《高等代數(shù)》知識點(diǎn)梳理.pdf

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1、Stephen 高等代 數(shù)知識 點(diǎn)梳理 第四章 矩陣 一、矩陣 及 其運(yùn)算 1 、 矩 陣的 概念 （ 1 ） 定義： 由 n s 個數(shù) ij a （ s i , 2 , 1 = ； n j , 2 , 1 = ）排成 s 行 n 列的數(shù)表 sn s n a a a a 1 1 11 ，稱為 s 行 n 列矩陣，簡記為 n s ij a A = ) ( 。 （2 ） 矩陣的 相等： 設(shè) n m ij a A = ) ( ， k l ij a B = ) ( ，如 果 l m = ， k n = ，且 ij ij b a = ，對 m i , 2 , 1 = ； n j , 2 ,

2、 1 = 都成立，則稱 A 與 B 相等，記 B A = 。 （3 ）各種特 殊矩陣：行矩陣，列矩陣，零矩陣，方陣， （上 ）下三角矩陣，對角矩陣， 數(shù)量矩陣，單位矩陣。 2 、 矩 陣的 運(yùn)算 （1 ）矩陣的 加法： + + + + = + sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1 1 1 1 11 11 1 1 11 1 1 11 。 運(yùn)算規(guī)律： A B B A + = + ) ( ) ( C B A C B A + + = + + A O A = + O A A

3、= + ) ( （2 ）數(shù)與矩 陣的乘法： = sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 1 1 11 1 1 11 運(yùn)算規(guī)律： lA kA A l k + = + ) ( kB kA B A k + = + ) ( A kl lA k ) ( ) ( = O A A = + ) ( （ 3 ）矩陣的乘法： = sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 1 1 11 1 1 11 1 1 11 其中 - 1 - Stephen nj in i

4、i i i ij b a b a b a c + + + = 2 2 1 1 ， s i , 2 , 1 = ； m j , 2 , 1 = 。 運(yùn)算規(guī)律： ) ( ) ( BC A C AB = AC AB C B A + = + ) ( CA BA A C B + = + ) ( B kA kB A AB k ) ( ) ( ) ( = = 一般情況， BA AB AC AB = ， 0 A ， C B = 0 = AB 0 = A 或 0 = A （4 ）矩陣的 轉(zhuǎn)置： = sn s n a a a a A 1 1 11 ，A 的轉(zhuǎn)置就是指矩陣 = ns n s

5、 a a a a A 1 1 11 運(yùn)算規(guī)律： A A = ) ( ) ( B A B A + = + ) ( A B AB = ) ( kA kA = （5 ）方陣的 行列式：設(shè)方陣 11 1 1 n n nn aa A aa = ，則 A 的行列式為 11 1 1 || n n nn aa A aa = 。 運(yùn)算規(guī)律： | | | | A A = | | | | A k kA n = | | | || | | | BA B A AB = = 這里 A ， B 均為 n 級方陣。 二、矩陣 的 逆 1 、 基本 概念 （1 ） 矩陣可 逆的定義： n 級方陣 A 稱為可逆

6、的， 如果有 n 級方陣 B，使 得 E BA AB = = ， 這里 E 是單位矩陣。 （2 ）伴隨矩陣 ： 設(shè) ij A 是矩陣 = nn n n a a a a A 1 1 11 中元素 ij a 的代數(shù)余子式，矩陣 - 2 - Stephen = nn n n A A A A A 1 1 11 * 稱為 A 的伴隨矩陣。 1、基本 性質(zhì) （1 ）矩陣 A 可逆的充分必要條件是 A 非退化（ 0 | | A ）， 而 | | * 1 A A A = （2 ） 如果矩陣 A ， B 可逆， 那么 A 與 AB 也可逆， 且 ) ( ) ( 1 1 = A A

7、 ， 1 1 1 ) ( = A B AB 。 （3 ） 設(shè) A 是 n s 矩陣，如果 P 是 s s 可逆矩陣，Q 是 n n 可逆矩陣，那么 ) ( ) ( ) ( AQ rank PA rank A rank = = 三、矩陣 分 塊 對于兩個有相同分塊的準(zhǔn)對角矩陣 = l A A A 0 0 1 ， = l B B B 0 0 1 如果它們相 應(yīng)的分塊是同級的，則 （1 ） = l l B A B A AB 0 0 1 1 ； （2 ） + + = + l l B A B A B A 0 0 1 1 ； （3 ） | | | || | | |

