數學分析全套教案(附有答案的試卷20余套)

數學分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數學分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20 綏化師專數學系數學分析課教案 課 題：定積分 教者：莫海平 教學目的： 1．能從曲邊梯形的面積和變力所作的功這兩個實際問題闡述解決這類問題的思想方法，“分割，近似求和，取極限”，從而了解產生定積分的背景 2．正確理解和準確敘述定積分的定義 3．會用定義求簡單函數的定積分 教學重點：定積分的定義及相關概念 教學難點：定積分的幾何意義 關 鍵：理解定積分概念中的兩個任意性，即對區(qū)間分割的任意性和取點的任意性 教 學 程 序 一、導言與回顧 1．導言：積分學中的兩大基本問題是不定積分和定積分。不定積分是求導數的逆運算，即求原函數問題，定積分則是某種和式的極限，它們之間既有區(qū)別又有聯系，從本節(jié)開始研究定積分問題。 2．回顧 我國古代杰出數學家劉徽計算圓的周長所用的“割圓術”思想，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！? 二、新授 （一）問題提出 1．曲邊梯形的面積 設為閉區(qū)間上的連續(xù)函數， 且，由曲線，直線， 以及軸所圍成的平面圖形，（如圖）， 稱為曲邊梯形 如圖，求曲邊梯形面積，教師引導啟發(fā)學生 思考，分割區(qū)間 從而曲邊梯形被分割成個小曲邊梯形。 在每個小區(qū)間上任取一點，，作以為高，為底的小矩形。 用這些小矩形的面積近似替代相應小曲邊梯形的面積。 則曲邊梯形面積S近似為 （） （1） 當分點無限增多，且對無限細分時，如果此和式與某一常數無限接近，而且與分點和中間點的選取無關，則就把此常數定義作為曲邊梯形的面積S。 2．變力所作的功 設質點受力F的作用沿軸由點移動到點，并設F處處平行于軸，F連續(xù)依賴于質點所在的位置坐標，即，為一連續(xù)函數，求力F所作的功W。 解決的方法同曲邊梯形，把細分為個小區(qū)間，，，并在每個小區(qū)間上任取一點，就有，，，這樣，質點從位移到時，力F所作的功就近似等于，從而 （2） （二）定積分的定義 1．定義：設閉區(qū)間內有個點，依次為。 它們把分成個小區(qū)間，，這些分點或這些閉子區(qū)間構成對的一個分割，記為 或 小區(qū)間的的長度為，并記稱為分割的模。 2．定義：設是定義在上的一個函數。一個分割，任取點，，并作和式 稱此和式為函數在上的一個積分和，也稱黎曼和。 3．定義，設是定義在上的一個函數，是一個確定的實數，若對任給的正數，總存在某一正數，使得對的任向分割，以及在其上任意選取的點集，只要，就有 則稱函數在區(qū)間上可積或黎曼可積，數稱為在上的定積分或黎曼積分，記作 稱為被積函數，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，、分別稱為這個定積分的下限和上限。 注1：常用極限符號來表達定積分 注2：連續(xù)函數是可積的。 注3：定積分的幾何意義。 注4：定積分的值只與被積函數和積分區(qū)間有關，而與積分變量所用的符號無關，即 =… 三、鞏固練習 例 求在區(qū)間上，以拋物線為曲邊的曲邊三角形的面積。 解 在連續(xù)，所以可積 由于定積分存在，選取特殊分割： ， 取，則 四、總結歸納 五、布置作業(yè)：P204 1． 2． 綏化師專數學系數學分析課教案 課 題：洛比達法則 教者：韓 超 教學目的：使學生掌握用洛比達法則求不定式極限的方法 教學重點：洛比達法則的應用 教學難點：洛比達法則的證明 教 學 內 容 一、復習與提問 1．什么是“”型和“”型極限？ 2．到目前為止，學習了哪些求“”型和“”型極限的方法？ 二、新課 1．