《直線的傾斜角與斜率》教案及說明

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1、直線的傾斜角與斜率的教學設計 一、教學目標 1、探索確定直線位置的幾何要素，感受傾斜角這個反映傾斜程度的幾何量的形成過程。 2、通過教學，使學生從生活中的坡度，自然遷移到數(shù)學中直線的斜率，感受數(shù)學概念來源于生活實際，數(shù)學概念的形成是自然的，從而滲透辯證唯物主義思想。 3、充分利用傾斜角和斜率是從數(shù)與形兩方面，刻畫直線相對于x軸傾斜程度的兩個量這一事實，滲透數(shù)形結(jié)合思想。 4、經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，初步掌握過已知兩點的直線的斜率計算公式，滲透幾何問題代數(shù)化的解析幾何研究思想。 二、教學重點與難點 重點：1、感悟并形成傾斜角與斜率兩個概念； 2、推導并初

2、步掌握過兩點的直線斜率公式； 3、體會數(shù)形結(jié)合及分類討論思想在概念形成及公式推導中的作用。 難點：用代數(shù)方法推導斜率的過程。 三、教學方法 計算機輔助教學與發(fā)現(xiàn)法相結(jié)合。即在多媒體課件支持下，讓學生在教師引導下，積極探索，親身經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)與形成過程，體驗公式的推導過程，主動建構(gòu)自己的認知結(jié)構(gòu)。 四、教學過程 （一）創(chuàng)設情境，揭示課題 問題1、（出示幻燈片）給出的兩點P、Q相同嗎？ 從形的角度看，它們有位置之分，但無大小與形狀之分。 從數(shù)的角度看，如何區(qū)分兩個點？（用坐標區(qū)分） 問題2、過這兩點可作什么圖形？唯一嗎？只經(jīng)過其中一點（如點P）可作多少條直線？若只想

3、定出其中的一條直線，除了再用一點外，還有其他方法嗎？可以增加一個什么樣的幾何量？（估計不少學生能意識到需要有一個角） 由此引導學生歸納，確定直線位置可有兩種方式 （1）已知直線上兩點 （2）已知直線上一點和直線的傾斜程度 問題3、角的形成還需一條線，也就是說要有刻畫傾斜程度的角，就必須還有一條形成角的參照的直線。在平面直角坐標系下，以哪條軸線為基準形成刻畫傾斜程度的角？（學生可能回答x軸或y軸） 以x軸或y軸為基準都可以，習慣上我們用x軸。 （學生可能答一條或兩條，投影演示結(jié)果）如何區(qū)分清楚這兩條直線呢？估計學生能想到還需要確定方向。 問題4、過點P與x軸形成45角的直線有幾條？

4、 選擇哪個角來描述直線的傾斜程度，就能保證坐標系下的任何一條直線都有唯一的角與它對應呢？ （教師引導學生選取不同的方向來描述角，并區(qū)分L1與L2）。 數(shù)學概念來刻畫事物時，講求統(tǒng)一美與簡潔美，如何用數(shù)學語言準確描述這個角呢？（揭示課題） 1、傾斜角的定義：在直角坐標系下，以x軸為基準，當直線與軸相交時，軸正向與直線向上方向之間所成的角，叫做直線的傾斜角。 學生練習畫出過點P的各種傾斜角的直線。 學生容易忽略與軸平行的直線，補出圖（4），問傾斜角在哪兒？ 如何規(guī)定？ 規(guī)定：當直線與軸平行或重

5、合時，它的傾斜角為0。 自然有傾斜角的范圍是[0，180） 這樣平面直角坐標系中每條直線都有唯一一個確定的傾斜角與它對應。傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等。 以上定義了一個從“形”的角度用傾斜角刻畫平面直角坐標系內(nèi)一條直線的傾斜程度。 （二）鞏固舊知，同化新知 生活中，我們都有過爬山、爬坡的體驗，對于斜坡的傾斜程度，可以用什么量來反映？（坡角與坡度） 初中對坡度是如何定義的？ （即坡角的正切值） 坡度（比）= 升高量 前進量 當坡角增大時，坡度如何變化？ 當坡角=90與0時，升高量、前進量分別是什么？坡度又分別是什么？

