可以使問題更加清楚，從而使高等代 數(shù)中的大量習題迎刃而解，把特征值與特征向量在解決實際問題中的優(yōu)越性表現(xiàn)出來. 3 2 特征值與特征向量 2.1 特征值與特征向量的定義和性質(zhì) 2.1.1 線性變換的特征值與特征向量 定義 1：設 是數(shù)域 上的線性空間 的一個線性變換，如果對于數(shù)域 中一數(shù)??V? ，存在一個非零向量 ，使得0??0???= 那么 稱為 的一個特征值，而 稱為 的屬于特征值 的一個特征向量.0 0 2.1.2 n 階方陣的特征值與特征向量 定義 2：設 是 階方陣，如果存在數(shù) 和 維非零向量 ，使得 成立，R0nX0RX?? 則稱 為 的 特征值， 是 的對應特征值 的特征向量.0?X? 性質(zhì) 1 若 是 的 重特征值， 對應特征值 有 個線性無關的特征向量，則iirRiis .isr? 性質(zhì) 2 如果 都是矩陣 的屬于特征值 的特征向量,則當 時, 12,x0120kx?? 仍是 的屬于特征值 的特征向量．10kx??R0? 性質(zhì) 3 如果 是矩陣 的互不相同的特征值，其對應的特征向量分別是12,n?? R ，則 線性無關．12,n? x? 性質(zhì) 4 若 的特征值為 ，則??ijnr??12,n? ， ．12nrr????? ? 12nR??? 性質(zhì) 5 實對稱矩陣 的特征值都是實數(shù)，屬于不同特征值的特征向量正交．R 性質(zhì) 6 若 是實對稱矩陣 的 重特征值，則對應特征值 恰有 個線性無關i i iir 的特征向量，或 ．??iirEnr? 性質(zhì) 7 設 為矩陣 的特征值， 為多項式函數(shù)，則 為矩陣多項式???Px??P? 的特征值． ??PR 2.2 中線性變換 的特征值、特征向量與矩陣 的特征值與特征向量之間的關,Vpn?R 系 定理：設 是 的一組基 ,12,n?? ??,Vp??LV?????12,,nR????? ? 1） 的特征值 必是 的特征值， 的屬于 的特征向量0?0? ，則 必是 的屬于特征值 的特征向量.2nxx??? ??12,nx? R0 2）設 是 的一個特征值，且 ，則 是 的一個特征值.若0 0??0 4 是 的一個屬于特征值 的一個特征向量，則??12,,nx? R0? 是 的一個屬于 的特征向量.nx?????? ? 證明：1）設 是 的特征值，于是有 使得 ，其中 ，設0???0???=0?? ，則2nx? ，?? 1212 12,nnxxxR????????????? =? ? ? 又 ，所以有0?= ，???? 11221220, ,nnxxR???????????????=? ??? 由他們的坐標列相等可得 ，?? 1200nxER?????????? 所以其次線性方程組 有非零解，于是 ，故 是 的特征多??0X0ER???0?R 項式的根，即 是 的特征值，從而 的坐標是 的屬于 的特征向量.0?R? 2）設 是 的一個特征值， ，且 ，于是 有非0???0??0X? 零解， ，令 ，??12,nx?? nxxV???????12??200nERx?????????? ，即 ，于是 ，故 是 的一個特征值，且 11220=nnRx???????0???=0 是 的屬于 的特征向量.??0 5 3 特征值與特征向量的解法 3.1 求數(shù)字方陣的特征值與特征向量 由方陣的特征值和特征向量的定義知: 是 的屬于 的特征向量 因為a?0A? 所以 是齊次線性方程組 的非零解，所以 是特征方程Aa????Ex??? 的根。 將上述過程逆敘得到求數(shù)字方陣 的特征值和特征向量的步??0fE? 驟如下: (1) 計算的特征多項式 ；??Af (2) 解特征方程 ,求出它的全部根 ,它們就是 的全部特征值。0??12,n?? A (3) 對每一個特征值 ,求出齊次線性方程組 的一個基礎解??1in???0iEx??? 系,這個基礎解系 便是 的屬于 的線性無關的特征向量,則2,,iira? A??i? 的屬于 的全部特征向量是這個解系的非零線性組合: ,其中Ai? 12iinirkaka?? 是不全為零的數(shù).12,nk? 例 3.1.1 設線性變換 在 下的矩陣是 ，求 的特征值與特?123,?R???????21? 征向量. 解：因為特征多項式為 .??ER???????21215 所以特征值 （二重）和 5.?1 把特征值 代入齊次方程組 ??,,x????????1230 得到 ,,x??????1230 它的基礎解系是 ， . ???????10 6 因此屬于 的兩個線性無關的特征向量就是?1 ，13???? .2 而屬于 的全部特征向量就是 ， ， 取遍數(shù)域 中不全為零的全部數(shù)對.1k?1k2? 