導入：研究極限 “”型：與； “”型：與的關系。 2．洛比達法則（求極限法） 定理1（洛比達法則1） 若函數與滿足下列條件： （1）在的某去心鄰域可導，且； （2）與； （3）。 則 分析：要找到兩個函數之比與這兩個函數的導數之比的關系，可利用柯西中值定理。為了使函數與在滿足柯西中值定理的條件，可將與在作連續(xù)開 拓，即令，即可。 證明 令，，則，在以與為端點的區(qū)間上函數與滿足柯西中值定理的條件，因此在與之間至少存在一點C，使 已知，時，，所以根據歸結原則， 。 （證畢） 定理1是（為有限常數）時“”型極限的洛比達法則。對于其它的極限過程如時有 定理2（洛比達法則2） 若函數與滿足下列條件： （1），在時可導，且； （2）與； （3）。 則 證法：啟發(fā)學生使用換元法，將極限過程變?yōu)?，即轉為洛比達法則1進行證明。 證明：由學生完成。 3．例題與練習（洛比達法則之應用） 例1 求； 例2 求（）。 練習：求下列極限 1）； 2）。 4．總結 （1）應用洛比達法求極限要注意函數及極限類型是否滿足洛比達法則的條件； （2）洛比達法則中的條件3）僅是充分條件，當不存在時，仍可能存在。 三、作業(yè) P225 1．（1）—（6） P225 2． 綏化師專數學系數學分析課教案 課 題：泰勒公式 教者：韓 超 教學目的：使學生掌握泰勒定理的條件和結論，了解泰勒公式的理論意義及初步應用 教學重點：泰勒定理 教學難點：泰勒公式中的余項 教 學 內 容 一、復習與提問 用微分近似表示函數的公式？。 二、新課 1．導入：用多項式近似表示函數的理論意義和實際意義及其可能性。 2．泰勒公式。 定義 若函數在存在階導數 ， 稱為在的次泰勒多項式。 定理1（泰勒定理） 若函數在存在階導數，則，有 其中 分析：證等于證明，它是一個“”型極限，可考慮用洛比達法則計算此極限。 證明： 當時，都是無窮小，由洛比達法則及導數的定義，有 （證畢） 特別地，當時，有 稱為馬克勞林公式。 3．例題與練習 例1 將展成馬克勞林公式。 例2 將展成馬克勞林公式。 練習1 將在展成泰勒公式。 2 用無窮小替換求。 4．總結 注意展成泰勒公式的條件，注意幾個基本初等函數的馬克勞林公式中項的規(guī)律性。 三、作業(yè) P234 1．（1）（3） P235 5． 6． 綏化師專數學系數學分析課教案 課 題：不定積分的分部積分法 教者：韓 超 教學目的：使學生掌握用分部積分的方法求某些函數的不定積分 教學重點：分部積分公式 教學難點：分部積分的應用 教 學 內 容 一、復習與提問 1．不定積分的概念？ 2．不定積分與原函數的關系？ 3．換元法能否計算所有函數的不定積分？考慮 二、新課 1．導入 形如，，等積分需考慮新的積分法。 2．不定積分的分部積分法 定理（分部積分公式） 若函數，在區(qū)間I上可微，則有 稱之為分部積分公式。 證法：應用不定積分的法則及不定積分的定義證明公式成立。 證明：已知，都是的可導函數，由乘積函數的求導法則，有 或 因此 （證畢） 3．例題與練習 不定積分的分部積分法適于被積函數為下列函數的不定積分： ，，， 等，積分的方法是將其中的某一個函數恒等移至微分符號后。 例1 求 解 將移至微分符號后，有 問題（提問）：在例1中為什么不將移至微分符號后變？ 例2 求 解 由分部積分公式有 例3 求 解 將微分符號后的看成一個函數，由分部積分公式有 練習：求下列不定積分 （1） （2） （3） 4．總結 在應用分部積分公式計算不定積分時，要注意微分公式的恒等變形。 三、作業(yè) PP195 1．（1）—（6） 綏化師專數學系數學分析課教案 課 題：定積分基本公式 教者：韓 超 教學目的：使學生掌握定積分基本公式，并能利用定積分基本公式計算定積分 教學重點：定積分基本公式（牛頓—萊布尼茲公式） 教學難點：定積分基本公式的證明 教 學 內 容 一、復習與提問 1．什么是原函數？ 