8、 2 1 l A A A A = ； （4 ） A 可逆的充要條件是 l A A A , , , 2 1 可逆，且此時， = 1 1 1 1 0 0 l A A A 。 四、初等 變 換與初等 矩 陣 1 、 基本 概念 （1 ）初等變 換：初等行列變換稱為初等變換所得到的矩陣。 用一個非零的數(shù) k 乘矩陣的第i 行（列）記作 ) ( k c k r i i 互換矩陣中i ， j 兩行（列）的位置，記作 ) ( j i j i c c r r - 3 - Stephen 將第i 行（ 列 ）的 k 倍加到第 j 行 （列） 上， 記作 ) ( j i i j kc c kr

9、r + + 稱為矩陣的三種初 等行（列）矩陣。 （2 ）初等方 陣：單位矩陣經(jīng)一次初等變換所得到的矩陣。 2 、 基本 性質(zhì) （1 ）對一個 n s 矩陣 A 作一次初等行變換就相當(dāng)于在 A 的左邊乘上相應(yīng)的 s s 初等 矩陣；對 A 作一次初等列變換就相當(dāng)于在 A 的右邊乘上相應(yīng)的 n n 初等矩陣。 （2 ） 任意一 個 n s 矩陣 A 都與一形式為 1 000 01 0 0 00 1 0 0 000 0 000 的等價， 它稱為矩陣 A 的標(biāo)準(zhǔn)型，主對角線上 1 的個數(shù)等于 A 的秩。 （3 ） n 級矩陣 A 為可逆的充分必要條件是，它能表示成一些初等矩陣的乘積

10、。 （4）兩 個 n s 矩陣 A ，B 等價的充分必要條件是， 存在可逆的 s 級矩陣 P 與可逆的 n 級矩陣Q ，使 PAQ B = 。 3 、 用初 等變 換求逆矩 陣 的方法 把 n 級矩陣 A ， E 這兩個 n n 矩陣湊在一起， 得到一個 n n 2 矩陣 ) (AE ，用初等 行 變換把它的左邊一半化成 E ，這時，右邊的一半就是 1 A 。 第五章 二次型 1 、 二次 型及 其矩陣表 示 （1 ）二次型 ： 設(shè) P 是一數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域 P 中的 n x x x , , , 2 1 的二次齊次多項(xiàng)式 n n nn n n n n n x a x x a x a x x

11、 a x x a x a x x x f + + + + + + + + = 2 2 2 2 22 1 1 2 1 12 2 1 11 2 1 2 2 2 ) , , , ( 稱 為數(shù)域 P 上的一個 n 元二次型。 （2 ） 二次型 矩陣： 設(shè) ) , , , ( 2 1 n x x x f 是數(shù)域 P 上的 n 元二次型， ) , , , ( 2 1 n x x x f 可寫 成矩陣形式 AX X x x x f n ) , , , ( 2 1 = 。 其中 ) , , , ( 2 1 n x x x X = ， n n ij a A = ) ( ， A A = 。A 稱為二次型 )

12、, , , ( 2 1 n x x x f 的矩陣。秩（ A ）稱為二次型 ) , , , ( 2 1 n x x x f 的秩。 - 4 - Stephen （3 ） 矩陣的 合同： 數(shù)域 P 上 n n 矩陣 A ，B 稱為合同的， 如果有屬于 P 上可逆的 n n 矩陣C ，使 AC C B = 。 2 、 標(biāo)準(zhǔn) 型及 規(guī)范性 定理 數(shù)域 P 上任意一個二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換化成標(biāo)準(zhǔn)型 2 2 2 2 2 1 1 n n y d y d y d + + + ， 用矩陣的語言敘述， 即數(shù)域 P 上任意一個對稱矩陣合同于一個對 角矩陣。 定理 任意一個復(fù)系數(shù)的二次型經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭?/p>

13、化的線性替換化成規(guī)范型 2 2 2 2 1 r z z z + + + ，且規(guī)范形是唯一的。 定理 任意一個實(shí)系數(shù)的二次型經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶木€性替換化成規(guī)范型 2 2 1 2 2 2 2 1 q p p p z z z z z + + + + + ， 且規(guī)范形 是唯一的， 其中 p 稱為此二次型的正慣性指 數(shù)， qrp = 稱為此二次型的負(fù)慣指數(shù)， s pq = 稱為此二次型的符號差。 3 、 正定 二次 型及正定 矩 陣 （1 ）基本概 念 正 定二 次型 ： 實(shí)二 次型 ) , , , ( 2 1 n x x x f 稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的 實(shí)數(shù) n c c c ,