再用特征值 5 代入，得到 ,,x???????12340 它的基礎解系是 ， ??????1 因此，屬于 5 的一個線性無關的特征向量就是 ，3123???? 而屬于 5 的全部特征向量就是 ， 是數(shù)域 中任意不等于零的數(shù).k? 3.2 列行互逆變換法 為了定理的敘述方便，先給出一個定義. 定義 1.把矩陣的下列三種變換稱為列行互逆變換: 1 . 互換 i、j 兩列 ,同時互換 j、i 兩行 ；??ijc???jir? 2 . 第 i 行乘以非零數(shù) ，同時第 j 列乘 ；kk1 3 . 第 i 行 倍加到第 j 行，同時第 j 列 倍加到第 i 列 .k? 定理 1 為 n 階可對角化矩陣，并且A??TnE?????? ?? 一 系 列 行 列 互 逆 變 換 ??TDP 其中 ，????,, ,TiiinnnPbn????????????????? ?? ?11112 則 為 的全部特征值， 為 的對應 的特征向量.12,n? ATii?Ai? 證明：由行初等變換等價于左乘初等矩陣，列變換等價于右乘初等矩陣的性質(zhì)及 行列互逆變換的定義知， 為若干初等矩陣的乘積，當然可逆，且TP ，即 ，??1D??1P?? 7 所以 .APD? 因為 ，?? 11,nnD?????????? ? 所以 ，???? 111nnnA?????????? ? ? 則 ，????11nn??? ? 所以 0,2,.iiiA???? 因此，該方法求出的 為 的特征值， 為 的對應特征值 的特征向量． i?iAi? 為了運算上的方便，這里約定： 1. 表示矩陣的第 j 行 倍加入第 i 行； ij rk?? ? ? ?k 2. 表示矩陣的第 j 列的 倍加入第 i 列． ij?? ? ? ? 由于用定理 1 求解時，總會遇到形如 或 形式的矩aAcb???????10??acAb????????2 陣化對角陣問題，為此給出具體方法： ??TacAEb???????120112rk??? ? ? ?akb??????10 或 ，Tc??????2 21rk??? ? ? k???????1 其中 .ckab?? 則 為 的分別對應特征值 和 的特征向量；????,,TT?1201Aab 為 的分別對應特征值 和 的特征向量.k?2 例 3.2.1 求 的特征值與特征向量.???????65 解： 8 ??TAE???????2150612r??? ? ? ???????70164 21126rr??? ? ? ? ??????704121r? ? ? ???????065 所以，特征值 ；特征向量分別為 .,??12 ????,,TT??12 例 3.2.2 求 的特征值與特征向量.A???????01 解： ??TAE?? ?? ??? ?401012143rr??? ? ? ??? ?? ?? ?0021 24r??? ? ? ? ?? ??? ?10031221324rr??? ? ? ?? ?? ???? ?0012 12342rrrr??? ? ? ? ?? ????? ?03414122 9 . ?? ?? ?? ? ?? ?1031 所以，特征值分別為 ；特征向量分別為 ，,?????1234 ??,T???13 ， ， .??,T???213??,T??3??,T?1 下面給出定理 1 的推廣定理. 定理 2. 為任意 階方陣，若 ，其中AnTnAE?????? ?? 一 系 列 行 列 互 逆 變 換 ??TJP 為約當矩陣， 為約當標準形. ?? 1rJ????????? ?,ii iJr?????????? ? ??11 ， ，則 為 的特征值； 為 1TrP??????????,;riri ninrr???????????? ?112i?AiTir??? 的對應特征值 的特征向量.Ai? 證明：由一般代數(shù)書中定理可知 必相似于一約當矩陣，按定理 2 中化簡方法，A 則有 ，即 ，其中 ，??1TPJ??1,TTPJP????11TTr???? ? ?, ,iTTir irJ??????????????? ?? ?1 1 所以 ，???? 11111TTTTTr r TrJA???????????? ? ? ? ? ? ? 故有 ，??,iiAn?? 所以 為 的特征值； 為 的對應 的特征向量.i?Ai?i 10 例 3.2.3 求 的特征值與特征向量.A????????2103 解： ??TE????????3201313r??? ? ? ???????01421r??? ? ? ????????014r??? ? ? 