2．定積分的值與哪些因素有關？ 二、新課 1．導入 用定積分定義求定積分沒有實際意義，需要研究定積分計算的新途徑。 2．定積分基本公式（牛頓—萊布尼茲公式） 定理1 若函數在上連續(xù)，是的原函數，則 稱之為定積分的基本公式，亦稱牛頓—萊布尼茲公式。 證明 已知是的原函數，即，有 已知積分上限函數也是的原函數，即 所以 －= （為常數） 令，有 －= 但=0，知，所以 （證畢） 定積分基本公式是用被積函數的原函數在區(qū)間端點（邊界）的值表示定積分，給定積分的計算提供了一個實用的計算方法，牛頓—萊布尼茲公式也表為 3．例題與練習 例1 求。 解 已知，所以 例2 求。 解 已知，所以 練習1 求 練習2 求 4．總結 應用牛頓—萊布尼茲公式計算定積分的關鍵問題是解決被積函數的原函數問題，因此熟練地掌握不定積分的計算方法是十分必要的。 三、作業(yè)：P361 2．（1）—（6） 綏化師專數學系數學分析課教案 課 題：不定積分 教者：韓 超 教學目的：使學生掌握不定積分的概念及基本積分公式 教學重點：不定積分的概念 教學難點：不定積分的微分、導函數的不定積分 教 學 內 容 一、復習與提問 1．已知函數可導，試表述微分的概念及微分公式。 2．的充要條件是什么？ 二、新課 1．導入 例1 已知，求，使。 2．不定積分 定義（原函數） 設函數工區(qū)間上有定義，存在函數，若，有 則稱是在區(qū)間上的原函數，或簡稱是的原函數。 定義（不定積分） 函數的所有原函數稱為函數的不定積分，表為 （） 其中稱為被積函數，稱為被積表達式，為積分常數。 例2 求。 解 因為，所以 不定積分的基本性質 （1） （2） （3） （為常數） （4） 不定積分的基本積分公式 （1） （2） （） （3） （） （4） （5） （6） （7） 3．例題與練習 例3 求下列不定積分 （1） （2） 練習：求不定積分 （1） （2） 4．總結 求不定積分關鍵是要熟悉導數公式從而可以掌握積分公式，并利用積分運算法則求不定積分。 三、作業(yè) P280 1．（1）—（8） 2．（2）（3） 綏化師專數學系數學分析課教案 課 題：二元函數的連續(xù)性 教者：王繼成 教學目的：掌握二元函數連續(xù)的定義，理解多元函數的性質 教學重點：復合函數的連續(xù)性 教學難點：一致連續(xù)性 教 學 內 容 仿照一元函數連續(xù)的定義，給出二元函數連續(xù)的定義。 定義：設二元函數在區(qū)域有定義，且。 若，即，，：||||，有，則稱二元函數在連續(xù)。 若二元函數在不連續(xù)，則稱是二元函數的間斷點。 定義：若二元函數在區(qū)域D任意點都連續(xù)，則稱二元函數在區(qū)域 D連續(xù)。 注：二元函數在點連續(xù)是， 即，，：，，有。 如：在（2，1）連續(xù) 定理2 若二元函數與在點連續(xù)，則、、在點都連續(xù)。 由上冊一元函數微分學知，閉區(qū)間上連續(xù)函數有四個重要性質，這些性質也可推廣到有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數上來。 定理3：（有界性） 若函數在有界閉區(qū)域連續(xù)，則函數在D有界。 即，有。 定理4：若函數在有界閉區(qū)域 D連續(xù)，則函數在取到最小值與最大值M。 即、，使，，且，有 定理5：（介值性） 若二元函數在有界閉區(qū)域連續(xù)，且與分別是函數在D的最小值與最大值，是與之間的任意數（），則，有。 定義：設在區(qū)域有定義，若，：，有 則稱函數在D一致連續(xù)。 定理6：（一致連續(xù)性） 若函數在有界閉區(qū)域連續(xù)，則函數在D一致連續(xù)。 綏化師專數學系數學分析課教案 課 題：二元函數的極限 教者：王繼成 教學目的：熟練書寫二元函數的極限定義，弄清二重極限與累次極限的關系 教學重點：二重極限的概念 教學難點：用定義證明二重極限 提問：一元函數的極限定義？ 