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1、 例 2.2.1 計算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點的電場強 度。 解 ：如圖所示，環(huán)形薄圓盤的內(nèi)半徑為 a 、外半徑為 b，電荷 面密度為 。在環(huán)形薄圓盤上取面積元 ，其位置矢量為 ， 所帶的電量為 。 而薄圓盤軸線上的場點 的位置 矢量為 ，因此有 P(0,0,z) b r R y z x 均勻帶電的環(huán)形薄圓盤 dS a dE 故 由于 P(0,0,z) b r R y z x 均勻帶電的環(huán)形薄圓盤 dS a dE 例 2.2.2
2、 求真空中均勻帶電球體的場強分布。已知球體半徑 為 a ，電 荷密度為 0 。 解 ： （ 1） 球外某點的場強 （ 2）求球體內(nèi)一點的場強 a r 0 r r E a ( r a ) （ r a 時 由于 在圓環(huán)的中心點上，即 z = 0 磁感應(yīng)強度最大 解 ：分析場的分布，取安培環(huán)路如圖，則 根據(jù)對稱性，有 ，故 在磁場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用安培環(huán)路 定理計算磁感應(yīng)強度。 3. 利用安培環(huán)路定理計算磁感應(yīng)強度 例 2.3.2 求電流面密度為 的無限大電流薄板產(chǎn)生的磁 感應(yīng)強度。 C 1B 2B O x y
3、 解 選用圓柱坐標系，則 由安培環(huán)路定理，得 例 2.3.3 求載流無限長同軸電纜產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。 取安培環(huán)路 ，交鏈的電流為 b c a I I 由安培環(huán)路定理，得 由安培環(huán)路定理，得 a cb 02Ib 02Ia O b c a I I 例 2.4.1 半徑為 a 、介電常數(shù)為 的球形電介質(zhì)內(nèi)的極化強 度為 ，式中的 k 為常數(shù)。（ 1）計算極化電荷體密度 和面密度；（ 2）計算電介質(zhì)球內(nèi)自由電荷體密度。 故電介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度 處的極化電荷面密度為 解 ： （ 1）電介質(zhì)球內(nèi)的極化電荷體密度 為 （ 2）因
4、 ， 故 例 2.4.2 有一磁導率為 ，半徑為 a 的無限長導磁圓柱，其軸線處有無限長 的線電流 I，圓柱外是空氣（ 0 ），試 求圓柱內(nèi)外的 、 和 的分布。 解 磁場為平行平面場 ,且具有軸對 稱性，應(yīng)用安培環(huán)路定理，得 0 C I a 例 2.4.3 半徑的 a 球形磁介質(zhì)的磁化強度 ， 如圖所示。式中的 A、 B為常數(shù)，求磁化電流密度。 在 處的磁化電流面密度為 解 ：磁化電流體密度為 O a z 球形磁介質(zhì) 的磁化強度 re e M 例 2.4.4 內(nèi)、外半徑分別為 a和 b的圓
5、筒 形磁介質(zhì)中，沿軸向有電流密度為 的傳導電流，如圖所示。設(shè)磁介質(zhì)的磁導率 為 ， 求磁化電流分布 。 解 ： 利用安培環(huán)路定理求各個區(qū)域內(nèi) 由傳導電流 J 產(chǎn)生的磁場分布。 在 的區(qū)域，得 在 的區(qū)域，得 在 的區(qū)域，得 圓筒形磁介質(zhì) z b a J 在磁介質(zhì)圓筒內(nèi)表面上 在磁介質(zhì)圓筒外表面上 磁介質(zhì)的磁化強度 （ 1） ，矩形回路靜止； x b a o y x 均勻磁場中的矩形環(huán) L vB （ 3） ，且矩形回路 上的可滑動導體 L以勻速