321???????012321r? ? ? ???????021 所以特征值為 ，對應特征值 的特征向量 ，,??134??12??,T??1 對應 的特征向量為 .??34??T? 3.3 利用矩陣的初等變換解特征值特征向量 引理 矩陣 左乘或右乘一個可逆矩陣，其秩不變.即若 為 矩陣，AAmn? 分別是 m 和 n 階可逆矩陣，則PQ、 .??????,rPrQArPr???、 由此可知，若 ，且 為 n 階單位矩陣，則形如 的 矩陣必可?I I????????n?? 經(jīng)過一系列變換成 的形式，其中 為 矩陣且 ， 分別為BCD??????0Bmr?Br?CD、 和 矩陣， 為 零矩陣，從而有nr???r???nr?? 定理 1 設 為 矩陣，其秩 ， ，則比存在 nAmAn????12,,Tnxx? 階可逆矩陣 ，使 ，且 的 個列向量就是齊次線性方程組QBICD??????????0r 的基礎解系 .0Ax? 證明： 此處只需證明 的列向量是 的基礎解系即可.0Ax? 11 事實上，由 得 ，即 ，從而ABQICD??????????0??,0AQBC???????,,ADB?0 ， .這說明 的 個列向量 是齊次線性方程組ACB?nr?12,,nr?? 的解向量.x0 另設矩陣 的列向量為 ，則由 知向量組nr?12,,r? ??,Q? 即為 的列向量，因 可逆，所以向量組??1212,,,,rrD?? ? Q 線性無關，因此 的列向量就是 的基礎解系.nr?? DAx0 例 3.3.1 組 的一組基礎解系. xx???????123412305 解：利用初等列變換，得 ??cAI??????????????? ? ? ? ????????????????2134018224150531010?? ??c c?? ??????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???????????243 4573201157050114246 從而， ，所求基礎解系為 .??rA?3??,T???576 定理 2. 設 為 n 階方陣，則其特征矩陣 可通過初等列變換化為下三角矩IA? 陣，記為 12 ，?????? 12*nllLl???????????? 從而使 的解就是矩陣 的全部特征值.??120nll?? A 證明：由初等變換理論，存在 n 階可逆矩陣 ，使 ，由??Q???IAQL??? 此得 .??12nILll?????? 從而使 的解就是 的解.????120nll?? 0IA? 這樣，由定理 1 和定理 2 可以得到同時求解方陣的特征值與特征向量的一種解法： 第一步，作如下初等變換： ，并由 求得矩陣 的特征值nIA?????????? ?? 初 等 列 變 換 ??LQ?????????L??A .??,i???12 第二步，將 代入 ，則有 或iA????????317562??iLBCD??????????????0??iLQ?????????? ?? 互 換 某 幾 列 .0BCD?????? 因為 ，所以由定理 1 即知 的列向量就是 的對應于特征????i iLIAQ???? A 值 的線性無關的特征向量.i 例 3.3.2 求矩陣 的特征值與特征向量. ????????317562 解： ??cIA? ??????????????????????? ? ? ? ?????????????1331137557622600110 13 ???????''' ''',,,,,,n nii nFximyfxfximn?????? ?? ? ? ?2 21121001 所以，由 得矩陣 的特征值為 .??????4A,???234 將 代入，得?1 .??LQ? ????????????????10610 所以對應于 的特征向量為 ( 此處二重特征值只對應一個線性無???2??,T?1 關的特征向量). 將 代入，得34 .????cLQ?? ?????????????? ? ? ? ?????????????2330101660011 所以對應于 的特征向量為 .?4??,T?2 這里用初等列變換的方法同時求出來矩陣的特征值與特征向量，完全類似地，利 用初等行變換也可以實現(xiàn)這一過程，其方法如下： (1) 對矩陣 施行初等行變換將其化為矩陣 ，其中??TIA?????? ??UP?????? 為含有 的上三角矩陣， 為 經(jīng)過初等變換得到的矩陣； ??U???P?I (2) 由行列式 求得矩陣 的特征值 ； ()?0?,in?12? (3) 將 代入 中，若 不是行標準形， 則通過初?,in12? U??????i 等行變換將其化為行標準型，并記秩 ， 則 中的后 個行向量的??irriP?nr? 轉(zhuǎn)置就是 對應的特征向量． i? 