在此基礎上抽象出二元函數的極限。 定義：設二元函數在區(qū)域有定義，是D的聚點。 若（或）有，則稱函數在點存在極限，極限是A。 表為 。 注：如果二元函數用坐標表示，即，那么二元函數在點的極限是A就是： ， 且，有 也表為 這個極限也之叫做二重極限。 舉例 例1 證明： 引導學生由定義一起證明。 講清限定條件取的方法。 例2 證明：函數 在原點仍然存在極限。 但必須要指出：在二重極限的定義中，動點在中趨向于點與一 元函數的自變量在數軸上的變化不同，它可以在區(qū)域內沿著不同的道路（如曲線或直線）和不同的方式（連續(xù)或離散等）從四面八方趨近于點，二元函數在點的極限都是A，反之：動點沿著某兩條不同的曲線（或點到）無限趨近于點，二元函數有不同的“極限”，則二元函數在點不存在極限。 例3 證明：函數在原點不存在極限。 分析：如何選擇兩條不同的路線，推而廣之。 二元函數也有各種類型點趨于無窮點的極限和無窮大，逐一討論其形式和種類。 下面僅列舉其中兩例： 與 ： 與 有 ： 與，有 二元函數還有一種極限 定義：若當時（看作常數），函數存在極限， 設 當時，也存在極限。 設 則稱B是函數在點的累次極限。 問題：二重極限與累次極限的關系？ 由教師引導穿插實例介紹相關一些內容。 思考： 1．當動點沿著任意一條直線無限趨近于點時，函數存在極限，且相等，能否說函數在點存在（二重）極限？為什么？ 2．怎樣判別二元函數在點不存在極限。 作業(yè)：P153 1．（1）（3） 3． 5． 反饋： 綏化師專數學系數學分析課教案 課 題：同號級數 教者：王繼成 教學目的：掌握同號級數定義，會判定正項級數的斂散性 教學重點：正項級數的比較判別法 教學難點：正項級數判別法的理論基礎 問題：什么是同號級數？它包括哪兩類？ 定義：同號級數是指級數的每一項的符號都是非負或都是非正。 若稱級數是正項級數。 若稱級數是負項級數。 根據數列極限存在的單調有界原理，不難得到正項級數收斂性的定理。 定理5 正項級數收斂 它的部分和數列有上界。 例5 證明：正項級數 是收斂的 定理6（比較判別法） 有兩個正項級數與，且，有（C是正常數） （1）若級數收斂，則級數也收斂。 （2）若級數發(fā)散，則級數也發(fā)散。 討論： 正項級數的斂散性。 此級數稱為廣義調和級數/P一級數。 例6 判別下列正項級數的斂散性 （1） （2） （由學生自己完成） 定理7（柯西判別法）有正項級數 （1）若，有 （常數）<1 則級數收斂。 （2）若存在無限個，有，則級數發(fā)散。 例7 判別下列正項級數的斂散性： （1） （2） （3） （找學生到黑板上做） 定理8（達朗貝爾判別法） 有正項級數 （1）若，有 （常數）<1 則級數收斂。 （2）若，有 則級數發(fā)散。 例8 判別下列正項級數的斂散性： （1） （2） （3） 思考： 1．正項（同號）級數有哪些斂散性的判別法？它的理論基礎是什么？判別法之間有什么關系？ 2．何謂一個收斂正項級數比另一個收斂快，正項級數收斂的較慢？是否存在收斂最快的正項級數？ 作業(yè)： P31 1．（1）（3）（5）（7） 3． 5． 反饋： 綏化師專數學系數學分析課教案 課 題：數值級數收斂與發(fā)散的概念 教者：王繼成 教學目的：掌握級數收斂與發(fā)散的概念，能熟練地應用幾種常用的判別法 教學重點：級數收斂的概念 教學難點：數列與數值級數的轉化 問題：在實際中存在著無限和嗎？若存在，如何計算呢？ 定義1 對于無窮數列，將各項依次用加號連接起來，即稱為數值級數，簡稱級數。 其中稱為級數的第項或通項。 可見，級數是無限的，我們只會計算有限個數的和，不僅不會計算無限個數的和，甚至都不知道何謂無限多個數的和。 因此，無限多個數的和是一個未知的新概念，這個新概念也不是孤立的，它與我們已知的有限個數的和聯系著。 