14、, , 2 1 , 都有 0 ) , , , ( 2 1 n c c c f 。 正定矩陣：實(shí)對稱矩陣 A 稱為正定的，如果二次型 AX X 正定。 負(fù)定 、 半正 定 、 半 負(fù)定 、 不定的二次型 ： 設(shè) ) , , , ( 2 1 n x x x f 是一實(shí)二次型， 對于 任 意一組不全為零的實(shí)數(shù) n c c c , , , 2 1 , 如果 0 ) , , , ( 2 1 < n c c c f ，那么 ) , , , ( 2 1 n x x x f 稱為負(fù) 定的；如果都有 0 ) , , , ( 2 1 n c c c f 那么稱 ) , , , ( 2 1 n x x x f 為半

15、正定的；如果都有 0 ) , , , ( 2 1 n c c c f ，那 么 ) , , , ( 2 1 n x x x f 稱為半負(fù)定的； 如果它既不是半正定的又不是半 負(fù)定的，那么 ) , , , ( 2 1 n x x x f 就稱為不定的。 （2 ） 正定二 次型、 正定矩陣的判定： 對于實(shí)二次型 AX X x x x f n ) , , , ( 2 1 = ， 其中 A 是實(shí)對稱的，下列條件等價： ) , , , ( 2 1 n x x x f 是正定的； A 是正定的； - 5 - Stephen ) , , , ( 2 1 n x x x f 的正慣指數(shù)為 n ； A 與單位矩

16、陣合同； A 的各階順序主子式大于零。 第六章 線性空 間 1 、 線性 空間 的定義 設(shè)V 是一個非 空集合， P 是一個數(shù)域。 在集合V 的元素之間定義 了一種代數(shù) 運(yùn)算；這 就是說， 給出了一個法則， 對于V 中的任意兩個元素 、 在V 中都有唯一的一個元素 與 它們對應(yīng)， 稱為 與 的和，記為 + = 。在數(shù)域 P 與集合V 的元素之間 還定義 了 一 種運(yùn)算，叫 做數(shù)量乘法 ；這就是說 ，對于屬于 P 中任意數(shù) k 與V 中任意元素 ，在V 中都 有唯一的元素 與它們對應(yīng)， 稱為 k 與 的數(shù)量乘積， 記為 k = 。 如果加法與數(shù)量乘法 滿足下述規(guī)則，那么V 稱為數(shù)域 P 上的

17、線性空間。 （1 ） + = + ； （2 ） + + = + + ) ( ) ( ； （3 ）在V 中有一元素 0，對 于V 中任意元素 都有 = + 0 （具有這個性質(zhì)的元素 0 稱為V 的零元素） ； （4 ） 對于V 中的每一個元素 ， 都有V 中的元素 ， 使得 0 = + （ 稱為 的 負(fù)元素） ； （5 ） = 1 ； （6 ） ) ( ) ( kl l k = ； （7 ） l k l k + = + ) ( ； （8 ） k k k + = + ) ( 。 2 、 維數(shù) ，基 與坐標(biāo) （1 ）如果在線性空間V 中有 n 個線性無關(guān)的向量。但是沒有更多數(shù)

18、目的線性無關(guān)的 向量，那么V 就稱為 n 維的。如果在V 中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量，那么V 就 稱為無限維的。 （2 ） 如果在 線性空間V 中有 n 個線性無關(guān)的向量 n , , , 2 1 ，且V 中任一向量都 - 6 - Stephen 可以用它們線性表出，那么V 是 n 維的，而 n , , , 2 1 就是V 的一組基。 （3）在 n 維線性空間中，n 個線性無關(guān)的向量 n , , , 2 1 稱為V 的一組基。 設(shè) 是 V 中任一向量，于是 n , , , 2 1 ， 線性相關(guān)，因此 可以被基 n , , , 2 1 唯一的線 性表出 n n a a a +

19、+ + = 2 2 1 1 ，其中系數(shù) n a a a , , , 2 1 稱為 在基 n , , , 2 1 下的 坐標(biāo)，記 ) , , , ( 2 1 n a a a 。 3 、 基變 換與 坐標(biāo)變換 （1 ）設(shè) n , , , 2 1 與 n e e e , , , 2 1 是 n 維線性空間V 中兩組基，如果 = nn n n n n a a a a e e e 1 1 11 2 1 2 1 ) , , , ( ) , , , ( ， 矩陣 = nn n n a a a a A 1 1 11 稱為 n , , , 2 1 到基 n e e e ,