例 3.3.3 征值與特征向量. 解：因為特征矩陣 ，所以IA??????????13564 14 ??TIA???????????????1361054???r??????? ? ? ? ????13601??r????? ? ? ? ? ?2133??? ?? ????? ?24001533?? 32r?? ? ? ? ???UP??? ?? ??????????? ?240108233? 從而由 即 求得 的特征值為 （二重）和??U???????20A? .??4 當 時， ，所以 ，且?2??P??????????6100? ??rU?21 的后兩行的轉(zhuǎn)置即為 對應的特征向量，即 .??P???2,,TT??120 當 時， ，所以 ，且??4??UP??????????3062? ??4rU 的最后一行的轉(zhuǎn)置即為 對應的特征向量，即 .??P??431,2T?? 15 4 矩陣的特征值與特征向量的應用研究 4.1 n 階矩陣 的特征值和特征向量.??1*,,,mkAabIAf?? 若 是 n 階矩陣 的特征值，非零向量 為 對應于 的特征向量，則 ， ?xA?k? ， ， ， ， 是 的特征值，非零abm?f ??1*,,,mkabIf?? 向量 是 對應于特征值 ， ， ， ，x??1*,,,mkbI? kab?m1 ， 的特征向量.A??f 證明： 由于 是 的特征值， 為 對應于 的特征向量，則有AxA? ，? 那么： （1）.在 兩端同時左乘系數(shù) 得 ，即 .所以x??kx??kAx?? 是方陣 的特征值，且向量 是方陣 對應于特征值 的特征向量.k?AxA （2）.由于 ，所以 是方陣???abIbab????ab? 的特征值，且向量 是方陣 對應于特征值 的特征向量.abI?I? （3）.由于， ???2 2xxx?? ，?322 3AA ? ，???1111mmmmxxAxx?????? 所以 是方陣 的特征值，且向量 是方陣 對應于特征值 的特征向量.? （4）在 兩端同時左乘 得 ，即 ，有A?1A?1??1?? 成立，所以 是方陣 的特征值，且向量 是方陣 對應于特征值 的x?11x? 16 特征向量. （5）.在 兩端同時左乘 得 ，由于 ，那么Ax??*A*x??*1A?? ，即有 成立，所以 是方陣 的特征值，且向量??**x*x??m 是方陣 對應于特征值 的特征向量.mAA （6） ，則??110nnfxaxax????? A? 1110 10nn nnfAxaxax??? ????? ? = .??aaf??? 上面的證明用到了（3）的結(jié)論，由 可知 是 的特征值，?f ?f?fA 且向量 是 對應于特征值 的特征向量.x??fA?f 例 4.1.1 已知矩陣 ，求 的特征值和特征向量. ???????12A??5421 分析：本題是求矩陣 的多項式的特征值和特征向量，若按一般思路求解，則需A 計算 的 5 次冪并進行多項式運算，再求其特征值和特征向量，計算量非常大，但若A 利用（6）的結(jié)論，計算變的很簡單. 解：矩陣 的特征多項式 為：??detI?? .??AI ?????21251 ，得矩陣 的特征值為 .??detAI???0,?123 當 時，解其次方程 即5??AIx??50x????????????12342 得其通解為 ，其基礎解系中只含有一個解向量 ，????,,TTxt??12310 ??,Tx?1 即為特征值 所對應的特征向量.1x?5 17 當 時，解齊次方程 ，即???1??AIx??0x????????????123 得通解為 ，其基礎解系中含有兩個線性無關的解??????,,,TTTxtt???123120 向量： ，即為特征值 所對應的特征向量, ???231 設 ，則 ，即為 的特征值.當?fAA54f???54??f? 時， ；當 時， ，于是??1?f16?231??ff23 的特征值為 ，對應的特征向量為 .??542, 123,x 4.2 n 階矩陣的高次冪的求解 當 n 階矩陣 可對角化時，即矩陣 可與對角陣相似時，計算其高次冪 有簡AAkA 單的方法，當 n 階矩陣 滿足下面的四個條件之一時，即可對角化，即 .1P?? （1）.n 階矩陣 有 n 個線性無關的特征向量； （2）.n 階矩陣 有 n 個互不相等的特征值； （3）.n 階矩陣 的每個特征值 ，均有 ，即特征值的幾何常數(shù)等于其A?m??? 代數(shù)常數(shù)； （4）. 為是對稱矩陣. 對于 ， 是由 的 n 個特征向量組成的矩陣. 1P??12,nx????? A 是由 的 n 個特征值構(gòu)成的對角陣，那么有：??12,nAdiag?? A????1111111kk kPPPAP??????????? ? 