定義2 若級數的部分和數列收斂（） 設 或 ，則稱級數收斂，S是其和。 表為： 定義3 若級數收斂，其和是S，則表為，即 稱為收斂級數的項余和，簡稱余和。 顯然：級數收斂總有 討論：級數的斂散性是否可歸結為數列的斂散性？教師應借助級數定義引導學生回答問題。 思考：為什么要學習級數？ 前八章，所討論的函數主要是初等函數，雖然初等函數能夠描述許多自然現象和工程技術中的客觀規(guī)律，但是，只有初等函數還遠遠不能滿足描述客觀規(guī)律的需要，為了使數學分析的討論的函數能廣泛地服務于科學技術和數學理論本身，人們借助于極限、函數方程、微分方程等工具表述了更多的非初等函數，函數級數就是表述非初等函數的一個重要工具。 舉例： 例1 討論幾何級數的斂散性，其中，是公比。 要求學生會根據定義解出結果，記住會用。 例2 證明：級數收斂，并求其和。 例3 證明：調和級數是發(fā)散的。 回顧：由上冊練習題2．2第19題知 是歐拉常數，或 即當時，調和級數的部分和與是等價無窮大，亦即：部分和發(fā)散到正無窮大的速度十分緩慢，與相等。 歐拉曾計算過 作業(yè)：P9 1．（1）（3） 3． 5． 反饋： 附9： 黃岡師范學院期末考試雙向細目表（考試時間為100分鐘） 科目：數學分析 班級：數教200401-05 教學目標 學習水平（教學目標） 合計 教學內容 識記 理解 應用 分析 綜合 評價 微分中值定理及其應用 10 8 18 實數的完備性 5 5 不定積分 15 15 定積分 8 10 25 6 5 54 反常積分 3 5 8 合計 13 13 55 6 5 100 出卷教師：鐘紹軍 填表人：鐘紹軍 2005年6月23日 黃岡師范學院 2004－2005學年度第二學期期中試卷 考試課程：數學分析 考核類型：考試A卷 考試形式：閉卷 出卷教師：鐘紹軍 考試專業(yè)：數學教育 考試班級：數教200401-05班 一．判斷題．（3分×7＝21分） 1．若是函數在上的最值點，則一定是函數的極值點． （ ） 2．設函數在上可導，若在內嚴格遞減，則必有． （ ） 3．是函數的極大值點． （ ） 4．直線上的無限點集至少有一個聚點． （ ） 5．是在上的原函數． （ ） 6．方程（為常數）在區(qū)間[0,1]內不可能有兩個不同的實根． （ ） 7．若均是區(qū)間上的凸函數，則也為區(qū)間上的凸函數．（ ） 二．填空題．（每空4分，共28分） 1．若函數在區(qū)間上可導，則為上常量函數的充要條件是__________________________． 2．函數的帶皮亞諾型余項的馬克勞林公式為：____________________________________________________________． 3．＝__________，＝__________． 4．函數的最小值為___________． 5．＝___________． 6．極值的第二充分條件是：____________________． 三．解答題．（每小題7分，共21分） 1．求極限：． 2．求函數在處帶拉各朗日型余項的泰勒公式． 3．求函數在閉區(qū)間上的最大值與最小值． 四．證明題．（ 10’×3＝30’） （說明：數教5班第1題必做，第2、3兩題任選一題，若兩題都做則只按第2題計算。其他四個班三題全做） 1．證明：， 2．證明：若在有限開區(qū)間內可導，且，則至少存在一點，使． 3．設函數在點具有連續(xù)的二階導數，證明： ． 第 2 頁 共 2 頁 黃岡師范學院 2004－2005學年度第二學期期中試卷參考答案 考試課程：數學分析 考核類型：考試A卷 考試形式：閉卷 出卷教師：鐘紹軍 考試專業(yè)：數學教育 考試班級：數教200401-05班 一．判斷題．（3分×7＝21分） √×√×√√√ 二．填空題．（每空4分，共28分） 1．在上恒為0 2． 3．0，2， 4．28 5． 6．