6、坡角、坡度都能反映傾斜程度，遷移到數(shù)學中，坡角相當于直線的傾斜角，而坡度則對應于直線的斜率。 2、斜率：傾斜角不是90的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即 問題5、當為鈍角時，直線的斜率如何求？（轉(zhuǎn)化到其補角上） 如：傾斜角，則斜率 x y o 問題6、當在[0，180）內(nèi)變化時，斜率k如何變化？ 問題7、傾斜角與斜率都能刻畫直線的傾斜程度，哪個量更優(yōu)越呢？ 傾斜角能從形的角度刻畫傾斜程度，而斜率是比值，實質(zhì)是數(shù)值，它能從數(shù)的角度反映傾斜的程度，顯然用斜率更細致入微些。 （三）嘗試推導，深化認識 兩點確定一條直線，可見由兩點也就確定了直線的傾

7、斜程度，即傾斜角與斜率?？磥?，直線上兩點與直線的斜率有著密不可分的聯(lián)系。 問題8、在平面直角坐標系中，已知直線上兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1 x2，能否用P1 、P2的坐標來表示直線斜率k？ （學生活動）：隨意在坐標系下畫兩點P1 、P2及直線P1 P2，探究各種圖形并嘗試推導，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教師可適當引導其將斜坡截面圖遷移到坐標系中，類似升高量，前進量，用點的坐標表示線段長，并請同學敘述各個圖的推導過程與結(jié)果。 解：設直線P1 P2傾斜角為（90）當直線P1 P2方向向上時，過點P1作軸的平行線，過點P2作軸的平行線，兩線交于點Q，則

8、點Q為（x2，y1） （1）當為銳角時，，， 在中， （2）當為鈍角時，（設=），， = 在中， （可讓學生分組推導） 同理，當直線P2P1方向向上時，無論為銳角或鈍角，也有，即 思考：1、各種一般情形得出的結(jié)論一致嗎？與P1、P2這兩點坐標順序有關系嗎？ 2、當直線垂直于x軸或y軸時，上述結(jié)論適用嗎？ 3、斜率公式使用時應注意什么問題？ 鞏固練習：求經(jīng)過下列兩點直線的斜率，并判斷傾斜角是銳角還是鈍角。 （1）A（3,2）,B（-4,1）（） （2）A（3,2）,B（4,1）（） （3）A（3,2）,B（3,-1）（不存在） （4）A（3,2）,B（-4,2）（）

9、 （四）反思小結(jié)，概括提煉（同學們這節(jié)課有何收獲？） 1、明確了確定直線位置的幾何要素。 2、理解了刻畫傾斜程度的量（傾斜角與斜率），知道了求斜率的兩種方法（定義法、坐標法） 3、經(jīng)歷了代數(shù)方法刻畫斜率的過程,感受了數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學思想 (五)板書設計 直線的傾斜角與斜率 （學生展示推導斜率公式的圖形） 1、傾斜角的定義 范圍[0，180） 2、直線的斜率 （） 為鈍角時， （六）作業(yè)：①自學課本P85：例1、例2； ②作業(yè)本：P89：1、2、3。 【教案說明】直線的傾斜角與

10、斜率 一、教學內(nèi)容與地位作用解析 本節(jié)課是新人教版A版高一數(shù)學必修（2）的3.1.1節(jié)的內(nèi)容。 1、內(nèi)容分析 本節(jié)課的主要內(nèi)容有兩個概念（直線的傾斜角、直線的斜率）及一個公式（斜率計算公式） 直線的傾斜角是反映直線傾斜方向的量，它也是確定直線位置的一個重要的幾何要素，它實質(zhì)上能從“形”的角度刻畫直線的傾斜程度。 直線的斜率指傾斜角不是90的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。教材是從生活中斜坡的坡度遷移到直線的斜率概念的。直線的斜率可看作是比值，實質(zhì)上是數(shù)值，所以直線的斜率從本質(zhì)上可看成是從“數(shù)”的角度刻畫直線的傾斜程度。華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”