其中 ，故 .12,kkni??? 12,kkkndiag?? 例 4.2.1 已知矩陣 ，求 （其中 為正整數(shù)）.A???????1kA 分析 矩陣的高次冪的求解一般是有技巧的，這里因矩陣 為是對稱矩陣，故可A 對角化，可按上面討論的方法求之. 解：因為 ，所以矩陣 為是對稱矩陣，故可對角化.TA?A 由例 4.1.1 知，矩陣 的 3 個特征值為 ，其對應的特征向量為,???1235 18 ，故對角陣 ， ，且123,x??,Adiag??15??Px?????????12301 ，又 ，那么有 ，則P????????11??,diag?151AP???kkkAP??????????????????????1 0021135 . ??????kkkkkk????? ?? ????? ?111125325 4.3 矩陣特征值反問題的求解 矩陣特征值反問題的求解，即根據(jù)矩陣的特征值和特征向量的信息來決定矩陣 中的元素.當矩陣 有 n 個互不相等的特征值時， 必有 n 個線性無關的特征向量，AA 那么矩陣 必可對角化，故 ，其中相似變換矩陣 由 的 n 個線性無關的1PA??P 特征向量組成. 例 4.3.1.設 3 階方陣 的特征值為 ，對應于特征向量分別是：,,???12301 ， ， ，求??Tx?12??Tx?2??Tx?3A 分析 此題給出了矩陣的 3 個不相同的特征值及其特征向量.那么矩陣可對角化， 顯然是矩陣特征值的反問題，可按上面討論的方法求之. 解： 由于 是方陣 對應于特征值 的特征向量，于是有：??,ix?1A??,i??123 ，iiAx?? 令 ，那么??Px????????12321P????????1219 則有 ，其中 .由上式可得 即為所求.A?A???????01A???????1032 4.4 特征值與特征向量在線性遞推關系中的應用 用特征值和特征向量對一般線性遞推關系進行討論. 19 設 階線性循環(huán)數(shù)列 滿足遞推關系：K??nx??,,knaaxk??????1212? ? 其中 是常數(shù)，且 ，??,iak?2? k?0 方程組 12,111nnknnknkxx???????????? ? 可表示為矩陣形式 （1） nknnknkxaaxx??? ???????????????????211 22100??? ?? ? ? ? ? ?? 令 , ,n nknk knknk xaaxA??????? ????? ?????? ????? ????????? 11211 22100?? ?? ? ? ? ?? ? 則（1）可寫成： （2）1nknkA????? 由（2）式遞推得 ，其中 ，于是求211nknkA?????? ??1121,,Tkxx??? 通項 就歸結(jié)為求 ，也就是求 .nx k 如果 可對角化，即存在可逆矩陣 ，使得 ，則 ，由P??1nknkAP? 于 121001kkaaEA????????? ? ? ? ?? 從第一列開始每一列乘以 加到后一列上，就得到如下的矩陣：? 20 kkkkkaaaaa?????? ???? ??? ?? ?? ?2121112 11000? ? ???? ? ? ? ??11kkkaa?????? 若 是 的特征值，顯然有 ，則線性齊次方程組A??1REAk?? 的基礎解系中只含有一個解向量，因此當 有 個特征值 時，??0EX Ak12,k?? 這 個特征值對應的特征向量分別為 ，由這 個特征向量為列構(gòu)成的方陣k 12,kP? 記為 ，則 是可逆的，并且 .其中P?120nA???????????? ? ? ?? 例 4.4.1 設數(shù)列 滿足遞推關系： ，并且??nx ??nxx?????1234 ，求通項 .,,xx??123 解： 是三階循環(huán)數(shù)列，將方程組??n nnxx????????123 用矩陣表示為： ，令 nnxx???????????????112230A???????10 并由上式遞推得 nnnnxxxA??????????????????????????????12312322341? 其中 ,,xx?123 由 ，即EA??0???????32100 21 得 的特征值為：A,,???123 再由特征方程 解得對應于 的特征值 的特征向量分????iEAXi0A123,? 別為： ,,PP???????????????12341 令： ???????????123421 則 ,PAP? ????????????????1 1603202??????nnnnn nnnA ????? ??? ?????? ???????? ?3333222311 13136062 代入（2）式得： ??????nnnnxxxx???? ?????? ?333211262n????1 196 例 4.4.2 計算 n 階行列式 nD?60010061???? ? ? ? ? ? ? ?? 