20、, , 2 1 的過度矩陣。 （2 ）設(shè) n , , , 2 1 與 n e e e , , , 2 1 是 n 維線性空間V 中兩組基， 由基 n , , , 2 1 到基 n e e e , , , 2 1 的過度矩陣為 A ，向量 在這兩組基下的坐標(biāo)分別為 ) , , , ( 2 1 n x x x 與 ) , , , ( 2 1 n y y y ，則 = 4 3 2 1 4 3 2 1 y y y y A x x x x 。 4 、 線 性子 空間 （1 ）數(shù)域 P 中線性空間V 的一個非空子集合W 稱為V 的一個線性子空間，如果W 對 于V 的兩種運(yùn)算

21、也構(gòu)成數(shù)域 P 上的線性空間。 （2 ） 線性空間V 的非空子集W 是V 的子空間的充分必要條件是W 對于V 的兩種運(yùn)算 封閉。 （3 ）線性空 間V 的子空間 1 V ， 2 V 的交與和，即 2 1 V V ， 2 1 V V + 都是V 的子空間。 （4 ）維數(shù)公 式：如果 1 V ， 2 V 是線性空間V 的兩個子空間，那么 ) dim( ) dim( dim dim 2 1 2 1 2 1 V V V V V V + = + （5 ）設(shè) 1 V ， 2 V 是線性空間V 的子空間，如果和 2 1 V V + 中的每個向量 的分解式 - 7 - Stephen 2 1 + = ，

22、1 1 V ， 2 2 V 是唯一的，這個和就稱為直和，記為 2 1 V V 。 （6 ）設(shè) 1 V ， 2 V 是線性空間V 的子空間，下列這些條件是等價的： 2 1 V V + 是直和； 零向量的表示式是唯一的； 0 2 1 = V V ； 2 1 2 1 dim dim ) dim( V V V V + = + 。 5 、 線性 空間 的同構(gòu) （1 ）數(shù)域 P 上兩個線性空間V 與 V 稱為同構(gòu)的，如果由V 到 V 有一個 11 的映上 的映射 ，具有以下性質(zhì)： ) ( ) ( ) ( + = + ； ) ( ) ( k k = 。 其中 ， 是V 中任意向量， k 是

23、P 中任意數(shù)，這樣的映射 稱為同構(gòu)映射。 （2 ）數(shù)域 P 兩個有限維數(shù)線性空間同構(gòu)的充分必要條件是它們有相同維數(shù)。 第七章 線性變 換 一 、 線性 變 換及其運(yùn) 算 1 、 線性 變換 的定義 線性空間V 的的一個變換 A 稱為線性變換， 如果對于V 中任意元素 ， 和數(shù)域 P 中 任意數(shù) k ，都有 ( ) () () ++ A =A A ， ( ) () kk A =A 。 2 、 線性 變換 的運(yùn)算 設(shè) A ， B 是數(shù)域 P 上線性空間V 的兩個線性變換， kP 。 （1 ）加法： ( ) () () () = + A(B A B （2 ）數(shù)乘： ( ) () () kk = A

24、A （3 ）乘法： ( )( ) ( )( ( )) = AB A B （4 ） 逆變換 ：V 的變換 A 稱為可逆的， 如果有V 的變換 B ，使 = = AB B A E （V 的 恒等變換） 。 3 、 變 換的 矩陣 - 8 - Stephen （1 ） 設(shè) n , , , 2 1 是數(shù)域 P 上的 n 維線性空間V 的一組基, A 是V 中的一個線性變 換 ， 基向量的象可以被基線性表出 ： 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 11 2 2 nn nn n n n nn n Ae a a a Ae a a a Ae a a a = + ++ = + ++

25、 = + ++ ， 用矩陣來表示是 12 1 2 12 ( ,,,)( , ,, )( ,,,) n nn A = = A AA A ， 其中 11 1 1 n n nn aa A aa = 矩陣 A 稱為 A 在基 n , , , 2 1 下列矩陣。 （2 ） 設(shè) n , , , 2 1 是數(shù)域 P 上 n 維向量空間V 的一組基， 在這組基 下， 每個線性 變換 按公式對應(yīng)一個 nn 矩陣。這個對應(yīng)具有以下性質(zhì)： 線性變換的和對應(yīng)于矩陣的和； 線性變換的乘積對應(yīng)于矩陣的乘積； 線性變換的數(shù)量乘積對應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積； 可逆的線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，且逆變換對應(yīng)于逆