11、。顯然，與傾斜角相比，用斜率刻畫傾斜程度會更細致。 關于過已知兩點的直線斜率公式：因為過兩點的直線是唯一確定的，所以其傾斜程度也就確定（即直線的斜率也是確定的）。從而在直角坐標系中，直線的斜率與直線上兩點的坐標就有密不可分的聯(lián)系。斜率不僅反映了這種聯(lián)系，并用代數(shù)方法表示了出來，而且在公式的推導中蘊含了分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學思想。 2、地位作用分析 本節(jié)課是高中解析幾何部分的起始課，學生具備的知識基礎是在直角坐標系中會用坐標表示點，明確了坐標平面上的點與有序數(shù)對可建立一一對應的關系。這節(jié)課的教學內(nèi)容，不僅能反映出數(shù)學概念離不開生活，數(shù)學是自然有用的，而且蘊含了幾何問題代數(shù)化的思

12、想，從知識點及研究方法上，為后繼判斷兩條直線的位置關系以及建立直線的方程等內(nèi)容起著關鍵性的鋪墊作用。 二、教學目標解析 1、探索確定直線位置的幾何要素，感受傾斜角這個反映傾斜程度的幾何量的形成過程； 2、通過教學，使學生從生活中坡度自然遷移到數(shù)學中直線的斜率的過程，感受數(shù)學概念來源于生活實際，數(shù)學概念的形成是自然的，從而滲透辯證唯物主義思想； 3、充分利用傾斜角和斜率是從數(shù)與形兩方面刻畫直線相對于x軸傾斜程度的兩個量這一事實，滲透數(shù)形結(jié)合思想； 4、經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，初步掌握過已知兩點的直線的斜率計算公式，滲透幾何問題代數(shù)化的解析幾何研究思想。 三、教學問題診斷分析

13、 1、關于傾斜角的概念：為什么要引入傾斜角？如何描述這個角？這些地方都是教學中易忽略的，也是學生最難理解的地方。直接給出傾斜角的定義，會使學生誤認為數(shù)學概念就是絕對抽象的，你只要接受就可以了，這樣我們就把活生生的、自然的數(shù)學演變成高不可攀的，為聰明人準備的學科，會漸漸使許多學生變得被動學習，缺乏數(shù)學學習興趣及自信心。所以，在引入這節(jié)課時，應重點讓學生感受引入傾斜角的必要性，要描述清楚傾斜角必須規(guī)定“基準”與“直線方向”，從而能自然地、準確地描述清楚定義。 2、對于斜率，學生基本上能從斜坡的坡度中順利遷移過來，當傾斜角為90及0時可以特殊認識，當傾斜角為鈍角時(與斜坡稍有不同)斜率的求法應重

14、點分析，突出轉(zhuǎn)化思想的同時，引導學生認識P83頁的腳注，使學生對所有直線的斜率情況有全面的認識。 另外，傾斜角和斜率分別是從“形”與“數(shù)”的不同方面刻畫直線的傾斜程度，相比較斜率更具有優(yōu)越性。 3、斜率計算公式的得出，學生有兩點不易把握。一方面，怎樣將兩點坐標與相聯(lián)系；另一方面，圖形分析不夠全面。對前者，可提供學生探究發(fā)現(xiàn)的機會，對后者教師可先讓學生在直角坐標系下聯(lián)想坡度，找升高量與前進量，再引導其轉(zhuǎn)化為坐標表示。 公式的推導過程是多數(shù)學生能獨立解決的，教學中應放手讓學生推導并體會數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想，有助于培養(yǎng)學生研究問題的獨立性、條理性、全面性。 教學重點：1、感悟并形成傾斜角

15、與斜率兩個概念； 2、推導并初步掌握過兩點的直線斜率公式； 3、體會數(shù)形結(jié)合及分類討論思想在概念形成及公式推導中的作用。 教學難點：用代數(shù)方法推導斜率的過程。 四、本節(jié)課的教學方法： 計算機輔助教學與發(fā)現(xiàn)法相結(jié)合。即在多媒體課件支持下，讓學生在教師引導下，積極探索，親身經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)與形成過程，體驗公式的推導過程，主動建構(gòu)自己的認知結(jié)構(gòu)。 五、教學過程設計 （一）創(chuàng)設情境，揭示課題 問題1、給出的兩點P、Q相同嗎？如何區(qū)分這兩個點？ 問題2、過這兩點可作什么圖形？只經(jīng)過其中一點（如點P）可作多少條直線？若只想定出其中的一條直線，除了再