解：將 按第一行展開得：nnM???12136 其中 與 分別是元素 和 的余子式，再將它們分別按第一列展開得：12M312a3nnnDD??1236 則 是三階線性循環(huán)數(shù)列.??nD 將方程組 22 nnnDD????????12366 表示成矩陣形式為： 令 nnDD???????????????112230A???????160 由上式遞推得： 12312322341nnnnD??????????????????????????????? （3） 由 解得 的特征值為 ，再由特征方程0EA???,,?123 ， 解得對應于 的特征值 的特征向量分別為：??iX??,i123A12?,,PP??????????????12349 令 ??????????123491 則 ,PAP? ????????????????1 156028233n nnnn nAP? ???? ?? ?? ????????? ?????? ??????? ?3 11313121232300562 由（3）式可得： ??????nnnnnDDD???? ?????1213 1256 將 代入上式得：,,??3219056nn???2 23 4.5 特征值法求解二次型的條件最值問題 4.5.1 二次型的條件最值問題及求解該問題的特征值方法 二次型的條件最值問題是一類特殊的多元函數(shù)極值問題 定義 設有滿足條件 的 n 個變量 ，????,,inFxim??1201? ? 12,nx? 當存在變量 的一組值 ，使??,ixn?? 2''',nx? （或 ）時，稱?2'''121, ,nnffx?? ? ??2'''11,,,nffx?? ? 為 最大（或最?。┲?2''',nx? ??y? 特征值法原理 定理 1 二次型 在條件 下的最大值?1 nijjijjiijaxa?????210niixc??? （最小值）恰是其實數(shù)特征值中最大值（最小值）的 c 倍. 證明：利用拉格朗日數(shù)乘法，先作拉格朗日函數(shù) ，??21211,, nnijj iij iLxxaxxc??????????? 其中： 為參數(shù)，再令其關于 的一階偏導數(shù)為 0，得?12,n? ????nj njjjnjnnnnjaxaxaxLxaxaxax??????????????? ?????????????1121122 22 121 0???? （1） 由于 ，所以（1）可化為 ijjia nnnnnaax?????????????1121221 0?????? （2） 這是一個齊次線性方程組由于 ，所以 不全為 0，從而（2）??ixc???21012,nx? 有非零解，即該方程的系數(shù)行列式為 0，于是 24 ， nnnnaa???????????1121221 0?????? （3） 所以 是 系數(shù)矩陣的特征值 .?1 nijjijax?? 又依次用 分別乘（1）再相加得 ，又12,n? innijiaxx???????????2110 ，因此 .21i nxc?1ijiaxc?? 特別地，二次型 在條件 下的最大值（最小值）恰是二次型1 niji?inx?21 實特征值中的最大值（最小值）.1 nijjijax?? 定理 2 二次型 在條件 下的最大值（最小值）21i nx? ??1,0nijijjiiaxka???? 是二次型 正數(shù)特征值倒數(shù)中的最大值（最小值）的 k 倍；當特征值為 0 時，1 nijia? 在條件 下沒有最大值，最小值為最大正數(shù)特征值21i nx????,nijijjiixka???1 0 倒數(shù)的 k 倍. 證明：作拉格朗日函數(shù) ，令其關于??,nni ijiLxxaxk????????????21211? 的一階偏導數(shù)為 0，得12,nx? ， ????nj njjjnjnnnjnLxaxaxaxLxaxxax?????????????????????????????11112122221121 00???? 25 （4） 接下來證明參見定理 1，直到 是 系數(shù)矩陣的特征值.再用 分別?1 nijiax??12,nx? 乘（4）再相加得 ，又由于 ，因i nnijiax???2110??,nijijjiiaxka???1 0 此， .?? nikx????210 由于 隨正數(shù)特征值 的減小而增大，且當 時， 的極限不,ni??21???0k 存在，所以 不存在最大值，而其最小值則是最大整數(shù)特征值倒數(shù)的 k 倍，21 nikx?? 