， 三．解答題．（每小題7分，共21分） 1．解 ，.（3分） 于是.（2分） 故 .（2分） 2．解：， （3分） 所以有 ，，，…，， ，在與之間， （2分） 從而有 ， （2分） 3．解： （2分） 故在區(qū)間上有的穩(wěn)定點為，， （2分） 因為 ，，，， （2分） 推得 ， （1分） 四．證明題．（ 10’×3＝30’） （說明：數教5班第1題必做，第2、3兩題任選一題，若兩題都做則只按第2題計算。其他四個班三題全做） 1．證：設，，則， ， ， （3分） 從而 在上嚴格遞增。（2分） 即對有 ，從而在上嚴格遞增。（3分） 即對有 ， 從而推得 ， （2分） 2．證：引入輔助函數 （3分） 則由在有限開區(qū)間內可導，及的定義可知：在上連續(xù)，在內可導，（3分）且 （2分） 由羅爾中值定理得：，使，得證。（2分） 3．證：設，（2分） 因為在點具有連續(xù)的二階導數，所以，在的某空心鄰域內有二階連續(xù)的倒數，且，，（3分） （2分） 故由Th6.6知 。證畢（3分） 第 3 頁 共 3 頁 黃岡師范學院 2004－2005學年度第二學期期末試卷 考試課程：數學分析 考核類型：考試A卷 考試形式：閉卷 出卷教師：鐘紹軍 考試專業(yè)：數學教育 考試班級：數教200401-05班 一．填空：（每空4分，共24分） 1．函數在區(qū)間上連續(xù)是它在該區(qū)間上可積的_________條件。 2．函數的遞減區(qū)間為____________，該函數在區(qū)間_________上為凸函數。 3．設的一個原函數是，則__________________。 4．_______________________。 5．設在區(qū)間上連續(xù)，，則時，_____________。 二．計算：（每小題6分，共30分） 1． 2． 3． 4． 5． 三．解答題：（每小題7分，共14分） 1．求函數在上的最大值和最小值。 2．討論的收斂性。 四．證明：（每小題8分，共32分） 1．設函數 求證：函數在上不可積，而在上可積。 2．證明：若在有限開區(qū)間內可導，且，則至少存在一點，使． 3．設為上以為周期的連續(xù)周期函數，證明對任何實數，恒有 4．證明：設為上的非負可積函數，但在點處連續(xù)，且，則 數學分析期末A卷 第 2 頁 共 2 頁 黃岡師范學院 2004－2005學年度第二學期期末試卷 評分標準及參考答案 考試課程：數學分析 考核類型：考試A卷 考試形式：閉卷 出卷教師：鐘紹軍 考試專業(yè)：數學教育 考試班級：數教200401-05班 一．填空：（每空4分，共24分） 1．充分 2．， 3． 4．0 5． 二．計算：（每小題6分，共30分） 1．（3分） （3分） 2．令，，， （3分） （3分） 3．（3分） （3分） 4．（6分） 5．記，，則在上連續(xù)，所以可積，取分割，分點，，則（3分） （3分） 三．解答題：（每小題7分，共14分） 1．由微積分學基本定理知在上連續(xù)且可導，且有 它在上也連續(xù)可導。 令，解得的穩(wěn)定點為，（3分） 而 ，，，（3分） 故當時在上取得最大值0； 當時在上取得最小值（1分） 2．（1）當 時， 絕對收斂。這是因為 而當時收斂，故由比較判別法可知收斂，從而原積分絕對收斂。（3分） （2）當時，條件收斂，這是因為 而在上單調趨于零（），故由狄利克雷判別法推知雖收斂，但因是發(fā)散的，從而導致亦發(fā)散。于是由比較原則可知當時是發(fā)散的。（2分） 另一方面，對任意的有而在上當時單調趨于零（），故由狄利克雷判別法推知當時收斂。所以，當時上述無窮限積分是條件收斂的。（2分） 四．證明：（每小題8分，共32分） 1．證：，使得對于上的任何分割，都有 （4分） 由可積準則可知，函數在不可積。（2分） 而，為常量函數，必然可積。（2分） 2．