26、矩陣。 （3 ）設(shè)線 性 變換 A 在基 n , , , 2 1 下的矩陣 是 A ，向量 在基 n , , , 2 1 下的坐標(biāo) 是 ,, , 12 ( , ,...., ) n xx x ，則 A 在基 n , , , 2 1 下的坐標(biāo) 12 ( , ,....., ) n yy y 可按公式 11 22 nn yx yx A yx = 計(jì)算。 （4 ） 設(shè) A ， B 為數(shù)域 P 上兩個 n 級矩陣， 如果可以找到數(shù)域 P 上的 n 級可逆矩陣 X ， 使得 1 B X AX = , 就說 A 相似于 B 。 （5 ）線性 變 換在不 同基 下所對 應(yīng)的 矩陣是 相似

27、的；反 過來 ，如果 兩個 矩陣相 似， 那么 它們可以看作同一線性變換在兩組基下所對應(yīng)的矩陣。 二 、 特征 值 與特征向 量 1 、 特征 值與 特征向量 的 定義 設(shè) A 是數(shù)域 P 上線性空間V 的一個線性變換， 如果對于數(shù)域 P 中一數(shù) 0 ， 存在一非零 向量 ，使 得 0 = A , 那么 0 稱為 A 的一個特征值， 稱為 A 的屬于特征值 0 的一個 特 - 9 - Stephen 征向量。 2 、 特征 多項(xiàng) 式的定義 設(shè) A 是數(shù)域 P 上 的 一個 n 級矩陣， 是一個文字，矩陣 EA 的行列式 11 1 1 n n nn aa EA aa = 稱為 A 的

28、特征多項(xiàng)式，這是數(shù)域 P 上的一個 n 次多項(xiàng)式， 則 1 11 ( .... ) () ..... ( 1) 0 n nn nn A a a A AE fA + + + + = = 。 3 、 特征 值與 特征向量 的 性質(zhì) （ 1 ）設(shè) 12 ,,, n 是 n 級矩陣 () ij n n Aa = 的全體特征值，則 1 n ++ 11 nn aa =++ ， 1 n A = ； （2 ）屬于不 同特征值的特征向量是線性無關(guān)的； （3）如 果 12 ,,, n 是線性變換 A 的不同的特征值， 而 1 ,, i i ir aa 是屬于特征值 i 的 線性無關(guān)的特征向量， 1, 2,

29、, ik = ，那么向量組 1 11 1 1 ,, ,, ,, k r k kr aaaa 也線性無關(guān)。 4 、 線性 變換 在某組基 下 為對角矩 陣 的條件 （1）設(shè) A 是 n 維線性空間V 的一個線性變換， A 的矩陣可以在某一組基下為對角矩陣 的充要條件是， A 有 n 個線性無關(guān)的特征值。 （2 ） 如果在 n 維線性空間V 中的， 線性變換 A 的特征多項(xiàng)式在數(shù)域 P 中有 n 個不同的 根，即 A 有 n 個不同的特征值，那么 A 在某組基下的矩陣是對角矩陣。 （3 ） 在負(fù)數(shù) 域上的線性空間中， 如果線性變換 A 的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重跟， 那么 A 在某 組基下的矩陣是對角矩陣

30、。 三 、 矩 陣的相 似 1 、 矩陣 相似 的定義 設(shè) A ， B 為數(shù)域 P 上兩個 n 級矩陣, 如果可以找到數(shù)域 P 上的 n 級可逆矩陣 X , 使得 1 B X AX = , 就說 A 相似于 B ，記為 AB . 2 、 相似 矩陣 的性質(zhì) （1 ）相似矩 陣有相同的特征多項(xiàng)式； （2 ）相似矩 陣有相同的最小多項(xiàng)式。 四 、 線 性變換 的 值 域與核 - 10 - Stephen 1 、 設(shè) A 是線性空間V 的一個線性變換， A 的全體象組成的集合稱為 A 的值域， 用 V A 表示。 V A 是V 的子空間 ， dim( ) V A 稱為 A 的秩 ，所 有被 A 變成