證畢. 特別地，二次型 在條件 下的最大值（最小值）21 nix????,nijijjiiaxak???1 0 是二次型 正特征值倒數(shù)中的最大值（最小值）.1 nijia? 特征值方法的求解步驟： 根據(jù)定理 1 和定理 2，只要知道二次型 的特征值 ，就可以知道1 nijiax?? 或者 在特定條件下的最大和最小值了，因此應用特征值方法求解1 nijiax??21inix? 二次型條件最值問題是方便的，其步驟可歸結(jié)為： （1）判定問題確實屬于定理所描述的二次型條件最值問題； （2）求二次型 的特征值；1 nijiax? （3）根據(jù)定理寫出二次型 或者 在特定條件下的最大和最小值.1 nijix??21inx? 4.5.2 應用舉例 例 4.5.2.1 求 在 時的最值.xyxzy??2548z?227 解：二次型 的特征方程為 26 ???22540 解得特征值為 10,1,1，根據(jù)定理 1 可知， 在 時xyxzy??28z??227 的最大和最小值分別為 70 和 7. 例 4.5.2.2 在 時的最值.xyzyz??22 ?225 解：二次型 的特征方程為xy ， ??102 的特征值為 3,3,0，根據(jù)定理 1 可知， 在xyzxyz??2 時的最大值和最小值 0 和 15.xyz??225 例 4.5.2.3 求 在 時的最值.22xyz???2 5 解： 二次型 的特征方程為xyz???102 的特征值為 3,3,0，根據(jù)定理 2 可知， 在xyz? 是的最小值為 ，最大值不存在.xyzxyz???22553 4.6 特征值與特征向量在矩陣運算中的作用 4.6.1 特征值與特征向量在矩陣運算中使用的性質(zhì) 性質(zhì) 1.設 為 n 階方陣， 為 的 n 個特征值，則 .A12,n?? A12nA??? 性質(zhì) 2.方陣 可逆 的 n 個特征值都不為零.? 性質(zhì) 3.設 為方陣 的特征值， 為 的多項式，則 為 的特征值.??????? 性質(zhì) 4. 不為方陣 的特征值 .0E??? 性質(zhì) 5.（凱萊——哈密頓定理）設 的特征多項式為A ，則 .??11nnfaa???????? ??11nnfaAa?????? 性質(zhì) 6.設 n 階方陣 的 n 個特征值為 ，且 為對應的 n 個線A12,n?? 2,P? 性無關的特征向量，記 ，則??12,,nP?? 27 . 121nPA?????????? 性質(zhì) 7.設 為 n 階實對稱矩陣， 是它的 n 個特征值，則A12,?? （1） 當且僅當 都大于零時， 正定；12,n?? （2） 當且僅當 都小于零時， 負定；? A （3） 當且僅當 都非負，但至少一個等于零時， 是半正定；12,n? A （4） 當且僅當 都非正，但至少一個等于零時， 是半負定；? （5） 當且僅當 中既有正數(shù)，又有負數(shù)時， 是不定的.12,n?? 4.6.2 特征值與特征向量在矩陣運算中的應用 （1）.求方陣 的行列式 以及 的多項式 的行列式 .AA?????A? 例 4.6.2.1.已知三階矩陣 的特征值為 1，-1,2，設 ，求325?? ； ; .???5E? 解：由性質(zhì) 1 可得 ；??2?? 因 ，由性質(zhì) 3 可知 的特征值為 ， ，32AA???14???16?? .故 .??2?????8==?? 的特征多項式為 ，令 ，得????12fE?????5=? .55127fE?? 例 4.6.2.2 設 是 的特征值， ，求 .?A23AE???A? 解：因 是 的特征值，即有 ，故?20????232E?????? （2）判斷方陣 及 的可逆性k 例 4.6.2.3.設 ，問當 k 為何值時， 可逆.A????????10482AkE 解：因 ，故 ，?? ??fE???????231014???1 為 的三個特征值，由性質(zhì) 4 可知，當 時， 可逆.??231A,k?AkE 例 4.6.2.4 設矩陣 滿足 ，證明 可逆.2A?EA?3 證明 設 ，則 ，因 ，即有 ，即 ，而x?x?2?2x???x??210 28 ，只有 ，于是 ，可知 3 不是 的特征值，所以 ，即x?0???210??1AEA??30 可逆.EA3 （3）.求方陣 ， 的逆矩陣 及 的 k 次冪A? 例 4.6.2.5.設 ，求 ; ; . ???????20131?5 解： ,由性質(zhì) 5 有??fEA???????3021 ，故??fA???320AE?????????3042321 由 ，可知 0 不是 的特征值，由性質(zhì) 2 知 可逆.