6、 運動。 解 ： ( 1 ) 回路內(nèi)的感應(yīng)電動勢是 由磁場變化產(chǎn)生的，故 例 2.5.1 長為 a、寬為 b 的矩形環(huán)中有均勻磁場 垂直穿過， 如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內(nèi)的感應(yīng)電動勢。 B （ 2） ，矩形回路的寬邊 b = 常數(shù)，但其長邊因可滑動 導體 L以勻速 運動而隨時間增大； ( 3 ) 矩形回路中的感應(yīng)電動勢是由磁場變化以及可滑動導體 L 在磁場中運動產(chǎn)生的，故得 ( 2 ) 均勻磁場 為恒定磁場，而回路上的可滑動導體以勻速 運動，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動勢全部是由導體 L 在磁場中運動
7、產(chǎn) 生的，故得 B 或 （ 1）線圈靜止時的感應(yīng)電動勢； 解 : （ 1）線圈靜止時，感應(yīng)電動勢是由時變磁場引起，故 （ 2）線圈以角速度 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)時的感應(yīng)電動勢。 例 2.5.2 在時變磁場 中，放置有一個 的 矩形線圈。初始時刻，線圈平面的法向單位矢量 與 成 角，如 圖所示。試求： x y z a b B 時變磁場中的矩形線圈 ne 假定 時 ，則在時刻 t 時， 與 y 軸的夾角 ， 故 方法一 ：利用式
8、 計算 （ 2）線圈繞 x 軸旋轉(zhuǎn)時， 的指向?qū)㈦S時間變化。線圈內(nèi)的 感應(yīng)電動勢可以用兩種方法計算。 上式右端第二項與 ( 1 )相同，第一項 x y z a b B 時變磁場中的矩形線圈 ne 1 2 3 4 方法二 ： 利用式 計算。 例 2.5.3 海水的電導率為 4 S/m ，相對介電常數(shù)為 81 ，求頻 率為 1 MHz 時，位移電流振幅與傳導電流振幅的比值 .(設(shè)電場隨時間作正弦變化 ) 解 ： 設(shè)電場隨時間作正弦變化，表示為 則位移電流密度為 其振幅值為 傳導電流的振幅值為 故
9、 式中的 k 為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場強度。 例 2.5.4 自由空間的磁場強度為 解 自由空間的傳導電流密度為 0，故由式 , 得 例 2.5.5 銅的電導率 、相對介電常數(shù) 。 設(shè)銅中的傳導電流密度為 。試證明：在無線 電頻率范圍內(nèi)，銅中的位移電流與傳導電流相比是可以忽略的。 (設(shè)電場隨時間作正弦變化 ) 而傳導電流密度的振幅值為 通常所說的無線電頻率是指 f = 300 MHz以下的頻率范圍，即使 擴展到極高頻段（ f = 30 300 GHz），從上面
10、的關(guān)系式看出比 值 Jdm/Jm 也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。 解 ：銅中存在時變電磁場時，位移電流密度為 位移電流密度的振幅值為 解 ： ( 1 ) 導線中的傳導電流為 忽略邊緣效應(yīng)時，間距為 d 的兩平行板 之間的電場為 E = u / d ，則 例 2.6.1 正弦交流電壓源 連接到平行板電容器 的兩個極板上，如圖所示。 ( 1 ) 證明電容器兩極板間的位移電流 與連接導線中的傳導電流相等； ( 2 )求導線附近距離連接導線為 r 處的磁場強度。 C P r ic u 平行板電容器與交流 電壓源相接 與閉合線鉸鏈的只有導線中的傳