31、零 向量的 向量 組成的 集 合稱為 A 的核， 記為 1 (0) A 。 1 (0) A 是V 的子空間， 維 （ 1 dim( ) (0) A ）稱 為 A 的零度。 2 、設(shè) A 是 n 維線 性空間V 的線 性變換 ， n , , , 2 1 是V 的一組 基。 在這組 基下 A 的 矩陣是 A ，則 （1 ） 12 ( , ) ,, n AA VL A = A ； （2 ） dim( ) ( ) rank A = A 3 、設(shè) A 是 n 維線性空間V 的線性變換，則 1 dim( ) dim () () 0 n V += AA 。 五 、 不 變子空 間 設(shè) A 是數(shù)域 P 上

32、線性空間V 的線性變換，W 是V 的子空間 ，如果W 中的向量在 A 下 的象仍在W 中，就稱W 是 A 的不變子空間，簡稱 A - 子空間。 第九章 歐 幾 里得空間 一 、 歐 氏空間 的 基 本概念 1 、 設(shè)V 是是數(shù)域 R 上一線性空間，在V 上定義了一個二元實(shí)函數(shù)，稱為內(nèi)積，記為 (, ) ，特具有一下性質(zhì)： （1 ） (, ) (,) = ； （2 ） ( ,) ( ,) kk = ； （3 ） ( ,) (,) (,) +=+ ； （4 ）(,) 0 ， 當(dāng)且僅當(dāng) 0 = 時 (, ) 0 = 。 這里 、 、 是V 中任意的向量， k 是任意實(shí)數(shù)，這樣的線性空間V

33、稱為歐幾里得空間。 2 、非負(fù)實(shí)數(shù) (,) 稱為向量 的長度，記為 。 3 、非零向量 ， 的夾角 , 規(guī)定為 (,) , arccos = ， 0, 。 4 、 如果向量 ， 的內(nèi)積為零， 即 (, ) 0 = ，那 么 ， 稱為正交或互相垂直， 記 為 。 - 11 - Stephen 5 、 設(shè)V 是一個 n 維歐幾里得空間，在V 中取一組基 n , , , 2 1 令 (, ) ij i j a = ， , 1, 2, , ij n = 矩陣 () ij n n Aa = 稱為基 n , , , 2 1 的度量矩陣。 （1 ）度量矩 陣是正定的； （2 ）不同基 底的度量矩陣是

34、合同的。 6 、歐氏空間V 中一組非零向量，如果它們兩兩正交，就稱為一正交向量組。在 n 維歐 氏空間中， 由 n 個向量組成的正交向量組稱為正交基； 由單位向量組成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正 交基。 二 、 同構(gòu) 1 、實(shí)數(shù)域 R 上歐氏空間V 與 V 稱為同構(gòu)，如果由V 到 V 有一個 1-1 上的映射 ，適 合 （1 ） ( ) () () += + ； （2 ） ( ) () kk = ； （3 ） ( ( ), ( )) ( , ) = ； 這里 , V ， kR ，這樣的映射 稱為V 到 V 的同構(gòu)映射。 2 、兩個有限 維歐氏空間同構(gòu)的充分條件是它們的維數(shù)相同。 三 、 正 交

35、矩陣 1 、 基本 概念 （1 ） n 級實(shí)數(shù)矩陣 A 稱為正交矩陣，如果 AA E = 。 （2 ） 歐氏空間V 的線性變換 A 稱為正交變換， 如果它保持向量的內(nèi)積不變， 即對任意 的 , V 都有 ( , ) (, ) AA = 2 、 主要 結(jié)論 設(shè) A 是歐氏空間V 的一個線性變換，于是下面 4 個 命題等價： （1 ） A 是正交變換； （2 ） A 保持向量的長度不變，即對于 V ， = A ； （3 ）如果 n , , , 2 1 是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么 12 , ,, n AA A 也是標(biāo)準(zhǔn)正交基； （4 ） A 在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣。 - 12 - S

36、tephen 四 、 正 交子空 間 1 、 基本 概念 （1 ）設(shè) 1 V ， 2 V 是歐氏空間V 中兩個子空間。如果對于任意的 1 V ， 2 V 恒有 (, ) 0 = ，則 稱 1 V ， 2 V 為正交的， 記 12 VV 。 一個向量 ， 如果對于任意的 1 V ，恒 有 (, ) 0 = ，則稱 與子空間 1 V 正交，記為 1 V 。 （2 ）子空間 2 V 稱為子空間的一個正交補(bǔ)，如果 12 VV ，并且 12 VV V += 。 2 、 主要 結(jié)論 （1 ）如果子 空間 1 ,, s VV 兩兩正交，那么和 1 s VV ++ 是直和。 （2 ）歐氏空 間V 的每