而??f?1A ，故AEAEAEE???????????331121222???????10 ，故??AEAAEAE????????3532522 42 .5 16083?????? 例 4.6.2.6 設 3 階方陣 的特征值為 ；對應的特征向量依次為A,,???121 ， ， .求 （k 為大于 1 的正數(shù)）.??1,2TP???2,1T????3,TP?A 解：因 線性無關，記 ，由性質(zhì) 6 有13,P123,P?????????10 所以 ，1AP????1111kk kAPAPAP?? ???? 故 29 ????????kkkk k kkkA ? ???????????? ??????????????????? ?142141201299 于是當 k 為偶數(shù)時， ；k 為奇數(shù)時， .kA????????54128kA????????1023 例 4.6.2.7.設 3 階實對稱矩陣 的特征值為 6,3,3 與特征值 6 對應的特征向量為 ，求 .??,TP?1 解：設對應于 3 的特征向量為 ，因?qū)崒ΨQ的不同特征值下的特征??123,Tx? 向量正交，即有 ，即 的分量滿足 .又因特征值 3 的重數(shù)為 2，所'xP?10x??0 以對應于 3 恰有兩個線性無關的特征向量，顯然 的基礎解系就是對應于123 3 的兩個線性無關的特征向量. 由 得它的一個基礎解系為 .x?123 ????,,TTP??121 令 ，由性質(zhì) 6 有 .??,P????????10A???????603 故 AP????????14 （4）求方陣 的多項式 .A??? 例 4.6.2.8 設 ，計算 . ????????102??854223AAE????? 解： ，而??321fEA??????854 22 43710Efq??????? 顯然 .由性質(zhì) 5 可知 ，854 23AfAE? ??0fA? 所以 ??A? ??????????23867109514 （5）判斷實對稱的正定性. 30 例 4.6.2.9. 設 n 階實對稱矩陣 正定，則存在矩陣 ，使 ，且 也是正定AB2A?B 矩陣. 證明：因為 為實對稱矩陣，故存在正交矩陣 ，使AP ， 11nP?????????? 其中 為 的 n 個特征值.因 正定，故有 .于是??1,2i??? AA??01,2i n???1 11 1 1n nnAPPP????? ????????????????????? ? ? 111nnP?????????????????? ? 總 結(jié) 矩陣是線性代數(shù)中的一個重要部分，特征值與特征向量問題是矩陣理論的重要組 成部分，特征值與特征向量有著許多具體的應用，本文通過查閱相關的資料并在指導 老師的指導和建議下對特征值與特征向量原理進行了歸納總結(jié).首先簡單的敘述了特 征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，探究了特征值與特征向量的幾種解法，在此基礎上 重點介紹了特征值與特征向量的應用問題.矩陣的高次冪的求解是有技巧的，當矩陣 可對角化時，利用特征值與特征向量把矩陣對角化，可以簡便的解出矩陣高次冪的值.如 果知道矩陣的特征值和對應的特征向量求出矩陣的計算方法以及特征值與特征向量在 線性遞推關系中的應用，利用矩陣的特征值與特征向量給出了遞推關系的一種解法. 本文通過應用舉例說明了特征值在求解二次型的條件最值問題的應用，給出了特征值 法原理，運用特征值法求二次型的條件最值問題.給出了特征值與特征向量在矩陣運 算中使用的性質(zhì)，并且舉例說明了特征值與特征向量在矩陣運算中的應用.運用一些 特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，可以使問題更簡單，運算上更方便，是簡化有關復 雜問題的一種有效途徑。特征值與特征向量理論的應用是多方面的，不僅在數(shù)學領域， 而且在力學、物理、科技方面都有十分廣泛的應用，值得我們深入探究. 31 參考文獻 [1] 王萼芳,石生明.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003. [2] 湯正華.關于矩陣的特征值與特征向量的探究[J].山東行政學院山東省經(jīng)濟管理干部學院學報， 2008， （91）:46—48. [3] 向以華.矩陣的特征值與特征向量的研究[J].重慶三峽學院學報，2009,25（117）：135—138. [4] 吳春生.淺議線性變換與矩陣的特征值與特征向量