證：引入輔助函數 （3分） 則由在有限開區(qū)間內可導，及的定義可知：在上連續(xù)，在內可導，（3分）且 由羅爾中值定理得：，使，得證。（2分） 3．證：因為 （2分） 而 （3分） 故（3分） 4．證：因為在點處連續(xù)，所以由連續(xù)的局部保號性，，記 （2分） 使得對，都有 ，從而 （3分） 那么 （3分） 第 4 頁 共 4 頁 A卷 黃岡師范學院 2004－2005學年度第二學期期末試卷 考試課程：數學分析 考核類型：考試B卷 考試形式：閉卷 出卷教師：鐘紹軍 考試專業(yè)：數學教育 考試班級：數教200401-05班 一．填空：（每空4分，共24分） 1．函數在區(qū)間上可積是它在該區(qū)間上連續(xù)的_________條件。 2．有界函數在區(qū)間上可積的充要條件是__________________________。 3．設的一個原函數是，則__________________。 4．_______________________。 5．無窮積分是____________的。（判斷散斂性。若為收斂，進一步判斷是條件收斂還是絕對收斂） 二．計算：（每小題6分，共30分） 1． 2． 3． 4． 5． 三．解答題：（每小題7分，共14分） 1．有一個無蓋的圓柱形容器，當給定體積為時，要使容器的表面積為最小，問底的半徑與容器高的比例應該如何設計。 2．已知函數在上連續(xù)，且，求。 四．證明：（每小題8分，共32分） 1．證明有限閉區(qū)間上的單調函數一定可積。 2．設函數在上可導，證明：存在，使得 3．設為上以為周期的連續(xù)周期函數，證明對任何實數，恒有 4．證明：設為上的非負連續(xù)函數，且，則，。 數學分析期末B卷 第 2 頁 共 2 頁 黃岡師范學院 2004－2005學年度第二學期期末試卷 評分標準及參考答案 考試課程：數學分析 考核類型：考試B卷 考試形式：閉卷 出卷教師：鐘紹軍 考試專業(yè)：數學教育 考試班級：數教200401-05班 一．填空：（每空4分，共24分） 1．必要 2．，必存在一個分割，使得 3． 4．0 5．條件收斂 二．計算：（每小題6分，共30分） 1．（3分） （3分） 2．（6分） 3．（3分） （3分） 4．（6分） 5．記，，則在上連續(xù)，所以可積，取分割，分點，，（3分）則 （3分） 三．解答題：（每小題7分，共14分） 1．設容器的底半徑為，高為，側面積與底面積之和為，則按題意可得 那么 （3分） 令 ，解得穩(wěn)定點為（2分） 而，所以是在上的唯一的極值點，且是極小值點，它也應是在上的最小值點。（2分） 2．設，，則由在上連續(xù)知在可導，且 它也在可導，且 （3分） ，（1分） 所以 （3分） 四．證明：（每小題8分，共32分） 1．設為上的遞增函數（遞減情形可類似證明），為上的一個分割.由的單調性知道，在所屬的每個小區(qū)間上的上、下確界必在端點處取得，即,.因而有（2分） 。（3分） 由此可見，對于任給正數，只要，這時就有，由可積準則的推論知，在上可積. （3分） 2．（1）若，則取結論成立； （2）若，但是內點，且，則同樣取結論成立；（3分） （3）若，但不是內點，或即使是內點，但，則取，推得滿足柯西中值定理的條件，所以，使得 （2分） 即 從而 （3分） 3．證：因為 （2分） 而 （3分） 故（3分） 4．證：用反證法.倘若有某，使，則由連續(xù)函數局部保號性，必存在的某領域（當或時，則為右領域或左領域）使在其中.由定理10.10有（3分） 又由定理10.11知道，上式右端第一，第三兩個積分皆非負，而第二個積分滿足 從而，這與假設矛盾. 