37、一個子空間 1 V 都有唯一的正交補(bǔ) 1 V 。 （3 ） 1 V 恰由所有與 1 V 正交的向量組成。 五 、 對稱 矩 陣的性質(zhì) 1 、 實(shí)對 稱矩 陣的性質(zhì) （1 ）實(shí)對稱 矩陣的特征值皆為實(shí)數(shù)； （2 ）設(shè) A 是 n 級實(shí)對稱矩陣，則 n R 中屬于 A 的不同特征值的特征向量必正交； （3 ） 對于任意一個 n 級實(shí)對稱矩陣 A ， 都存在一個 n 級正交矩陣T ，使 1 T AT T AT = 成對角矩陣。 2 、 對稱 矩陣 （ 1 ）設(shè) A 是歐氏空間V 中的一個線性變換，如果對于任意的 , V ，有 ( , ) (, ) = AA 則稱 A 為對稱變換。 （2 ）對稱變

38、 換的性質(zhì)： 對稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對稱矩陣； 設(shè) A 是對稱變換， 1 V 是 A - 子空間，則 1 V 也是 A - 子空間； 設(shè) A 是 n 維歐氏空間V 中的對稱變換， 則V 中存在一組由 A 得特征向量構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn) 正交基。 六 、 向量 到 子空間的 距 離，最小 二 乘法 - 13 - Stephen 1 、長度 稱為向量 和 的距離，記為 (, ) d ，且 （1 ） (, ) d = (,) d ； （2 ） (, ) 0 d ，當(dāng)且僅當(dāng) = 時等號成立； （3 ） (, ) (,) ( , ) d dd + （三角不等式） 。 2 、實(shí)系數(shù)線 性方程組 11

39、1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 11 2 2 0 0 0 nn nn n n nn n n ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b + ++ = + ++ = + ++ = 可能無解， 即任何一組實(shí)數(shù) 12 ,, s xx x 都可能使 2 11 2 2 1 () n i i is s i i ax ax ax b = + ++ 不等 于零， 尋找實(shí)數(shù)組 00 0 12 ,,, s xx x 使上式最小， 這樣的 00 0 12 ,,, s xx x 稱為方程組的最小二乘解。 3 、線性方程 組 AX b = 的最小二乘解即為滿足方程組

40、 A AX Ab = 的解 0 X 。 第十章 雙線性 函 數(shù) 一 、 線 性函數(shù) 1 、 基本 概念 (1)設(shè)V 是數(shù)域 P 上的一個線性空間， f 是V 到 P 的一個映射, 如果 f 滿足 ： ( ) () () f ff += + ( ) () f k kf = 其中 , 是V 中任意元素， k 是 P 中任意數(shù)，則稱 f 為V 上的一個線性函數(shù)。 （2 ）設(shè)V 是數(shù)域 P 上的一個 n 維線性空間。V 上全體線性函數(shù)組成的集合記作 (,) LV P 。用自然數(shù)方法定義 (,) LV P 中的加法和數(shù)量乘法， (,) LV P 稱為數(shù)域 P 上的線性 空間，稱為V 的對偶空間。 （3

41、 ）設(shè)數(shù)域 P 上 n 維線性空間V 的一組基為 n , , , 2 1 ，作V 上 n 個線性函數(shù) 12 ,,, n ff f ，使得 1, () 0, ii ji f ji = = , 1, 2, , ij n = 則 12 ,,, n ff f 為 (,) LV P 的一組基， - 14 - Stephen 稱為 n , , , 2 1 的對偶基。 2 、 主要 結(jié)論 （1）設(shè) V 是 P 上一個 n 維線性空間， n , , , 2 1 是V 的一組基， 12 ,,, n aa a 是 P 中 任意 n 個數(shù)，存在唯一的V 上線性函數(shù) f 使 () ii fa = ， 1, 2

42、, , in = 。 （2 ）設(shè) n , , , 2 1 及 12 ,,, n 是線性空間V 的兩組基，它們的對偶基分別為 12 ,,, n ff f 及 12 ,,, n gg g 。 如果由 n , , , 2 1 到 12 ,,, n 的過度矩陣為 A ， 那么由 12 ,,, n ff f 到 12 ,,, n gg g 的過度矩陣為 1 () A 。 （3）設(shè)V 是 P 上一個線性空間， * V 是其對偶空間， 取定V 中一個向量 x ，定 義 * V 的 一個函數(shù) ** x 如下： ** ( ) () x f fx = ， * fV 容易驗(yàn)證 ** x 上的一 個線性函數(shù)