11、導電流 ( 2 ) 以 r 為半徑作閉合曲線 C，由于連接導線本身的軸對稱 性，使得沿閉合線的磁場相等，故 則極板間的位移電流為 C P r ic u 平行板電容器與交流 電壓源相接 極板的面積 例 2.6.2 在無源 的電介質(zhì) 中，若已知 電場強度矢量 ，式中的 E0為振幅、 為 角頻率、 k 為相位常數(shù)。試確定 k 與 之間所滿足的關(guān)系， 并求 出與 相應(yīng)的其他場矢量。 解 ： 是電磁場的場矢量，應(yīng)滿足麥克斯韋方程組。因此，利 用麥克斯韋方程組可以確定 k 與 之
12、間所滿足的 關(guān)系，以及與 相應(yīng)的其 他 場矢量。 對時間 t 積分，得 由 以上各個場矢量都應(yīng)滿足麥克斯韋方程，將以上得到的 H 和 D 代入式 例 2.7.1 z 0 區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為 。若媒質(zhì) 1中的電場 強度為 媒質(zhì) 2中的電場強度為 （ 1）試確定常數(shù) A的值 ;（ 2）求磁場強度 和 ； （ 3）驗證 和 滿足邊界條件。 解 :（ 1） 這是兩種電介質(zhì)的分界面，在分界面 z = 0 處，有 由邊界條件 將上式對時間 t 積分，得 （ 2）由
13、 ，有 同樣，由 ，得 可見，在 z = 0 處，磁場強度的切向分量是連續(xù)的，因為在分界 面上（ z = 0）不存在面電流 。 （ 3） z = 0 時 試問關(guān)于 1區(qū)中的 和 能求得出嗎？ 解 根據(jù)邊界條件，只能求得邊界面 z = 0 處的 和 。 由 ，有 1區(qū) 2區(qū) x y z 電介質(zhì)與自由空間的 分界面 O 例 2.7.2 如圖所示， 1區(qū)的媒質(zhì)參數(shù)為 、 、 2區(qū)的媒質(zhì)參數(shù)為
14、 。若已知自由空間的電 場強度為 又由 ，有 則得 最后得到 解 （ 1）由 , 有 試求 :（ 1） 磁場強度 ； （ 2） 導體表面的電流密度 。 例 2.7.3 在兩導體平板（ z = 0 和 z = d）之間的空氣中，已知 電場強度 z x y d O 將上式對時間 t 積分，得 （ 2） z = 0 處導體表面的電流密度為 z = d 處導體表面的電流密度為 z x y dne O 例 2.7.4 有一個平行板電容器 ， 極板的面積為 S， 上下極板 相距為 d 且分別
15、帶電 q， 極板之間的下半部份充滿介電常數(shù)為 的介質(zhì) 。 如忽略邊緣效應(yīng) ， 求 E、 D及極化電荷分布 。 解 ：電荷均勻分布在極板的內(nèi) 側(cè) ， 分別為 由邊界條件 SP 上 S q -q d D 介質(zhì)兩個表面的極 化電荷等量異號 SP 下 例 2.7.5 長直細導線與磁導率為分別為 1 和 2 (< 1)的兩種介 質(zhì)分界面垂直 ， 分界面為平面 。 求 B、 H 和磁化電流分布 。 (設(shè)電 流為 I) 2 1 I z 解 ：由 H 1t = H2t 由安培環(huán)路定理 ， 得 在 z = 0 處 H1= H2= H。 MSJ 在介質(zhì) 1中 r = 0附近利用 12 12 0 2 M M SMI I I rJ 2 1 I z MSJ IM1 IM2 同理 1 2 q q q 1 2 例 2.7.6 球形電容器的內(nèi)導體半徑為 a ，外導體內(nèi)半徑為 b， 其間填充介電常數(shù)分別為 和 的兩種均勻介質(zhì)，如圖所示。 設(shè)內(nèi)球帶電荷為 q ，外球殼帶電荷為 -q ，求兩球殼間的電場和極 化電荷分布。 解 由于電場方向沿徑向，所以在介質(zhì) 1 與介質(zhì) 2的分界面上，電場與分界面平行， 即為切向分量。根據(jù)邊界條件可知 , 。由高斯定理，有 但 1 2 q q q 處 : 處 :
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