第 4 頁 共 4 頁 B卷 數 學 分 析 教 案 教材：《數學分析》（第二版）華東師范大學數學系編 主講：黃岡師范學院數學系鐘紹軍 黃岡師范學院數學系鐘紹軍印制 ２００２年１０月１４日 黃 岡 師 范 學 院 2004 至2005 學年度第一學期 授 課 計 劃 系 別 數學系 班2004專01～專05 課程名稱 競賽數學 主講教師 鐘紹軍 教師 鐘紹軍 實際授課 16 周 總學時（不包括期終考試） 64學 時 講 授 64 學 時 實 驗 學 時 校外教學（教學參觀） 學 時 習題課 10 學 時 機 動 學 時 其 它 學 時 教研室主任 庫在強 系 主 任 程崇高 2004 年 8月 25日 授 課 計 劃 說 明 （填寫：①教學大綱和教材名稱；②本學期本課程教學目的、要求、包括基礎理論、基本知識、基本技能訓練和培養(yǎng)提高學生的能力等；③提高教學質量和教學改革的主要措施） 教材：《數學分析》（上冊，第三版），華東師范大學數學系編，高等教育出版社出版 教學目的與要求： 開設本課程的目的： 數學分析是數學教育專業(yè)的基礎課程之一。通過教學，應使學生理解和掌握確界原理，函數性質，數列極限的概念、性質和存在條件，函數極限的概念、性質和存在條件，兩個重要極限的使用，函數連續(xù)性的概念、性質和一致連續(xù)性，導數的概念、計算，微分等的基本理論和研究方法；培養(yǎng)和提高學生用分析法研究和處理數學分析問題的能力；學會使用語言描述數學理論的基本功；通過學習，加深學生對中學數學理論和方法的理解，使學生能在較高的理論水平上處理初等數學問題，為他們學好后續(xù)課程、提高日后的從教能力奠定基礎。 教改措施： 1．在教學中注重聯系并知道初等數學的教學，提高學生運用數學分析觀點和方法分析和處理初等數學問題的能力。 2．教學方式力求靈活多樣，對不同教學內容，分別采用精講、自學、討論、指導研究等不同形式，并盡可能采用多媒體教學。 3．在教學中力求充分融合我院系在數學分析教改研究方面的最新成果。 周次 日期 講授的簡要內容（大綱章節(jié)名稱、教學重點） 學時 測驗及作業(yè)數 1 8.30—9.3 2 9.6—9.10 3 9.13—9.17 第一章 實數集與函數 §1.1 實數 §1.2 數集·確界原理 4 10 4 9.20—9.24 §1.2數集·確界原理（續(xù)） §1.3 函數概念 4 15 5 9.27—10.1 §1.4 具有某些特性的函數 第一章習題課 4 11 6 10.4—10.8 第二章 數列極限 §2.1 數列極限概念 §2.1 數列極限概念（續(xù)） 4 7 7 10.11—10.15 §2.2 收斂數列的性質 §2.2 收斂數列的性質（續(xù)） 4 8 8 10.18—10.22 §2.3 數列極限存在的條件 第二章習題課 4 15 9 10.25—10.29 第三章 函數極限 §3.1 函數極限概念 §3.1 函數極限概念（續(xù)） 4 7 10 11.1—11.5 §3.2 函數極限的性質 §3.3 函數極限的存在條件 4 13 11 11.8—11.12 §3.4 兩個重要極限 §3.5 無窮小量與無窮大量 4 17 12 11.15—11.19 第三章習題課 第四章 函數的連續(xù)性 §4.1 連續(xù)性概念 4 17 13 11.22—11.26 §4.2 連續(xù)函數的性質 §4.2 連續(xù)函數的性質（續(xù)） 4 10 14 11.29—12.3 §4.3 初等函數的連續(xù)性 第四章習題課 4 7 15 12.6—12.10 第五章 導數和微分 §5.1 導數的概念 §5.1 導函數、§5.2 求導法則 4 12 16 12.13—12.17 §5.2 求導法則（續(xù)） §5.3 參變量函數的導數 4 12 17 12.20—12.24 §5.4 高階導數 §5.5 微分 4 11 18 12.27—12.31 §5.5 微分（續(xù)） 第五章習題課 4 11 19 20 21 檢查日期 檢查人 一式三份：一份交教務處，一份存教學系部，一份由本人保存。