43、，因此是 * V 的 對偶空間 * * ** () VV = 中的一個元素，映射 ** | xx 是V 到 ** V 的一個同構(gòu)映射。 二 、 雙 線性函 數(shù) 1 、 基本 概念 （1）設(shè)V 是數(shù)域 P 上一個線性空間， (, ) f 是V 上一個二元函數(shù)。 如果 (, ) f 有 下列性質(zhì)： 11 2 2 1 1 2 2 (, ) (, ) (, ) f k k kf kf += + ； 11 2 2 1 1 2 2 ( ,) (,) ( ,) f k k kf kf +=+ ； 其中 12 12 , , ,, , 是V 中任意向量， 12 , kk 是 P 中任意數(shù)，則稱 (,

44、 ) f 為V 上的一 個雙線性函數(shù)。 （2）設(shè) (, ) f 是數(shù)域 P 上 n 維線性空間V 上的一個雙線性函數(shù)。 n , , , 2 1 是V 的 一組基，則矩陣 ( ( , )) i j nn Af = 叫做 (, ) f 在 n , , , 2 1 下的度量矩陣。 （3）設(shè) (, ) f 是線 性空間V 上的一個雙線性函數(shù)， 如果從 (, ) f =0 任意 V 都 成立可推出 0 = ， f 就叫做非退化的。 2 、 主要 結(jié)論 （1 ）雙線性 函數(shù)在不同基下的度量矩陣是合同的。 - 15 - Stephen （2 ）雙線性 函數(shù)非退化的充要條件為其度量矩陣是非退化的。 三

45、 、 對稱 雙 線性函數(shù) 1 、 基本 概念 （1 ） (, ) f 是線性空間V 上的一個雙線性函數(shù)， 如果對V 中任意兩個向量 , 都有 (, ) (,) ff = 則稱 (, ) f 為對稱雙線性函數(shù)。如果對V 中任意兩個向量 , 都有 (, ) (,) ff = 則稱 (, ) f 為反對稱雙線性函數(shù)。 （2）設(shè) V 是數(shù)域 P 上線性空間， (, ) f 是V 上雙線性函數(shù)。 當(dāng) = 時，V 上函數(shù) (,) f 稱為與 (, ) f 對應(yīng)的二次其次函數(shù)。 2 、 主要 結(jié)論 （1）設(shè) V 是數(shù)域 P 上 n 維線性空間， (, ) f 是V 對稱雙線性函數(shù)， 則存在V 的一組 基

46、 n , , , 2 1 ，使 (, ) f 在這組基下的矩陣為對角矩陣。 （2）設(shè) V 是數(shù)域 P 上 n 維線性空間， (, ) f 是V 對稱雙線性函數(shù)， 則存在V 的一組 基 n , , , 2 1 ，對V 中任意向量 1 n ii i x = = ， 1 n ii i y = = 有 1 (, ) n ii i f xy = = ， (0 ) rn 。 （3）設(shè)V 是實(shí)數(shù)域上 n 維線性空間， (, ) f 是V 上對稱雙線性函數(shù)， 則存在V 的一 組基 n , , , 2 1 對 V 中任意向量 1 n ii i x = = ， 1 n ii i y = = 有 11 1 1

47、 ( , ) ... ... pp p p rr f xy x y x y xy ++ = ++ ， (0 ) prn 。 （4 ）設(shè) (, ) f 是 n 維線性空間V 上的一個反對稱雙線性函數(shù)。則存在V 的一組基 11 1 , ,,, , ,, rr s ，使 ( ) ( ) ( ) , 1, 1,..., , 0, 0 , 0, , 1,...., ii ij k f ir f ij f Vk s = = = + == （5）設(shè) V 是數(shù)域 P 上的一個線性空間， 在V 上定義了一個非退化的雙線性函數(shù)， 則V 稱為一個 雙 線性度量 空 間。特別 地 ，當(dāng)V 為 n 維實(shí) 線性空間 ， (, ) f 是V 上非退 化 對稱 - 16 - Stephen 雙線性函數(shù)時，V 稱為一個偽歐氏空間。 - 17 -