16、用一點外，還有其他方法嗎？可以增加一個什么幾何量？ 【設計意圖】引導學生歸納確定直線位置的幾何要素 問題3、角的形成還需一條線。即要有刻畫傾斜程度的角，就必須還有一條形成角的參照的直線。在平面直角坐標系下，以哪條軸線為基準形成刻畫傾斜程度的角？ 問題4、過點P與x軸形成45角的直線有幾條？如何區(qū)分這兩條直線？ 選擇哪個角來描述直線的傾斜程度，就能保證坐標系下的任何一條直線都有唯一的角與它對應呢？ 【設計意圖】傾斜角的形成離不開“基準”與“直線方向”的規(guī)定，同時讓學生感受數(shù)學概念是自然的以及數(shù)學定義的統(tǒng)一美與簡潔美，從而提示本節(jié)課的課題。 〖學生練習〗畫出過一點的各類傾斜角的直線，并

17、完善傾斜角的定義。 （二）鞏固舊知，同化新知 根據(jù)學生的生活經(jīng)驗，將坡度自然遷移到斜率的概念上，通過坡角（傾斜角）的變化，感受斜率的變化，使學生認識到數(shù)學概念是親切的，激發(fā)其求知欲。 問題5：生活中坡角沒鈍角，當為鈍角時，直線的斜率如何求？ 【設計意圖】使學生會用轉(zhuǎn)化思想求為鈍角時的斜率，明確課本腳注的用法。 問題6、當在[0，180）內(nèi)變化時，斜率k如何變化？ 【設計意圖】更條理、更全面地認識斜率與傾斜角的變化關系。 問題7、傾斜角與斜率都能刻畫直線的傾斜程度，哪個量更優(yōu)越呢？ 【設計意圖】突出斜率刻畫傾斜程度的優(yōu)越性是更細致入微，使用方便簡潔。 （三）嘗試推導，深化認識

18、 兩點確定唯一一條直線，可見由兩點也就確定了直線的傾斜程度，即傾斜角與斜率?？磥恚本€上兩點與直線的斜率有著密不可分的聯(lián)系。 問題8、在平面直角坐標系中，已知直線上兩點：P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1 x2，能否用P1 、P2的坐標來表示直線斜率k？ （學生活動）：在坐標系下畫兩點P1 、P2及直線P1 P2，探究各種圖形并嘗試推導。教師可適當引導其將斜坡截面圖遷移到坐標系中，類似升高量與前進量，用點的坐標表示線段長，請同學敘述各個圖的推導過程與結(jié)果。 【設計意圖】給學生提供充分的自主探索的時間與空間，克服公式推導中不易把握的兩點（1、兩點坐標與的聯(lián)系；2、圖形分析不全面

19、），培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想，促進思維的獨立性、全面性，邏輯性。 思考：1、各種情形得出的結(jié)論一致嗎？與兩點坐標順序有關系嗎？ 2、當直線垂直于x軸或y軸時，上述結(jié)果適用嗎？ 3、斜率公式使用時應注意什么問題？ 【設計意圖】熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征及適用范圍。 （四）反思小結(jié)，概括提煉（同學們這節(jié)課有何收獲？） 1、明確了確定直線位置的幾何要素。 2、理解了刻畫傾斜程度的量（傾斜角與斜率），知道了求斜率的兩種方法（定義法、坐標法） 3、經(jīng)歷了代數(shù)方法刻畫斜率的過程,感受了數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學思想 六、預期效果分析 1、兩個概念的形成，估計通過問題情境的設置，學生能達到預期的教學目標，而且這樣設計之后，概念得出是自然的，不是強加于人的。 2、斜率公式的推導可能存在學生對圖形考慮不全面的問題，需要教師適當進行引導。